Introduzione alla fisica Grandezze fisiche Misura ed errori di misura. Unità di misura Richiami di matematica e geometria Percentuali, potenze, notazione scientifica, proporzioni, conversioni, equazioni di 1o grado. Angoli, superfici e volumi Rappresentazione grafica di relazioni tra grandezze fisiche Vettori ed operazioni coi vettori

Grandezze fisiche Numero + unità di misura Definizione operativa di una grandezza fisica: Una grandezza fisica è definita quantitativamente attraverso un metodo operativo di misura, che permetta il confronto tra la grandezza in esame e una grandezza omogenea di riferimento (campione) Espressione di una grandezza fisica: Numero + unità di misura Rapporto tra la grandezza e il campione di riferimento Misura diretta: Confronto diretto con il campione (es. misura di lunghezza con un metro graduato) Misura indiretta: Misura di una grandezza legata a quella da misurare attraverso una relazione nota (es. misura di tempo con una clessidra)

Grandezze fisiche fondamentali e unità di misura Tutte le grandezze fisiche possono essere espresse in funzione di un insieme limitato di grandezze fondamentali Un sistema di unità di misura definisce le grandezze fisiche fondamentali e i corrispondenti campioni unitari (unità di misura) Sistema Internazionale (S.I.) Grandezza fisica Unità di misura Lunghezza [L] metro (m) Tempo [t] secondo (s) Massa [M] chilogrammo (kg) Intensità di corrente [i] ampere (A) Temperatura [T] grado Kelvin (K)

Grandezze fisiche derivate Le rimanenti grandezze fisiche sono derivate a partire dalle grandezze fondamentali mediante relazioni analitiche Alcuni esempi: Superficie (lunghezza)2 [L]2 m2 Volume (lunghezza)3 [L]3 m3 Velocità (lunghezza/tempo) [L][t]-1 m·s-1 Accelerazione (velocità/tempo) [L][t]-2 m·s-2 Forza (massa*accelerazione) [M][L][t]-2 kg·m·s-2 Densità (massa/volume) [M][L]-3 kg·m-3 Pressione (forza/superficie) [M][L]-1[t]-2 kg·m-2·s-2 ...........

Errori di misura La misura di una grandezza fisica è sempre affetta da errore Errore: stima di quanto la grandezza misurata si discosta dal valore “vero” Limiti strumentali: Uno strumento permette la misura della grandezza con un’incertezza legata alla sua sensibilità Errori casuali (statistici): Strumenti di alta sensibilità forniscono risultati differenti su misure ripetute, a causa di perturbazioni ed effetti accidentali di cui l’osservatore non può tenere conto. Errori casuali avvengono sia in eccesso sia in difetto rispetto al valore vero Errori sistematici: Avvengono sempre o in eccesso o in difetto rispetto al valore vero. Sono causati da errori di misura, da strumenti mal tarati, dall’uso di modelli errati o da perturbazioni importanti di cui non si è tenuto conto

Istogramma delle frequenze Istogramma delle frequenze per la rappresentazione di misure ripetute l1, l2, l3, l4, ..... Esempio: Misura di una lunghezza l1 2,15 cm l2 2,14 cm l3 2,16 cm l4 2,12 cm l5 l6 l7 2,13 cm l8 l9 2,17 cm l10 l11 2,15 cm l12 2,16 cm l13 2,14 cm l14 l15 l16 l17 l18 l19 2,13 cm l20 7 Numero di misure 6 5 4 3 2 1 2,12 2,13 2,14 2,15 2,16 2,17 2,18 cm

Valore medio e deviazione standard Valor medio: Scarto quadratico medio (deviazione standard): l 7 Nel nostro esempio: Numero di misure 6 l = 2,146 cm  = 0,012 cm 5 l- l+ 4 3 Approssimando: 2 1 l = l ±  = (2,15 ± 0,01) cm 2,12 2,13 2,14 2,15 2,16 2,17 2,18 cm

Distribuzione gaussiana L’istogramma di frequenze di un numero elevato di misure ripetute affette solo da errori casuali segue una curva tipica a campana (distribuzione gaussiana) (~68% dell’area sotto la curva)   (~95%) (~99%) l-2 l+2 l l-3 l+3 l- l+ Distribuzione stretta  piccola errore piccolo Distribuzione larga  grande errore grande

Percentuali 1% = 1/100 = 0,01 n % = n/100 = 0,01·n 1% = 1/100 = 0,01 n % = n/100 = 0,01·n 20% di una quantità x : Es.: 3% di 150 = 3•150/100 = 0,03•150 = 3•1,5 = 4,5 (adimensionale!) 200% di 1000 euro = 200/100 •1000 = 2000 euro (attenzione alle dimensioni!) (raddoppiare = aumentare del 100% = passare al 200 %) “Per mille” : 1 ‰ = 1/1000 = 0,001 = 0,1% “Parte per milione” : 1 ppm = 1/1000000 = 0,000001 = 0,0001% Le percentuali sono comode per esprimere variazioni (diminuzioni o aumenti) di una quantità nota: Aumento dell’8% di una quantità x: Diminuzione del 15% di P:

Data una misura espressa nella forma: Errore percentuale Data una misura espressa nella forma: Errore percentuale: (adimenzionale!) Esempi: m = 1 kg ± 10 g = (1 ± 0,01) kg m = 100 kg ± 100 g = (100 ± 0,1) kg Nota: In mancanza di errore questo si intende sull’ultima cifra significativa! l = 6,8 m  l = (6,8±0,1) m l = 6,80 m  l = (6,80±0,01) m

Potenze an·am = an+m (an)m = an·m an/am = an-m an·bn = (ab)n Operazione di elevamento a potenza: ab=a·a·a·.... (b volte) a=base b=esponente a0=1 Esempi: 100=1 10-3=1/103 = 0,001 (-2)3 = -8; (-8)1 / 3 = 3 -8 = -2 Proprietà delle potenze: an·am = an+m 103·105 = 108 (1000·100000=100000000) (an)m = an·m (102)3 = 102·102·102 = 106 an/am = an-m 106/104=106-4=102 (1000000/10000 = 100) an·bn = (ab)n 32·102=(3·10)2 2 24 = 24/2 = 22

Potenze di 10 106 si legge 'dieci alla sesta' è uguale a 1 moltiplicato per 106: 106 = 1*1000000 = 1000000 es. 3,5 * 106 = 3500000 ( si sposta la virgola a destra di 6 posti ) 10-6 si legge 'dieci alla meno 6' è uguale a 1 diviso per 106: 10-6 = 1/1000000 = 0,000001 es. 3,5 * 10-6 = 0,0000035 ( si sposta la virgola a sinistra

Notazione scientifica In notazione scientifica un numero si esprime come prodotto di una cifra compresa tra 0,1 e 10 x una potenza di 10 5,738 · 103 Esempi: 800 = 8·102 4765 = 4,765·103 0,00097 = 9,7·10-4 l = 345000 m = 3,45·100000 m = 3,45·105 m l = 0,00038 m = 3,8·0,0001 m = 3,8·10-4 m La notazione scientifica è utile per esprimere numeri molto grandi o molto piccoli Es.: Massa della Terra = 5.980.000.000.000.000.000.000.000 kg = 5,98·1024 kg Massa di un elettrone = 0,0000000000000000000000000000009109 kg = 9,11·10-31 kg

Multipli e sottomultipli Multipli e sottomultipli di una unità di misura possono essere espressi usando prefissi: Prefisso Simbolo Fattore di moltiplicazione tera T 1012 giga G 109 mega M 106 kilo k 103 etto h 102 deca da 101 Prefisso Simbolo Fattore di moltiplicazione deci d 10-1 centi c 10-2 milli m 10-3 micro  10-6 nano n 10-9 pico p 10-12 Es: 1 m 1 km = 103 m 1 Mm = 106 m 1 Gm = 109 m 1 dm = 10-1 m 1 cm = 10-2 m 1 mm = 10-3 m 1 m = 10-6 m 1 nm = 10-9 m 1 pm = 10-12m (1 mm = 1/1000 m = 1/103 m = 10-3 m)

Equazioni ax + b = 0  x = -b/a  il risultato non cambia Es 1: Es 2: Equazione = relazione di uguaglianza tra due membri verificata per particolari valori di una variabile incognita ax + b = 0  x = -b/a Sommando (sottraendo) una stessa quantità a entrambi i membri Moltiplicando (dividendo) per una stessa quantità entrambi i membri  il risultato non cambia Es 1: Es 2:

Equazioni di primo grado La variabile incognita compare elevata alla prima potenza: x1 = x Esempio:

Prodotto dei medi = Prodotto degli estremi: Proporzioni a : b = c : d  Prodotto dei medi = Prodotto degli estremi: a · d = c · b Es 1: Conversione tra unità di misura: Se N = 30000 lire  X=30000·0,000516=15,48 euro Es 2: Se un corridore percorre a velocità costante 19,2 m in 2 s, quanto impiega a percorrere 100 m?

Equivalenze tra unità di misura: Superfici e Volumi cerchio sfera r c=2r A=r2 r S=4r2 V=(4/3)r3 quadrato cubo P=4l A=l2 S=6l2 V=l3 l l parallelepipedo S cilindro S l V = S·l V = S·l = r2·l l Equivalenze tra unità di misura: 1 m2 = (1 m)2 = (102 cm)2 = 104 cm2 = 10000 cm2 1 m3 = (1 m)3 = (102 cm)3 = 106 cm3 = 1000000 cm3 1 cm2 = (1 cm)2 = (10-2 m)2 = 10-4 m2 = 0.0001 m2 1 cm3 = (1 cm)3 = (10-2 m)3 = 10-6 m3 = 0.000001 m3 1 litro = 1 dm3 = (1 dm)3 = (10-1 m)3 = 10-3 m3 = (101 cm)3 = 103 cm3

Equivalenze - Conversioni 3 mm A = (3 mm)2 = 32 mm2 = 9 mm2 = 9 (10-3 m)2 = 9·10-6 m2 Es.1 mm2 m2 Es.2 6,57 l = 6,57 dm3 = 6,57 (10-1 m)3 = 6,57·10-3 m3 sapendo che 1 litro = 1 dm3 litro  m3 Es.3 1h33’20’’ s 1h = 60’ ·60 s = 3600 s 33’= 33’·60 s = 1980 s 20’’ = 20 s 1h33’20’’ = = (3600+1980+20) s = = 5600 s Es.4 km/h  m/s 1 km/h = 1000 m/3600 s = 0,28 m/s 120 km/h = 120*1000 m/3600 s = 33.6 m/s

Angoli s Unità di misura: gradi, minuti, secondi 1o=60' 1'=60'' Es: 35o41'12'' radianti s  R Angolo giro = 360o = 2R/R = 2 rad R=1 arco  rad Angolo giro 360o 2 270o 3/2 piatto 180o  retto 90o /2 60o /3 45o /4 30o /6 Es.: angolo retto Arco: se R=1 rad

Conversione gradi radianti 1 rad : x gradi = 2 : 360o 28o  rad? 2 : 360o = x : 28o  = 3,1415

Triangoli rettangoli Triangolo rettangolo Teorema di Pitagora a c b d Triangolo rettangolo isoscele Triangolo equilatero 60o d l l l h 45o 60o 60o l/2 l/2 l

Funzioni e loro rappresentazione grafica Una funzione è una relazione tra due variabili x e y: y=f(x) Definire la funzione y=f(x) significa stabilire come varia la variabile dipendente y al variare della variabile indipendente x. ordinate y Una funzione analitica può essere rappresentata in modo grafico con una curva su un sistema di assi cartesiani nel piano (x,y) 4 3 Es.: 2 y = x y = 2x 1 ascisse O x 1 2 3

Relazioni tra grandezze fisiche: proporzionalità lineare diretta La relazione tra due grandezze fisiche può essere rappresentata in modo grafico nel piano cartesiano (x,y): Proporzionalità diretta s direttamente proporzionale a t ordinate s (km) s = v·t Es.: retta t s 15 1 h 5 km 10 2 h 10 km 5 ascisse 3 h 15 km O t (h) 1 2 3

Proporzionalità quadratica diretta s quadraticamente proporzionale a t Es.: s (m) parabola 2 1/2 t s t (s) O 1 2 1 s 2 s 0.5 m 2 m a = 1 m/s2

Proporzionalità inversa p (Pa) Proporzionalità inversa p inversamente proporzionale a V Es.: pV = nRT con nRT = costante Iperbole equilatera 4 V p 3 1 m3 2 m3 3 m3 4 Pa 2 Pa 4/3 Pa 2 cost = 4 1 O 1 2 3 4 V (m3)

Esempi di funzioni in fisica Retta 1o grado Iperbole proporz.diretta proporz.inversa  y raddoppia al raddoppiare di x y si dimezza s = v•t PV=k  P=k/V  = c•T f = c   = c/f F = m•a V = R•I s P t V Retta Iperbole

Esempi di funzioni in fisica Parabola 2o grado Fraz. quadr. proporz.dir.quadr. proporz.inv.quadr. y quadruplica al raddoppiare di x y si riduce a un quarto s = ½ a t2 Fg = G•m1m2/r2 Ek = ½ m v2 Fe = K•q1q2/r2 s F t r Parabola proporz.inv.quadr

Grandezze scalari e vettoriali Grandezze scalari: caratterizzate da un numero Es: tempo, temperatura, massa Grandezze vettoriali: caratterizzate da un modulo, una direzione e un verso. Es: spostamento, velocità, accelerazione direzione modulo del vettore v : v = | v | Es: |v| = 100 m/s verso modulo ® v punto di applicazione Vettori uguali Vettori opposti

Somma di due vettori a + b = c a c b Es: spostamento da A a C passando per B Metodo grafico (regola del parallelogramma) B a ® c ® A C b D ® a + b = c ® ® AB + BC = AB + AD = AC c = vettore risultante di a e b

Differenza tra due vettori Metodo grafico (regola del parallelogramma) a – b = c c ® a ® c ® a ® c ® -b b b a – b = a + ( -b ) = c b + c = a

Componenti di un vettore Nel piano cartesiano bidimensionale (x,y) un vettore può essere scomposto nelle sue due componenti ortogonali vx e vy vx = |v| cos a vx2 + vy2 = = v2 cos2 + v2 sen2 = = v2 (cos2+sen2) = v2 vy = |v| sen a y o vy ® v a vx x

AC2+AB2=CB2(sen2+cos2)=CB2 Trigonometria di base y  cos  sen  0o 1 30o = /6 1/2 45o = /4 60o = /3 90o = /2 180o =  -1 270o = 3/2 1 R=1 sen   -1 cos  1 x O -1 sen2+cos2=1 C AC = CB·sen  AB = CB·cos  AC2+AB2=CB2(sen2+cos2)=CB2 AC = AB·tg   A B

Somma e differenza di vettori y Somma di vettori v3 = v1 + v2 v1 ® v1y v3x = v1x + v2x v3y = v1y + v2y v3y v3 ® a v1x v3x o v2x v2y v2 ® v3x = v1x - v2x Differenza di vettori v3 = v1 - v2 v3y = v1y - v2y

Prodotto scalare a•b = |a||b|cos  = |a|b' b b' = |b|cos  : a b' Es.: componente di b lungo a a b' Es.:  = 0o ® a  b = ab cos f = ab ® ® a ® b ®  = 90° a ® b a  b = ab cos  = 0 ® ®  = 180° ® a  b = ab cos  = – ab ® a ® ® b

Prodotto vettoriale c = a  b |c| = |a||b|sen  = |a|b” c b b" Modulo di c : |c| = |a||b|sen  = |a|b” b’’: componente di b ortogonale ad a a b” Direzione di c: ortogonale ad a e b Verso di c: verso di avanzamento di una vite che ruota sovrapponendo a su b