CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. ESTREMI VINCOLATI, ESEMPI.

Estremi vincolati. Estremi vincolati. Argomenti della lezione Esempi. Esempi.

ESTREMIVINCOLATI

Abbiamo appreso come calcolare gli estremi liberi di funzioni di più variabili. Spesso tuttavia si debbono cercare i valori massimi o minimi di una funzione quando le variabili non sono libere di muoversi in un aperto A R m ma sono soggette a vincoli, rappresentati da certe funzioni definite in A.

Per esempio, si cerca la posizione dequilibrio di una particella soggetta a un campo di forze di potenziale f(x,y) vincolata a stare su una linea piana espressa da g(x,y) = 0. Se lequazione della linea piana si può esplicitare nella forma y = h(x), x I allora si potrà sostituire nella f(x,y) e cercare il minimo libero di F(x) = f(x, h(x)) al variare di in un intervallo I di R.

Sia f : A R m R una funzione e K R m un sottoinsieme proprio non vuoto di A. x 0 è punto destremo vincolato o condizionato per f su K se x 0 è punto destremo per la restrizione di f a K.

Teorema (moltiplicatori di Lagrange ) (m=2) Siano f, g : A R 2 R, A aperto, funzioni di classe C 1 (A). Sia (x 0,y 0 ) punto destremo per f,

sotto il vincolo g(x,y) = 0 e sia g (x 0,y 0 ) 0, allora esiste un numero reale 0, tale che f (x 0,y 0 ) + 0 g (x 0,y 0 ) = 0.

Ossia (x 0, y 0, 0 ) è soluzione del sistema f x (x 0,y 0 ) + 0 g x (x 0,y 0 ) = 0 f y (x 0,y 0 ) + 0 g y (x 0,y 0 ) = 0 g(x,y) = 0

Teorema (moltiplicatori di Lagrange ) Siano f e g 1,.., g n : A R m+n R, A aperto, funzioni di classe C 1 (A). Sia (x 1 0,…, x m 0,y 1 0,…, y n 0 ) T punto destremo

per f, sotto i vincoli g i (x,y) = 0, i = 1,.., n esistono n numeri reali i 0, tali che f (x 0,y 0 ) + n i=1 i 0 g i (x 0,y 0 ) = 0. e sia det J( )(x 0,y 0 ) 0, allora g 1 g 2..g n y 1 y 2..y n

Interpretazione geometrica Sia data la funzione f(x 1 0,…, x m 0,x m+1 0,…, x m+n 0 ) : A R m+n R g i (x 1,…, x m,x m+1,…, x m+n ) = 0 e il vincolo K A sia descritto dalle equazioni det J( )(x 1,…, x m,x m+1,…, x m+n ) 0 g 1 g 2..g n y 1 y 2..y n i = 1,.., n, con

Sia x i (t) = h i (t), i= 1,…, m+n una curva regolare, cioè h 1 2 (t)+.. + h m+n 2 (t) 0, che giace su K, allora G i (t) =g i (h 1 (t),…, h m (t),…, h m+n (t)) = 0 i=1,…, n e quindi 0 = G i (t) = g i,h (t) Dunque il vettore tangente alla curva h(t) che giace su K è ortogonale ciascuno dei vettori g i.

Se (x 1 0,…, x m 0,y 1 0,…, y n 0 ) T è punto destremo vincolato, la condizione f (x 0,y 0 ) + n i=1 i 0 g i (x 0,y 0 ) = 0, afferma che anche f (x 0,y 0 ) è ortogonale al vincolo.

ESEMPI