Corso di Fisica B – C.S. Chimica Si consideri un circuito contenente un condensatore C ed un’induttanza L connessi in serie. L’equazione del circuito può essere ricavata in due modi. Dal punto di vista della legge di Kirchhoff (delle maglie), la d.d.p. ai capi del condensatore vale VC = q / C mentre la d.d.p. ai capi dell’induttanza vale VL = - L di / dt. Non essendoci generatori, la legge di Kirchhoff si può scrivere: – VC – VL = 0 cioè cioè Dal punto di vista energetico, invece, L’energia totale del circuito è costante e pari a U = UC + UL cioè, sostituendo: Derivando tale formula, si ottiene: esattamente come sopra. Un’equazione di questo tipo è analoga a quella del moto armonico oscillante e può essere scritta come: la cui soluzione è e dove è chiamata frequenza caratteristica del circuito. La corrente vale invece Derivando e sostituendo, si ottiene per le energie: Per cui l’energia totale, che si conserva, si ridistribuisce ogni periodo nel condensatore e nell’induttanza. Lezione n. 12 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Carica, corrente, energia nel circuito LC (a) Condensatore completamente carico, i=0 (b) Condensatore in scarica, i aumenta (c) Condensatore completamente scarico, i=imax (d) Condensatore in carica, i diminuisce (e) Condensatore completamente carico ma con polarità opposta rispetto ad (a), i=0 (f) Condensatore in scarica, i aumenta ma nel verso opposto rispetto a (b) (g) Condensatore completamente scarico, i=imax (h) Condensatore in carica, i diminuisce Lezione n. 12 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Analogia elettricità - meccanica Il circuito oscillante LC ha una stretta analogia con l’oscillatore meccanico studiato in meccanica. L’equazione dell’energia dell’oscillatore meccanico può essere scritta come: che derivando si riduce a la cui soluzione è formalmente analoga a quella vista per la carica nel circuito LC, salvo una diversa definizione della pulsazione w. Anche nell’oscillatore meccanico, pertanto, avviene l’oscillazione dell’energia tra l’energia potenziale insita nel blocco e l’energia potenziale della molla. Lezione n. 12 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Oscillazioni smorzate in un circuito RLC L’inserzione di una resistenza R in serie ad un circuito LC ha come conseguenza che l’energia elettromagnetica totale non è più costante, poiché vi è una perdita di energia per effetto Joule nella resistenza stessa. Questo si può vedere osservando in un oscilloscopio la curva della corrente in un circuito RLC serie. Ricordando che la potenza dissipata in una resistenza vale i2R, l’equazione di conservazione dell’energia può essere scritta nella forma: o ancora, dopo qualche passaggio: la cui soluzione è scrivibile come: Tale espressione descrive un moto oscillatorio (cos) smorzato (exp). L’energia elettromagnetica nel condensatore può essere scritta come: cioè l’ampiezza delle oscillazioni decresce esponenzialmente nel tempo. La frequenza delle oscillazioni smorzate è w’<w minore di quella del caso senza resistenza. Lezione n. 12 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 La corrente alternata Si consideri una spira rotante con velocità angolare costante w di sezione A immersa nel campo magnetico B. L’angolo q tra la direzione del campo magnetico e la normale alla spira (che è anche la direzione del momento magnetico m) varia nel tempo come: q = w t per cui il flusso del campo magnetico attraverso la spira vale: Pertanto, la f.e.m. originata dalla variazione temporale del flusso del campo magnetico è: Nel caso invece di una spira vi sia una bobina con N spire, la f.e.m. diventa: E se il circuito è connesso ad un utilizzatore con carico R, la corrente e la potenza possono essere espresse come: Lezione n. 12 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Circuito resistivo sotto f.e.m. alternata La legge di Kirchhoff dice che E – vR = 0 dove la tensione alternata forzante del circuito vale E = Em sin wgt il che porta a scrivere ovviamente vR = Em sin wgt che può essere scritto come vR = VR sin wgt con VR = Em. La corrente che fluisce nel circuito, per definizione di resistenza, vale: iR = IR sin wgt con VR = IR R Questa equazione stabilisce che, in un circuito puramente resistivo, la corrente ha la stessa fase della tensione applicata. Le grandezze variabili tensione vR e corrente iR possono essere rappresentate graficamente con il metodo dei fasori (fasore: vettore di fase rotante attorno all’origine). L’angolo di rotazione rispetto all’asse x fornisce un’indicazione della fase (wgt). La lunghezza del fasore rappresenta l’ampiezza (VR o IR), mentre la sua proiezione sull’asse verticale rappresenta il valore della grandezza al tempo t. Il fatto che la corrente ha la stessa fase della tensione applicata è intuibile osservando che i due vettori tensione e corrente sono sovrapposti. Lezione n. 12 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Circuito capacitivo sotto f.e.m. alternata La legge di Kirchhoff dice che E – vC = 0 dove E = Em sin wgt il che porta a scrivere ovviamente vC = VC sin wgt con VC = Em. La carica sulle armature del condensatore, per definizione di capacità C, è: qC = C vC = C VC sin wgt La corrente nel circuito è la derivata di qC, cioè: iC = dqC / dt = wg C VC cos wgt = VC / XC sin (wgt + 90°) con ed anche VC = XC IC dove XC è chiamata reattanza capacitiva del condensatore. Si noti che la reattanza capacitiva, grandezza che ha le dimensioni di una resistenza, dipende non soltanto da C ma anche da w. Questa equazione stabilisce che, in un circuito puramente capacitivo, la corrente e la tensione sono sfasate di 90°. In particolare, la corrente è in anticipo di fase di un quarto di periodo. Questo fatto è visibile osservando che il fasore della corrente è spostato di 90° verso sinistra (in anticipo) rispetto al fasore della tensione. Lezione n. 12 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Circuito induttivo sotto f.e.m. alternata La legge di Kirchhoff dice che E – vL = 0 dove E = Em sin wgt il che porta a scrivere ovviamente vL = VL sin wgt con VL = Em. La tensione ai capi di un’induttanza è data dalla legge di Lenz: E combinando tali equazioni si ottiene: Introducendo la reattanza induttiva dell’induttanza: XL = wg L si ha VL = XL IL e la corrente può essere espressa come: iL = VL / XL sin (wg t - 90°) Si noti che anche la reattanza induttiva ha le dimensioni di una resistenza e dipende non soltanto da L ma anche da w. Questa equazione stabilisce che, in un circuito puramente induttivo, la corrente e la tensione sono sfasate di 90°. In particolare, la corrente è in ritardo di fase di un quarto di periodo. Questo fatto è visibile osservando che il fasore della corrente è spostato di 90° verso destra (in ritardo) rispetto al fasore della tensione. Lezione n. 12 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Circuito RLC serie sotto f.e.m. alternata Si consideri ora un circuito RLC serie forzato da una tensione alternata (sinusoidale) E = Em sin wgt. Si ipotizzi che la corrente risultante possa essere messa nella forma i = I sin (wgt - f) . Osservando i tre fasori, si nota come i fasori VC e VL giacciano sulla stessa direzione, ortogonale a quella di VR, per cui, dal punto di vista dei fasori, si ha: Em2 = VR2 + (VL - VC )2 e, sostituendo i valori delle ampiezze delle d.d.p., si ottiene Em2 = (I R)2 + (I XL - I XC )2 cioè: dove è chiamata impedenza. Per quanto riguarda l’angolo di sfasamento f, osservando i fasori si intuisce che: Lezione n. 12 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Sfasamenti e risonanza A seconda dei valori delle reattanze si hanno alcuni casi particolari. Se XL > XC il circuito è prevalentemente induttivo  la corrente è in ritardo di fase rispetto alla tensione Se XC > XL il circuito è prevalentemente capacitivo  la corrente è in anticipo di fase rispetto alla tensione Se XL = XC il circuito è detto in risonanza e f=0. In queste condizioni è come se L e C non ci fossero ed inoltre si ha: Lezione n. 12 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

La potenza nei circuiti a corrente alternata Nota la corrente in un circuito RLC i = I sin (wgt - f) , la potenza istantanea dissipata sulla resistenza può essere calcolata come: P = i2 R = I2 R sin2 (wgt - f) Risulta tuttavia più utile avere un’espressione della potenza media, cioè integrata mediando nel tempo tale equazione (almeno su un periodo). Si ha: dove la grandezza Iqm è definita valore quadratico medio della corrente. Allo stesso modo sono definibili i valori quadratici medi delle altre grandezze, e si ha: Gli amperometri ed i voltmetri sono in genere tarati per misurare i valori quadratici medi. Ad esempio, il valore di 220 volt per la tensione di rete è un valore quadratico medio. Inoltre, si può ricavare la seguente relazione: La variabile cos f è detta fattore di potenza. Dal punto di vista dell’utilizzatore del circuito (la resistenza R), la potenza è massima se cos f = 1 cioè se Z = R (circuito in condizioni di risonanza). Si noti che Lezione n. 12 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 I trasformatori In un circuito puramente resistivo la potenza fornita dal generatore vale P = V I = E I e quella dissipata nella resistenza vale (valori q.m.) P = R I2 Si vede come la potenza dissipata vari con il quadrato della corrente. Un circuito efficiente deve quindi trasportare un segnale elettrico a bassa corrente ed alta tensione. Gli strumenti che variano a parità di potenza tensione e corrente sono i trasformatori elettrici. Essi non hanno parti mobili ed operano grazie alla legge dell’induzione di Faraday. Un trasformatore consiste in due bobine con un diverso numero di spire Np e Ns (di resistenza trascurabile) avvolte sullo stesso nucleo di Fe. L’avvolgimento connesso al generatore è detto primario, mentre l’altro, connesso al circuito utilizzatore, è detto secondario. Se il tasto S è aperto, i due circuiti sono per ipotesi puramente induttivi, per cui nel primario la corrente è in ritardo rispetto a Vp di 90°, e cosf=1. All’interno del nucleo di Fe la legge dell’induzione di Faraday prevede che: e quindi la relazione tra le due d.d.p. vale Se Np > Ns il trasformatore è detto riduttore, mentre se Ns > Np è detto elevatore. Connettendo il secondario al carico R, nel secondario circola una corrente alternata Is e su R viene dissipata la potenza Ps = R Is2 La corrente Is induce nel primario una d.d.p. che lo costringe a generare una corrente alternata Ip per mantenere costante la tensione Vp Essendo Ip Vp = Is Vs si ha che la relazione tra le correnti è: da cui si ottiene e finalmente è quella vista dal primario. Lezione n. 12 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02