Tema 3: Teorema-Limite Centrale IID con valor medio e varianza Indipendenti ed Identicamente Distribuite   Teorema-Limite Centrale (T-L.C.):

Verifica sperimentale del T.-L.C. Somma di N v.a. indipendenti uniformemente distribuite su [0,1] N=2 N=3 ddp effettiva: triangolare istogramma normalizzato di Z2 ddp Gaussiana con stessa media e varianza ddp effettiva: rami di parabola

N=10: condizioni quasi asintotiche Verifica sperimentale del T-L.C. (2) N=5 N=10: condizioni quasi asintotiche N=10 ddp effettiva: 2 rami con andamento polinomiale di ordine N-1

Effetto della skewness: Verifica sperimentale del T-L.C. (3) Effetto della skewness: somma di N v.a. indipendenti distribuite secondo Rayleigh [ con valore quadratico medio = 1 ] N=2 N=3 istogramma normalizzato di Z2 ddp Gaussiana con stessa media e varianza

Verifica sperimentale del T-L.C. (4) N=10: condizioni quasi asintotiche N=10

N=50: condizioni “praticamente” asintotiche Verifica sperimentale del T-L.C. (5) N=50: condizioni “praticamente” asintotiche somma di N=50 v.a. indipendenti distribuite secondo Rayleigh [ con valor quadratico medio = 1 ] effetto della skewness somma di N=50 v.a. indipendenti uniformemente distribuite su [0,1]

Verifica sperimentale del T-L.C. (6) Esercizio proposto: Generare NR=105 realizzazioni della v.a. SN , somma (normalizzata) di N variabili aleatorie IID, uniformi in [0,1], con N=2, 5, 10 e 50 [istruzioni utili: rand, sum] Tracciare gli istogrammi normalizzati (uno per ogni valore di N) della v.a. SN e confrontarli con la ddp di una v.a. Gaussiana standard [istruzioni utili: hist, bar, normpdf, plot]

Esempio di file.m: sommaunif.m function [eta,sigma] = sommaunif(N) % calcolo istogramma norm. della v.a. ZN, somma di N v.a. uniformi IID % e della ddp Gaussiana con stessa media e dev. stand. della somma % IN: N=numero di v.a. uniformi ed indipendenti da sommare; % OUT: eta=media e sigma=deviazione standard della v.a. ZN; % uscita su video di istogramma normalizzato della v.a. ZN Nr=10^5; % numero di realizzazioni eta=N*1/2 % calcolo media e dev. standard della v.a. ZN , sigma=sqrt(N*1/12) % somma di N v.a. uniformi su [0,1] x=rand(N,Nr); Zn=sum(x); % genera NR campioni della v.a. ZN [n,a]=hist(Zn,100); bar(a,n/Nr/(a(2)-a(1))); % istogramma normalizzato hold on plot(a,normpdf(a,eta,sigma),'r-') % ddp Gaussiana

Esempio di file.m: sommarayl.m function [eta,sigma] = sommarayl(N) % calcolo istogramma norm. della v.a. ZN, somma di N v.a. di Rayleigh IID % e della ddp Gaussiana con stessa media e dev. standard della somma % IN: N= numero di v.a. di Rayleigh indipendenti da sommare % OUT: eta=media e sigma=deviazione standard della v.a. ZN % uscita su video di istogramma normalizzato della v.a. ZN Nr=10^5; % numero di realizzazioni eta=N*sqrt(pi/2)/sqrt(2) sigma=sqrt(N*(2-pi/2)/2) % calcolo media e dev. Stand. della v.a. ZN, % somma di N v.a. di Rayleigh % con parametro m (valor quadratico medio) = 1 x=rand(N,Nr); x=sqrt(-log(x)); % trasformaz. ZMNL per ottenere la v.a. di Rayleigh Zn=sum(x); % genera NR campioni della v.a. somma [n,a]=hist(Zn,100); bar(a,n/Nr/(a(2)-a(1))); % istogramma normalizzato hold on plot(a,normpdf(a,eta,sigma),'r-') % ddp Gaussiana