Induzione elettromagnetica: evidenza sperimentale Base sperimentale: gli esperimenti di Faraday (1831) Il moto relativo delle due spire provoca una corrente indotta; il verso del moto determina il verso della corrente nella spira Moto del magnete rispetto alla spira; il polo del magnete determina il verso della corrente nella spira Mutua induzione: l’accensione o lo spegnimento del tasto nel circuito 1 provoca una corrente indotta nel circuito 2 (il verso è diverso nei due casi) Lezione n. 10 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Legge di Faraday dell’induzione elettromagnetica Faraday intuì che la corrente era indotta dalla variazione del flusso FB di B nel tempo. Detta E la forza elettromotrice indotta nella spira (volt) e FB il flusso del campo magnetico attraverso una superficie di cui la spira è contorno (weber), la legge di Faraday è data da:   Si noti che il flusso FB può variare in seguito ad una variazione del campo magnetico, o della forma della superficie attraverso cui si calcola FB. Si parla quindi di flusso tagliato quando il circuito si muove o si deforma in una regione delle spazio dove esiste B, oppure quando la sorgente di B si muove rispetto al circuito. Si noti che il flusso concatenato con la spira varia anche quando il circuito sorgente di B (primario) ed il circuito secondario sono fissi: se c’è una variazione di corrente nel primario, questa provoca una variazione del campo magnetico B da essa generato cioè una variazione di FB. E è una fem indotta (non localizzata) cioè il lavoro per unità di carica (volt) necessario per portare una carica lungo un percorso chiuso. In questo caso tale energia è fornita da B per cui in ogni regione dello spazio dove il campo magnetico B varia nel tempo è presente un campo elettrico E non conservativo Lezione n. 10 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 Legge di Lenz Se la spira ha una resistenza R, l’intensità della corrente indotta vale: vale a dire Se invece di una spira si ha una bobina di N spire, la f.e.m. indotta è: La corrente indotta nella spira ha un verso tale che il campo magnetico generato dalla corrente si oppone alla variazione di campo magnetico che l’ha indotta (legge di Lenz). Avvicinando un magnete ad una spira, B (e quindi FB) attraverso la spira aumenta e viene indotta nella spira una corrente. La spira si comporta come un dipolo magnetico m ed il verso della corrente è tale che m è orientato in senso contrario a B. Se si allontana il magnete dalla spira, il verso di m cambia. Analogamente succede muovendo la spira e tenendo fisso il magnete. Lezione n. 10 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Spira ruotante in un campo magnetico uniforme Si consideri una spira di sezione A che ruoti con velocità angolare costante w. Se il tutto è immerso in un campo magnetico di intensità B uniforme, poiché la spira è in rotazione, il flusso di B concatenato con la spira varierà in continuazione, essendo dato da: per cui vi sarà una f.e.m. indotta data da: Se invece di una spira vi è una bobina con N spire, si genera una f.e.m. alternata e quindi una corrente alternata date da: Lezione n. 10 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 La corrente alternata Si è visto che una bobina con N spire ruotante con velocità angolare costante w immersa in un campo magnetico di intensità B uniforme genera una f.e.m. indotta (ed una corrente indotta se inserita in un circuito) esprimibili come: La potenza erogata dal generatore vale: Lezione n. 10 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Trasferimenti energetici Avvicinando un magnete ad una spira, per effetto della f.e.m. indotta nasce anche una forza che si oppone al moto e che costringe a produrre lavoro positivo contro quella forza. Tale energia si trasferisce nel materiale sotto forma di energia termica (la spira si riscalda). Un fenomeno analogo si verifica muovendo una spira immersa in un campo magnetico. Nel caso in figura, una spira viene tirata verso destra a velocità costante v fino ad uscire dalla regione in cui c’è B. Per far questo, si deve compiere il lavoro dL = F dx poichè occorre applicare una forza costante F, e quindi la potenza applicata vale P = F v. D’altra parte, il flusso di B vale FB = B A = B L x e la sua variazione è: Per cui la spira è elettricamente equivalente al circuito in basso, e i = E / R. Inoltre, sui tre lati della spira agisce la forza magnetica (BL) F1=iLB; F2=F3= ixB con F2=-F3 e F4=0 perchè su quel lato B=0. Correnti di Foucault Sostituendo il valore di I si ottiene F=F1=B2L2v/R e quindi la potenza applicata vale P=Fv=B2L2v2/R da uguagliarsi con la potenza termica dissipata nella spira P=Ri2=B2L2v2/R esattamente uguale alla precedente. il lavoro necessario per estrarre la spira attraverso B è convertito in energia termica dentro la spira. Lezione n. 10 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Campi elettrici indotti Se in un anello di Cu B uniforme aumenta in maniera uniforme (dB/dt=cost)  anche FB aumenterà in maniera uniforme  nell’anello f.e.m. indotta  i indotta  all’interno dell’anello c’è un campo elettrico indotto E le cui linee di forza sono circolari concentriche con l’anello. Se B=cost allora E=0. Una carica q0 in moto lungo la circonferenza di raggio r in un giro subirà il lavoro L=q0E (E=f.e.m.) ma il lavoro può anche essere espresso come prodotto di forza per spostamento: cioè si ha Ciò significa che il campo elettrico indotto NON è conservativo. La legge di Faraday può essere scritta come: Il potenziale elettrico ha senso soltanto per le cariche statiche. Lezione n. 10 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Induttori ed induttanze Induttore o induttanza: dispositivo utilizzabile per produrre un campo magnetico noto in una determinata regione. Il simbolo normalmente usato è: (ricorda il solenoide) Se la corrente circolante nelle N spire (o avvolgimenti) del solenoide in cui è presente un flusso di B dato da FB è i, l’induttanza vale: La grandezza NFB è chiamata flusso concatenato all’induttanza. L’unità di misura dell’induttanza è l’henry. 1 H = 1 T m2 A-1. Nel caso di un solenoide (indefinito) con n spire per unità di lunghezza percorso dalla corrente i, si è visto che il campo magnetico vale B = m0 i n. Il flusso concatenato vale: e quindi l’induttanza è E vicino al centro del solenoide l’induttanza per unità di lunghezza vale L/l=m0n2A Come nel caso della capacità, essa dipende da fattori geometrici, ed ha la generica espressione di m0 = 4p 10-7 T m A-1 (o H/m) moltiplicato per una lunghezza. Lezione n. 10 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 Autoinduzione Se due bobine (induttanze) sono molto vicine l’una all’altra, una corrente variabile nella prima creerà una f.e.m. indotta nella seconda. Per lo stesso motivo, una f.e.m. indotta apparirà anche nella prima bobina (fenomeno dell’autoinduzione). Se in una bobina varia i, in essa si genera una f.e.m. autoindotta EL. Il verso è tale per cui la f.e.m. autoindotta EL ende ad opporsi al cambiamento che la causa: È possibile definire una d.d.p. autoindotta ai capi di un’induttanza VL= EL. In un’induttanza reale occorre considerare, oltre a L, anche la resistenza interna del filo dell’induttanza r. Lezione n. 10 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 Circuiti RL Si consideri un circuito ad una maglia con R e L ed un generatore E. Quando il tasto S chiude il circuito, in assenza di L la corrente tenderebbe istantaneamente al valore i0= E /R. La presenza di L invece causa l’insorgere della f.e.m. indotta EL che limita la crescita di i. Applicando la legge delle maglie di Kirchhoff al circuito RL, si ha: Integrando tale equazione ed imponendo le condizioni iniziali i=0 per t=0 e i= i0= E /R per t, si arriva all’espressione: dove tL=L/R è la costante di tempo induttiva. Per t=tL la corrente vale i = 0.63 i0. Spegnendo in queste condizioni il generatore, invece, si ha: Lezione n. 10 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Energia in un campo magnetico L’equazione delle maglie di Kirchhoff applicata ad un circuito RL con generatore E è: e moltiplicando per i si ottiene: Tali termini hanno le dimensioni di una potenza. Il primo rappresenta la potenza erogata dal generatore, il secondo la potenza dissipata nella resistenza per effetto Joule ed il terzo la potenza immagazzinata nel campo magnetico. L’integrale di tale termine fornirà l’energia magnetica EL: Nel caso di un tratto l di un solenoide indefinito di sezione A con n spire per unità di lunghezza, la densità volumica di energia magnetica vale: Come nel caso della densità volumica di energia elettrica, tale risultato è stato ottenuto per il solenoide ma ha validità generale. Lezione n. 10 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 Mutua induzione La corrente i1 circolante nella bobina 1 prodotta da una batteria produce il campo B1. La seconda bobina, senza batteria, è attraversata dal flusso di B1 F21. Si definisce mutua induttanza della bobina 2 rispetto alla bobina 1 la grandezza: Se i1 varia nel tempo, si ha e per la legge di Faraday: è la f.e.m. indotta nella seconda bobina. Se invece è la bobina 2 ad avere il generatore di f.e.m. variabile, la corrente i2 circolante nella bobina 2 produce il campo B2 e la prima bobina, senza batteria, è attraversata dal flusso di B2 F12. Si ha: Le costanti di proporzionalità M12 e M21 coincidono per cui si ha: M = M12 = M21 M si misura in henry come L. Lezione n. 10 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Induttanze in serie ed in parallelo Induttori in serie (senza accoppiamento magnetico) Per la legge di Kirchhoff delle maglie, le f.e.m. si sommano: Per cui si ha: Cioè: Induttori in parallelo (senza accoppiamento magnetico) Per la legge di Kirchhoff dei nodi, le correnti si sommano:  Per la legge di Faraday: Da cui si ottiene: Cioè: Lezione n. 10 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02