PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 2. CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 2.

Argomenti della lezione Formula di Taylor per funzioni di più variabili. Differenziali successivi. Massimi e minimi liberi.

FORMULA DI TAYLOR PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

Ricordiamo la formula di Taylor, con il resto alla Lagrange, per le funzioni di una variabile: Se f : U  R  R, è una funzione n+1 volte derivabile in un intorno U del punto x0 , allora esiste un solo polinomio Tn(x), detto di Taylor, di grado ≤ n, tale che f(x)= Tn(x)+ rn(x) con rn(x)= ((Dn+1f)()/(n+1)! )(x-x0)n+1 ,  compreso tra x e x0.

rn(x)= (x)(x-x0)n , con (x)0 per x  x0 , ossia rn(x)= o((x-x0)n) k! Tn(x)= k=0 n (Dkf)(x0) _______ (x-x0)k Vediamo come questa formula ci permetta di ottenerne una simile per le funzioni di più variabili. Iniziamo dal caso di due variabili.

Teorema (di Taylor, per funzioni R2  R ) Se f : A  R2  R, ha derivate continue fino all’ordine n+1, allora f(x,y)= Tn(x,y)+ rn(x,y), con rn(x,y)= o(|(x,y)T-(x0,y0 )T|n)

Siano h e k, le due componenti di un vettore “incremento” di (x0,y0)T in R2. v = (h,k)T, (x,y)T = (x0,y0)T + v. L’equazione del segmento che va da (x0,y0)T a (x,y)T è: (x(t),y(t))T = (x0 + th,y0 + tk)T, 0 ≤ t ≤ 1. Prendendo come punto base t0=0, si trova: F(t) = f (x0 + th,y0 + tk) = F(0) + F’(0)t + + t2 + … + _____ F’’(0) 2! F (n)(0) ______ n! tn + F (n+1)() ________ (n+1)! tn+1

Con  compreso tra 0 e t. In particolare, prendendo t=1 : F(1) = f(x0 + h,y0 + k) = F(0) + F’(0) + + + … + _____ F’’(0) 2! F (n)(0) ______ n! + F (n+1)() ________ (n+1)! , (0<<1) Si tratta ora di calcolare, utilizzando la formula di derivazione di funzione composta, i vari contributi presenti nella formula di Taylor-Lagrange.

F(0) = f(x0,y0), F’(0) = Dt(f x(t),y(t))(0) = (D1f)(x0)h+(D2f)(x0)k, F’’(0)= Dt2 (f x(t),y(t))(0)=( D11f)(x0)h2+ +(D21f)(x0) kh +(D12f)(x0)hk +(D22f)(x0)k2= =(D11f)(x0)h2 +2(D21f)(x0) kh +(D22f)(x0)k2 Nell’ultima formula abbiamo utilizzato il Teorema di Schwarz.

In generale se, v1=h e v2=k: F(p)(0) =  i1, i2,…, ip = 1 (Di1i2…ip f)(x0,y0) vi1vi2   vip Sappiamo che F’(0) = df (x0,y0) (v). Definiamo d2f(x0,y0)(v,v) = F’’(0) = =  (Di1i2 f )(x0,y0)vi1vi2. i1, i2= 1 2

Usando la notazione dei differenziali Definiamo in generale dpf(x0,y0)(v,v,…,v) = 2 F(p)(0) =  i1, i2,…, ip = 1 (Di1i2…ip f)(x0,y0)vi1vi2   vip Usando la notazione dei differenziali successivi, la formula di Taylor- Lagrange diviene

= f(x0 + v) = f (x0) + df(x0,y0)( v) +(1/2!) d2f(x0,y0)(v,v) + … + (1/n!)dnf(x0,y0)(v,v,..,v) + + (1/(n+1)!)dn+1f(x0,y0)+ vT (v,v,..,v,v) Osserviamo che dn+1f(x0,y0)+ vT(v,v,…,v,v) = f)(x0+h, y0+k)vi1vi2   vinvin+1 2 = i1, i2,…, in , in+1= 1 (Di1i2… in , in+1

 Ma su una sfera chiusa e limitata di centro (x0,y0) e raggio |v|le derivate d’ordine n+1 sono tutte limitate da una costante M e v = |v| , con  versore. f)(x0+h, y0+k)vi1vi2   vinvin+1 = 2  i1, i2,…, in , in+1= 1 (Di1i2… in , in+1 f)((x0,y0)+vT)i1i2inin+1 2 =|v|n+1 i1, i2,…, in , in+1= 1 (Di1i2… in , in+1

≤ M  2(n+1) |v|n+1 = o(|(x,y)T-(x0,y0)T|n). Perciò |dn+ 1fx0+ vT (v,v,…,v,v)|≤ | i1, i2,…, in , in+1= 1 2 M  i1 i2   in in+1 |≤ ≤|v|n+1 ≤ M  2(n+1) |v|n+1 = o(|(x,y)T-(x0,y0)T|n). Infatti v = (x,y)T-(x0,y0)T.

Se f : A  Rm  R, è una funzione di classe Cn+1(A), allora vale un teorema analogo al precedente per funzioni delle m variabili x1, x2, … , xm. Non lo enunciamo per brevità.

Abbiamo definito il differenziale p-esimo in (x0,y0)T valutato sull’incremento v= (h,k)T di (x0,y0)T: dpf(x0,y0)(v,v,…,v) = 2 F(p)(0) =  i1, i2,…, ip = 1 (Di1i2…ip f)(x0 ,y0)vi1vi2   vip

 Se la derivazione è fatta r volte rispetto a x e s volte rispetto a y, (r+ s = p), tenendo presente che dx(h,k) = h e dy(h,k) = k e ricordando il Teorema di Schwarz, si può verificare che: dpf(x0,y0) =  r+s=p p! _____ r! s! ∂pf ______ ∂xr ∂ys (x0,y0) dxr dys

In particolare, per il differenziale secondo si ha: d2f(x0,y0) = ____ ∂x2 ∂2f (x0,y0) dx2 + 2 ∂x ∂y (x0,y0) dx dy + ∂y2 (x0,y0) dy2

 Per funzioni di m variabili: ∂2f ______ (x10,x20,.. ,xm0) dxi dxj d2fx0 =  i,j =1 m ∂2f ______ ∂xi ∂ xj (x10,x20,.. ,xm0) dxi dxj

MASSIMI E MINIMI LIBERI

Ricordiamo che, data una funzione f : A  Rm  R , A aperto, un punto x0  A si dice che x0 è punto di massimo relativo per f se esiste un intorno U del punto (per es. una sfera aperta di centro x0) tale che per ogni x  U vale f(x) ≤ f(x0) Se per ogni x  U vale invece f(x) ≥ f(x0) x0 si dice punto di minimo relativo per f

Si dice che x0 è punto di massimo (minimo) assoluto per f : A  Rm  R , se per ogni x  A vale f(x) ≤ f(x0) ( rispettivamente f(x) ≥ f(x0) ) Vale il seguente

Teorema (di Fermat) Sia f : A  Rm  R, A aperto. Sia x0  A punto di massimo o di minimo relativo e sia f derivabile in x0. Allora f(x0)= 0 .

Basta ricordare che la funzione g1(t) = f(t,x20,..,xm0) ha max o min relativo in x10 e quindi g1’ (x10) = 0 = D1f (x10,x20,..,xm0) . Analogamente g2(t)=f(x10,t,..,xm0), … , gm(t)=f(x10,x20,..,t) hanno max o min relativo in x20 ,..,xm0

e quindi g2’ (x20) = 0 = D2f (x10,x20,..,xm0) …... gm’ (xm0) = 0 = Dmf (x10,x20,..,xm0) Dunque f(x0)= 0 .

I punti x0  A , nei quali f(x0)= 0 si dicono punti critici o stazionari di A. I punti di massimo o minimo relativo di una funzione definita su un aperto A  Rm sono da ricercarsi, se f è differenziabile in A, per esempio se f  C1(A), tra quelli che soddisfano le m equazioni Dkf (x1,x2,..,xm)=0, k = 1,…,m .