Decadimento b

Decadimento b Decadimento b-: Decadimento b+: Nuclei che nel piano N-Z hanno un eccesso di neutroni rispetto a quanto previsto dalla curva di stabilità, tendono a “trasformare” un neutone in un protone Decadimento b+: Nuclei che nel piano N-Z hanno un eccesso di protoni rispetto a quanto previsto dalla curva di stabilità, tendono a “trasformare” un protone in un neutrone

Cattura elettronica Un nucleo ricco di protoni può catturare un elettrone atomico e trasformare un protone in un neutrone Stesso effetto di un decadimento b+ L’elettrone viene tipicamente catturato dalla shell K che è caratterizzata da una funzione d’onda sensibilmente diversa da zero nel volume del nucleo Nota: La cattura elettronica ha un Q-valore più alto del decadimento b+ e quindi più energia cinetica a disposizione delle particelle nello stato finale Ci sono casi in cui la differenza di massa tra (Z,A) e (Z-1,A) è troppo piccola per consentire il decadimento b+, ma la cattura elettronica può invece avvenire

Dal modello a goccia (1) Dalla formula della massa di un nucleo, per A fissato si vede una dipendenza parabolica da Z: che ha un minimo per:

Dal modello a goccia (2) Nuclei con A dispari: Il parametro d vale 0 e quindi M(A,Z) ha un solo valore Fissato A esiste un solo isobaro stabile con Z=Z0

Dal modello a goccia (3) Nuclei con A pari M(A,Z) assume due valori diversi per nuclei pari-pari e dispari-dispari Possono esserci fino a 3 isobari stabili per i nuclei pari-pari Tutti i nuclei dispari-dispari devono essere instabili Uniche eccezioni sono: 2H, 6Li, 10B e 14N in cui le parabole sono disposte come in figura b) nuclei dispari-dispari nuclei pari-pari

Dal modello a goccia (4) Nuclei con A pari Caso particolare in cui A=14

Teoria elementare di Fermi Modello del 1934 basato sulla teoria di Fermi delle interazioni deboli Si usa la seconda regola d’oro di Fermi per calcolare il rate di decadimento: Ipotesi: La hamiltoniana di interazione è un operatore che agisce sui campi fermionici mediante assorbimento o emissione di fermioni L’interazione è a corto raggio d’azione (interazione a contatto) Spiegato nella teoria elettro-debole dall’alto valore di massa dei mesoni W che mediano l’interazione debole

Densità degli stati finali (1) Il termine di densità degli stati finali determina la forma dello spettro beta, cioè la distribuzione delle energie degli elettroni (positroni) emessi Il numero di stati in cui l’elettrone ha quantità di moto compresa nell’intervallo tra pe e pe+dpe e il neutrino nell’intervallo compreso tra pν e dpv è dato da: Integrato su tutte le possibili direzioni della quantita’ di moto ( ∫dW=4p ) Integrato su tutte le possibili coordinate all’interno del volume di normalizzazione ( ∫d3x=V ) Il volume della celletta di quantizzazione vale h3

Densità degli stati finali (2) Si introduce l’energia Ef a disposizione nello stato finale: dove si è trascurata l’energia cinetica di rinculo del nucleo Da cui per Ee fissato:

Densità degli stati finali (2) Il termine di densità degli stati finali determina la forma dello spettro beta, cioè la distribuzione delle energie degli elettroni (positroni) emessi Sostituendo Si ricava:

Densità degli stati finali (3) La densità degli stati finali per i quali l’elettrone ha una quantità di moto compresa tra pe e pe+dpe quando l’energia totale è compresa tra Ef e Ef+dEf è quindi: che in caso di massa nulla del neutrino si riduce a: End point: Ef=Ee pmax=√(Ef2-me2c4) mn=0 mn>0

Campo coulombiano del nucleo Deformazione dello spettro beta dovuta all’interazione dell'elettrone (positrone) con il campo coulombiano del nucleo. L'effetto è diverso per il decadimento b-, in cui il potenziale è attrattivo, e per il decadimento b+, in cui il potenziale è repulsivo La distribuzione di momento degli elettroni (positroni) diventa: F(ZD,Ee) è la funzione di Fermi che è stata calcolata e tabulata ed è apprezzabilmente dievrsa da 1 solo per ZD (numero di protoni nel nucleo figlio) grandi o energie piccole

Grafico di Fermi-Kurie (1) Se si riscrive la distribuzione di momento degli elettroni emessi come: Nel caso di massa nulla del neutrino si ha: che mostra una dipendenza lineare da Ee La retta, in caso di massa nulla del neutrino interseca l’asse x nel punto Ee=Ef Questo modo di presentare i dati sperimentali è il grafico di Fermi-Kurie La conferma sperimentale dell'andamento previsto costituisce il primo successo della teoria di Fermi.

Grafico di Fermi-Kurie (2) La misura della distribuzione vicino all’end-point (Emax) della distribuzione, fornisce un metodo per misurare la massa del neutrino. La misura più precisa è stata fatta studiando il decadimento del Trizio: Nuclei semplici, correzioni facili da valutare Energia disponibile nello stato finale è piccola (530 keV) -> aumenta la sensibilità della misura

Elemento di matrice (1) Elemento di matrice per un decadimento b: yNi è la funzione d’onda che descrive il nucleone “genitore” all’interno del nucleo prima del decadimento ye e yn sono le funzioni d’onda dell’elettrone e del neutrino yNf è la funzione d’onda che descrive il nucleone “figlio” all’interno del nucleo dopo il decadimento L’integrale è esteso al volume del nucleo Nella teoria di Fermi si fa l’ipotesi che l’interazione avvenga “a contatto”, per cui l’hamiltoniana di interazione vale: dove g è la costante di accoppiamento che ha dimensioni [energia x volume] e misura l’intensità dell’interazione L’elemento di matrice risulta quindi:

Elemento di matrice (2) Dall’ipotesi di raggio d’azione nullo per Hint, segue che elettrone e neutrino sono particelle in moto libero dopo il decadimento Si trascura l’interazione coulombiana dell’elettrone con il nucleo, che è stata inclusa nel fattore di Fermi Il volume di integrazione (il nucleo) ha un raggio di qualche fermi e le energie dell’elettrone sono dell’ordine del MeV, quindi pr<<1 e si può approssimare: Quindi, al primo ordine, l’elemento di matrice si riduce all’integrale delle funzioni d’onda dei nucleoni coinvolti nel decadimento:

Rate di decadimento La probabilità di transizione per unità di tempo per emissione di elettroni con quantità di moto compresa tra pe e pe+dpe dalla seconda regola d’oro di Fermi vale quindi: che in caso di massa del neutrino nulla o trascurabile diventa:

Vita media (1) La vita media è data da: dove 0 - pmax è il range di energie dell’elettrone nello stato finale Per calcolare l’integrale coviene instrodurre le variabili: da cui: e quindi:

Vita media (2) L’integrale che compare nella formula della vita media dipende solo dal limite superiore di integrazione pmax, o h0 Si pone: E quindi: La vita media risulta essere il prodotto di: Una costante (mec2)5/2p3ħ(ħc)6 = 1.46104 MeV-2fm-6s-1 Il quadrato della costante di accoppiamento, dimensioni: MeV2fm6 Il quadrato dell’elemento di matrice adimensionale Mif La funzione adimensionale f(ZD,h0) che dipende dalla carica del nucleo e del limite superiore di integrazione h0=pmax/mec

Costante di accoppiamento Il rapporto G=g/(ħc)3 è la costante di Fermi che ha le dimensioni di [Energia-2] Dal decadimento beta del neutrone si misura: Dalla misura della vita media del muone si ricava: che è detta costante universale di Fermi Si conclude che l’accopiamento del campo debole con i leptoni non è esattamente uguale a quello con i quark L’origine di questa differenza è dovuta al mixing dei sapori dei quark attraverso l’angolo di Cabibbo L’accoppiamento debole tra quark u e d vale gcos C

f(ZD,h0) I valori della funzione f(ZD,h0) sono stati calcolati e tabulati Risulta molto sensibile all’energia dell’end-point

Legge di Sargent In decadimenti in cui l’energia disponibile Ef è >> mec2, si ha: h0=pmax/mec>>1 e F(Z,h)≈1. Si può quindi approssimare: E quindi (essendo pmaxc ≈ Emax=Ef): Questa approssimazione ci dà la legge di Sargent che dice che la vita media è inversamente proporzionale alla quinta potenza dell’energia a disposizione nello stato finale Questo è uno dei motivi alla base delle diverse vite medie dei decadimenti b dei nuclei

Legge di Sargent Legge di Sargent che dice che la vita media è inversamente proporzionale alla quinta potenza dell’energia a disposizione nello stato finale

Valore di log-ft Si possono usare le misure della vita media dei nuclei per ricavare il valore di g|Mif| che contiene l’informazione sulla struttura nucleare E’ conveniente introdurre il valore ft (ft-value) definito come il prodotto di f(Z,h0) e del tempo di dimezzamento t1/2=tln2 Può essere interpretato come la vita media corretta per gli effetti nucleari (Z) e per l’energia a disposizione (h0) Il valore di ft varia tra un minimo di 103 s e un massimo di 1022 s, per cui di solito si usa il log-ft value che è il logaritmo il base 10 del ft-value

Spin nel decadimento beta Gli spin dell’elettrone (positrone) e del neutrino possono essere paralleli o anti-paralleli. Spin di en antiparalleli  (S=0) -> transizioni di Fermi Elettrone e neutrino sono in uno stato di singoletto Spin di en paralleli   (S=1) -> transizioni di Gamow-Teller Elettrone e neutrino sono in uno stato di tripletto Entrambi i tipi di transizione possono avvenire Un singolo decadimento beta può essere una mistura dei due se sono rispettate le regole di selezione relative alla conservazione del momento angolare e della parità

Momento angolare Un ragionamento semiclassico ci dice che il momento angolare orbitale dell’elettrone e del neutrino è dato da: dove b è il parametro di impatto e R il raggio del nucleo Si ricava: dato che R è dell’ordine di qualche fm e pe è al più dell’ordine di qualche MeV/c I decadimenti con l=0 si chiamano permessi, quelli con l>0 proibiti NOTA: questa non è un vera e propria regola di selezione: decadimenti con l>0 sono possibili, anche se improbabili: le funzioni d’onda dell’elettrone e del neutrino: possono essere viste come uno sviluppo in serie nel numero quantico l Il valore log-ft dipende dal modulo quadrato di Mif, quindi ogni unità di l porta un fattore di soppressione del rate di decadimento dell’ordine di 10-3-10-4

Parità Per transizioni permesse (l=0) la parità del nucleo deve rimanere immutata, visto che Pf=Pi (-1)l L’elemento di matrice al prim’ordine si annulla se la parità del nucleo cambia Transizioni in cui cambia la parità del nucleo devono essere quindi descritte dai termini successivi dello sviluppo: Il primo termine corrisponde a transizioni con l=1 e cambio di parità -> decadimenti primo-probiti (first-forbidden) Soppresse di un fattore 10-4  vita media più lunga di un fattore 104 Il termine successivo corrisponde a transizioni con l=2 senza cambio di parità -> decadimenti doppio-probiti (double-forbidden)

Regole di selezione Transizioni permesse: Il momento angolare orbitale della coppia elettrone-neutrino è 0, lo spin è 1/2, quindi il momento angolare totale portato via della coppia elettrone neutrino può essere J=0 o J=1 Quindi nei decadimenti beta permessi, la variazione di momento angolare tra nucleo padre e figlio sarà DJ=0 o DJ=1 Transizioni permesse di Fermi (S=0, ): Le transizioni permesse lasciano immutati il momento angolare e la parità del nucleo Transizioni permesse di Gamow-Teller (S=1,  ): Le transizioni beta permesse lasciano immutata la parità del nucleo, ma c’è un cambio di momento angolare: Il caso 00 è escluso perché non c’è momento angolare da portare via

Esempi di transizioni permesse Pura transizione di Gamow-Teller Il rate di decadimento e l'elemento di matrice Mif dipendono da: overlap dalle funzioni d’onda dei nucleoni nel nucleo. principio di esclusione di Pauli che impedisce che il nuovo nucleone vada in uno stato già occupato Pura transizione di Fermi Transizioni miste (DJ=0, ma Ji0)

Transizioni super-permesse Se le funzioni d’onda nel nucleo dei nucleoni genitore e figlio si overlappano perfettamente, il probabilità di decadimento diventa grande Caso in cui il protone e il neutrone coinvolti nel decadimento hanno gli stessi numeri quantici I valori ft per questo tipo di decadimento sono simili a quelli del decadimento del neutrone libero Sono tipicamenti decadimenti b+ (eccezione il decadimento del 3H in 3He) Esempio: 14O 14N p n 1p1/2 1p3/2 14O 1s1/2 p n 1p1/2 1p3/2 14N 1s1/2 b+

Permesse e super-permesse Distribuzioni di log-ft (logf dalla teoria + logt1/2 misurato) per transizioni permesse e super-permesse: La larghezza della distribuzione di log-ft all’interno di una classe è dovuta alla variazione dell’elemento di matrice Mif Esempio: 14C14N (transizione permessa di Gamow-Teller pura) t1/2=5730 anni log-ft = 9.04 ( >> dei valori tipici dei decadimenti permessi )

Transizioni proibite La transizione con il valore di l più basso che non viola le regole di selezione determina il rate di decadimento e il valore di log-ft Per transizioni proibite (l>0) l’elemento di matrice Mif dipende dal momento dell’elettrone Ha effetto anche sulla forma dello spettro dell’elettrone emesso Un grafico di Fermi-Kurie non-lineare è un’indicazione che una certa transizione è di tipo proibito

Esempi di transizioni proibite 1f7/2 1d3/2 p n 40K b- b+ p n 1f7/2 1d3/2 40Ca p n 1f7/2 1d3/2 40Ar 40K : t1/2 = 1.27109 anni,ft=1018s I nucleoni “un-paired” nel 40K si sommano a JP=4-, mentre gli stati base del 40Ar e 40Ca sono 0+ -> decadimento triplo-probito Il decadimento nel più basso stato eccitato del 40Ar (JP=2+) per cattura elettronica è primo proibito, ma lo spazio delle fasi è molto piccolo perché il Q-valore è di soli 0.049 MeV 137Cs 137Ba : DJ=2, ft = 4109 s