CONTINUITÀ LIMITI E DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

Argomenti della lezione Estensione delle nozioni di continuità e di limite alle funzioni di più variabili Derivate direzionali e derivate parziali Differenziale di una funzione di più variabili

Continuità di funzioni f : A Rn R Ç

è continua in x0 = (x01, x02 ,… x0n)T se per ogni V intorno di f (x0) f : A Rn R Ç è continua in x0 = (x01, x02 ,… x0n)T se per ogni V intorno di f (x0) esiste U intorno di x0  x  UA è f(x)  V

V f(x0) R Rn A U X0

Limite di funzioni f : A Rn R Ç

f : A Rn R Ç ha limite l per x che tende a x0 = (x01, x02 ,… x0n)T se per ogni V intorno di l esiste U intorno di x0  x  UA è f(x)  V

per l’origine continua Una funzione di due variabili non continua in (0,0)T ma con restrizione ad ogni retta per l’origine continua

f ( x , y ) = se )T )T, x y x2 + ¹ . ì í ï î

Se prendiamo la restrizione alla retta per l’origine x =  t, y =  t, si trova f ( a t , b ) = se a2 + t2 • ì í ï î ¹

Dunque la restrizione alle rette per l’origine è continua lim t f ( a , b ) = Dunque la restrizione alle rette per l’origine è continua

Ma la restrizione all’iperbole ha valore costante k ≠ 0 = f(0,0). per l’origine y = k x2/(x -k), con k ≠ 0, ha valore costante k ≠ 0 = f(0,0).

Anche il limite della funzione preso lungo l’iperbole vale k ≠ 0 = f(0,0). La funzione non è continua in (0,0)T.

-0.5 -1 -1.5 -2 Caso k = 2 1 0.5

Derivate direzionali e derivate parziali

(x0, y0)T A

____________________________ ∂f f(x, y0)-f(x0,y0) = (x0,y0) lim _____________ ∂x xx0 x- x0 f(x0, y)-f(x0,y0) ∂f lim _____________ (x0,y0) = ∂y yy0 y- y0 Più in generale ∂f (x10 ,..,xk0,.., xn0) = ∂xk f(x0,..,xk,.., xn0) - f(x0,..,xk0,.., xn0) lim ____________________________ = xkxk0 xk - xk0

Sia =(1,…, n)T un versore di Rn e sia x(t)= x0+ t una retta passante per x0 e avente direzione . La derivata di f in direzione , nel punto x0 è data da f(x0+ t)- f(x0) ∂f ____________ (x10 ,..,xk0,.., xn0) = lim ∂ t t0

Funzione non continua con tutte le derivate direzionali nulle in (0,0)

f ( x , y ) = se )T )T, 2 4 + æ è ç ö ø ÷ ¹ )T. ì í ï î

Sia  = (cos , sen )T e   t una retta per l’origine

a)2 f (cos a t, sen = cos4 sen2 t (cos4 t2+  t) per t ≠ 0, e si ha

lim t ® f (cos a × , sen ) - ( = lim t ® cos4 a sen2 × t2 + ( )2 = .

Ma f(x,y) non è continua nell’origine. Infatti la restrizione alle parabole passanti per l’origine y =x2 ( ≠ 0) ha valore costante:

f(x,bx2)=b2/(1+ b2)

Differenziale di una funzione di più variabili

f : A Rn R Ç f(x) = f(x0)+ L(x- x0)+e(x)|x- x0| si dice differenziabile in x0 = (x01, x02 ,… x0n)T se esiste un’ applicazione lineare L : Rn  R tale che f(x) = f(x0)+ L(x- x0)+e(x)|x- x0| con e(x)  0 se x  x0.