CAMBIAMENTO DI VARIABILI IN INTEGRALI DOPPI E TRIPLI.

Argomenti della lezione Cambiamento di variabili per integrali doppi e tripli Applicazioni al calcolo di aree, volumi, baricentri, momenti

CAMBIAMENTO DI VARIABILI IN INTEGRALI DOPPI E TRIPLI.

Il teorema sul cambiamento di variabili negli integrali multipli, in particolare doppi e tripli, è uno dei teoremi più sofisticati del Calcolo. Noi ci limiteremo ad enunciarlo e a mostrarne l’applicazione nei casi più comuni

Abbiamo già introdotto la nozione di funzione localmente invertibile. Ripetiamo e precisiamo meglio questa nozione Abbiamo affermato che se f : A  Rm  Rm, A aperto, è di classe C1(A), e se det J(f)(x0) ≠ 0 allora f è localmente invertibile; cioè esistono intorni aperti U di x0 e V di y0 = f(x0) x tra i quali f è biiettiva; dunque f(U) = V

Sappiamo che se una trasformazione è regolare, essa ha il determinate jacobiano non nullo in ogni punto del dominio e quindi f(A) è aperto anche se f non è necessariamente iniettiva su A. Una siffatta f è adatta a definire un cambiamento di variabili. Si può dimostrare poi che i punti singolari non costituiscono un insieme molto “pesante” (ha misura nulla secondo Lebesgue: Teorema di Sard)

Inoltre l’inversa locale tra gli intorni aperti V e U è di classe C1(V), e la sua matrice jacobiana è l’inversa della matrice jacobiana di f. Con queste precisazioni, possiamo enunciare il teorema sul cambiamento di variabili negli integrali multipli

(cambiamento di variabili ) Sia h : U  Rm  V  Rm, U, V aperti, Teorema (cambiamento di variabili ) Sia h : U  Rm  V  Rm, U, V aperti, regolare e di classe C1(U), sia E  U un compatto PJ-misurabile e f:h(E)R integrabile. Allora è integrabile f•h su E e si ha

Per brevità di notazione abbiamo indicato y=h(x), e scritto h’(x) al f ( y ) d = h x )) | det ¢ E ò Per brevità di notazione abbiamo indicato y=h(x), e scritto h’(x) al posto della matrice jacobiana. È chiaro che questa trasformazione di coordinate è conveniente se l’integrazione su E è più agevole di quella su h(E); per esempio E è un rettangolo e la nuova funzione da integrare non è troppo complicata

òò ( x + y ) d Esempio: Si voglia calcolare con E = {(x,y): 0<x≤y≤2x, 1≤xy≤2} Posto u= x y e v = y/x , la Trasformazione h così individuata manda l’insieme E del piano xy

g ( u , v ) : x = y × ì í ï î nel rettangolo J= [1,2][1,2] del piano uv. La trasformazione inversa di h è g ( u , v ) : x = y × ì í ï î che ha determinate jacobiano det g’(u,v) = 1/2v > 0

òò òò ( x + y ) d u 1 = ( u v ) d u d v + v v 2 Dunque J 2 A conti fatti si trova 1/3 (4 -  2). Il dominio è divenuto un rettangolo e la funzione non si è troppo complicata

A parte i cambiamenti di variabili che possono essere suggeriti dalla natura del problema (tipo di dominio o particolarità della funzione), come abbiamo visto nell’esempio precedente, i tipi di trasformazioni di coordinate più comuni, sono quelli che già abbiamo introdotto in una lezione precedente: il cambiamento di coordinate polari o (polari ellittiche) nel piano; il

cambiamento di coordinate cilindriche (o cilindrico ellittiche) e il cambiamento di coordinate sferiche (o ellissoidali) nello spazio. Precisamente

ì x cos = r J , í r ³ £ J < 2 p ï y sen î = r J COORDINATE POLARI Sono le coordinate così individuate ì x cos = r J , í r ³ £ J < 2 p ï y sen î = r J Sappiamo che questa trasformazione ha un solo punto singolare: l’origine (0,0)T

Infatti il determinante jacobiano è det J(x y) =    La trasformazione è biiettiva tra R2\(0,0)T, e {(,): >0, 0 <  < 2π} Cioè vi è corrispondenza biunivoca tra tutto il piano x y privato dell’origine e una striscia infinita nel piano  . Se indichiamo con h-1(x,y) la trasformazione che a ,

òò òò f ( x , y ) d x d y = = f ( r cos , r sen ) r d r d J J J fa corrispondere x,y abbiamo òò f ( x , y ) d x d y = E = òò f ( r cos , r sen ) r d r d J J J h - 1 ( E ) Se il dominio E è un’ellisse o parte di essa di semiassi a e b, è conveniente usare le coordinate polari ellittiche x = a  cos  , y = b  sen  . Il determinante Jacobiano è a b 

òò m ( E ) = d x y a b r J Mostriamo come ciò sia utile nel calcolo dell’area di un ellisse o del volume di un ellissoide Sia E = {(x,y):x2/a2 + y2/b2 = 1} m ( E ) = d x y a b r h - 1 òò J Si trova facilmente m(E) = πab

Calcolo del volume di un ellissoide E = {(x,y):x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1} Si trova, dopo qualche calcolo non difficile, m(E) = (4/3)π abc Ricordiamo che il calcolo in coordinate cartesiane presentava invece qualche difficoltà

COORDINATE CILINDRICHE Sono le coordinate così individuate x = r cos J y sen z u ³ , £ < 2 p Î R ì í ï î Il determinante jacobiano di questa trasformazione è . L’asse z è fatto di punti singolari

La trasformazione è biunivoca tra l’aperto dato da R3\{asse z} dello spazio x y z e l’aperto  > 0, 0 <  < 2π, u  R, dello spazio   u. Si può combinare questa trasformazione con quella delle coordinate ellittiche

, r ³ £ j p J < 2 x = r sen j cos J y z ì í ï î COORDINATE SFERICHE Sono le coordinate così descritte x = r sen j cos J y z ì í ï î , r ³ £ j p J < 2

Il determinante jacobiano di questa trasformazione è 2 sen . L’asse z è fatto tutto di punti singolari. La trasformazione è biunivoca tra l’aperto dato da R3\{semipiano x z, con x≤ 0} dello spazio x y z e l’aperto > 0, 0 <  < π, 0 <  < 2π, dello spazio   . Si può combinare que- sta trasformazione con quella delle coordinate ellittiche

òòò ò d x y z = r sen j J abc Mostriamo come ciò sia facilissimo con questa trasformazione calcolare il volume dell’ellissoide E = {(x,y):x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1} d x y z = r 2 sen j J p ò 1 E òòò abc Si trova facilmente, come noto, (4/3)π abc

APPLICAZIONI AL CALCOLO DI AREE, VOLUMI, BARICENTRI, MOMENTI

Già abbiamo applicato le trasformazioni di coordinate per calcolare alcune aree e volumi notevoli. Vogliamo ora presentare alcuni ulteriori esempi

òò x y d x d y + Si calcolino i seguenti integrali doppi 1) Calcolare 2 2 + E dove E è la semicorona circolare con y ≥ 0 compresa tra i cerchi di raggi 2 e 3 e centro nell’origine

òò arctg y x d 2) Calcolare dove E è la parte di piano compresa fra la spirale d’Archimede d’equazione  = 2 , per 0≤  ≤ π, e l’asse x.

òò ( x y ) d x d y + 3) Calcolare dove E è la parte di piano compresa 2 2 + E dove E è la parte di piano compresa fra l’asse x, la circonferenza di raggio 1 e centro l’origine e la circonferenza di raggio 1 e centro in (1,0)T

Si calcolino i seguenti volumi 1) Volume della porzione di semisfera per z ≥ 0, che si proietta Sul piano x y sulla circonferenza di diametro r e centro in (r/2,0)T 2) Volume della porzione di cilindro circolare d’equazione z = √1-x2 , che si proietta sul piano x y sul triangolo rettangolo di vertici (0,0)T, (1,0)T, (0,1)T

3) Volume della porzione di superficie paraboloidica d’equazione 2 p z = x2 + y2 che si proietta sul piano x y in un cerchio con centro nell’origine a raggio r

òò x = d y m ( ) , BARICENTRI Il baricentro d’una lamina piana E è dato dal punto di coordinate x = d y E òò m ( ) ,

Si calcolino i seguenti baricentri 1) Di un triangolo rettangolo 2) Di un settore circolare 3) Di una semiellissi 4) Di un segmento di parabola

òòò M = ( x + y ) d z MOMENTI D’INERZIA Il momento d’inerzia di un solido di densità unitaria rispetto a un asse assunto come asse z, solido che occupa la regione dello spazio E, è dato da M = ( x 2 + y ) d z E òòò

Si calcolino i seguenti momenti d’inerzia 1) Di un parallelepipedo rettangolo, rispetto ad uno spigolo 2) Di un cilindro rotondo, rispetto all’asse 3) Di un ellissoide, rispetto ad un asse