Come si calcola una potenza n di un binomio?
(A + B)5 (A + B)2 (A + B)3 = (A2 + 2AB + B2) (A3 + 3A2B + 3AB2 + B3) = A5 + 3A4B + 3A3B2 + A2B3 + 2A4B + 6A3B2 + 6A2B3 + 2AB4 + A3B2 + 3A2B3 + 3AB4 + B5 = A5 + 5A4B + 10A3B2 + 10A2B3 + 5AB4 + B5 Regola: La potenza n-esima del binomio (A + B) ha come sviluppo un polinomio di grado n, ordinato secondo le potenze decrescenti del primo monomio e crescenti del secondo, i cui coefficienti sono quelli della (n + 1)esima riga del triangolo di Tartaglia.
Il triangolo di Tartaglia ogni riga inizia e termina con 1; nella prima riga si trova il valore di (A + B)0, nella seconda riga si trovano i coefficienti di (A + B)1, nella terza riga i coefficienti di (A + B)2 ecc. ; ogni riga si può ottenere dalla precedente. Niccolò Fontana, detto Tartaglia, sistemò i coefficienti dei polinomi ottenuti dallo sviluppo delle potenze di (A + B) in un triangolo in cui: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
(A + B)5 = A5 + 5A4B + 10A3B2 + 10A2B3 + 5AB4 + B5 Quindi per calcolare (A + B)5 bisogna guardare la riga (5 + 1) = 6 del triangolo di Tartaglia e ordinare le potenze del primo monomio in ordine decrescente e del secondo in ordine crescente: (A + B)5 = A5 + 5A4B + 10A3B2 + 10A2B3 + 5AB4 + B5