Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 Calamite e magnetismo I primi materiali noti con proprietà magnetiche sono le magnetiti. Ogni magnete è composto da due poli magnetici (esperimento della limatura di Fe). Dividendo il magnete in pezzi sempre più piccoli, si hanno sempre dipoli magnetici, e per quanto si sa non esistono in natura monopoli magnetici. Ciò ha come conseguenza che cioè che il flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa è nullo (legge di Gauss per i campi magnetici). Tale legge vale per qualsiasi superficie chiusa, anche se essa comprende soltanto una parte del magnete. Lezione n. 11 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 Magnetismo terrestre La Terra è un enorme magnete, e dal punto di vista magnetico può essere approssimabile ad un grosso dipolo orientato lungo la direzione MM (l’asse di rotazione è RR, ed i due assi formano un angolo di 11.5°). Il momento di dipolo magnetico terrestre vale m = 8 1022 J/T ed incrocia la superficie terrestre nella Groenlandia (polo Nord geomagnetico) ed in Antartide (polo Sud geomagnetico). Il polo Nord geomagnetico è in realtà un polo Sud magnetico. Per la misura della direzione di B si usano le bussole (magneti ruotanti attorno ad un asse verticale). Sulla superficie terrestre il campo B differisce da quello teorico di un dipolo ideale a causa di disomogeneità nella composizione della superficie e del mantello, ed è soggetto a variazioni a corto e lungo periodo (ogni milione di anni inverte polarità). Lezione n. 11 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Magnetismo ed elettroni L’elettrone ha due momenti intrinseci: un momento angolare di spin S ed un momento di dipolo magnetico (di spin) ms. In fisica quantistica, si dimostra che la relazione tra i due è: ms = - e S / m dove e = 1.6 10-19 C e m = 9.11 10-31 Kg. Lo spin S non è misurabile direttamente, ma sono misurabili le sue componenti lungo un asse, e tali componenti sono quantizzate. Cioè si ha Sz = ms h / (2 p) dove ms =  0.5 è il numero quantico magnetico di spin e h=6.63 10-34 Js è la costante di Planck. Anche ms non è misurabile direttamente, ma sono misurabili le sue componenti lungo un asse, e tali componenti sono quantizzate. Si ha ms,z = - e Sz / m =  e h / (4 p m) =  mB dove mB = e h / (4 p m) è detto magnetone di Bohr. Un elettrone immerso in un campo Bext possiede un’energia potenziale U = - ms ° Bext Inoltre un elettrone atomico possiede anche un momento angolare orbitale Lorb al quale è associato il momento di dipolo orbitale morb dato da: morb = - e Lorb / 2m In presenza di un campo magnetico esterno, inoltre, si ha anche l’energia potenziale Uorb data da: Uorb = morb ° Bext Lezione n. 11 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Modello dell’elettrone “a spira” Supponiamo che un elettrone percorra un’orbita circolare di raggio r >> ra (dove ra è il raggio atomico – modello “a spira”) ruotando a velocità costante v in senso antiorario. Tale situazione è equivalente a quella di una spira di raggio r percorsa dalla corrente i = e / T dove T è il periodo dell’orbita. Pertanto ed il momento orbitale è Per quanto riguarda il momento angolare orbitale, invece, Lorb = m r  v cioè il che mostra come la relazione tra morb e Lorb è: Elettrone che gira in senso orario In presenza di un campo magnetico esterno non uniforme Bext, ipotizzando per semplicità che gli angoli tra Bext e la verticale siano uguali su tutta l’orbita, si vede che agisce una forza risultante F il cui modulo vale dF = i dL x Bext per ogni elemento infinitesimo di orbita dL. La componente orizzontale di F è bilanciata dalla forza centrifuga e la componente verticale di F è diretta verso l’alto o verso il basso a seconda del verso dell’orbita. Elettrone che gira in senso antiorario Lezione n. 11 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 Sostanze magnetiche In questa trattazione ci si limiterà a considerare materiali omogenei ed isotropi. Inserendo una sostanza in una zona di spazio in cui è presente campo magnetico B, si hanno tre differenti comportamenti: Il materiale è (debolmente) respinto () con una forza F  B2 dal campo magnetico B– tali sostanze sono dette diamagnetiche (es.: Bi, Cu, H2O, N liq., ...) Il materiale è (debolmente) attratto () con una forza F  B2 dal campo magnetico B – tali sostanze sono dette paramagnetiche (es.: Al, Na, O2 liq., ...) Il materiale è fortemente attratto () con una forza F  B dal campo magnetico B – tali sostanze sono dette ferromagnetiche (es.: Fe, Co, Ni, ...) Le sostanze della terza categoria sono genericamente dette sostanze magnetiche. Si consideri un solenoide con il vuoto all’interno: il coefficiente di induzione è L0 ed il campo magnetico è B0 = m0 n i. Se l’interno del solenoide viene riempito con un materiale magnetico, si nota che il coefficiente di induzione diventa L= mr L0 ed il campo magnetico diventa anche è B B0 Si ha mr <1 per i materiali diamagnetici, mr >1 per i materiali paramagnetici e mr >>1 e dipendente dalla corrente i per i materiali ferromagnetici. Lezione n. 11 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Suscettività magnetica Si definiscono le seguenti grandezze, la relazione tra le quali è data da: m = permeabilità magnetica m0 = permeabilità magnetica del vuoto mr = permeabilità magnetica relativa cm = suscettività magnetica Nei materiali diamagnetici cm < 0 Nei materiali paramagnetici cm > 0 Nei materiali ferromagnetici cm >> 0 Materiale Valore di cm   Diamagnetico Acqua - 9.1 10-6 Rame - 9.6 10-6 Paramagnetico Sodio 7.2 10-6 Alluminio 2.2 10-5 Ferromagnetico Ferro 5.5 103 Mu-metal 1.0 105   Lezione n. 11 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Diamagnetismo Si usa il modello dell’elettrone “a spira”. In assenza di campo magnetico esterno Bext, gli atomi hanno momento magnetico totale nullo (lo spin ed il momento magnetico orbitale si compensano). Inoltre, il numero degli elettroni rotanti in senso orario uguaglia quelli rotanti in senso antiorario. Se viene applicato un campo magnetico esterno non uniforme Bext (p.es. divergente) crescente. Al crescere di Bext, viene indotto sull’elettrone un campo elettrico Eind diretto in senso orario. L’effetto sull’elettrone rotante in senso antiorario è di un’accelerazione  i nella “spira” aumenta  morb (diretto  ) aumenta per cui l’elettrone assume un momento netto m (diretto  ). L’effetto sull’elettrone rotante in senso orario è di una decelerazione  i nella “spira” diminuisce  morb (diretto  ) diminuisce per cui l’elettrone assume un momento netto m (diretto  ). Per quanto riguarda l’atomo nel suo complesso, nel caso della rotazione antioraria si ha un’accelerazione  i nella “spira” aumenta  la forza netta (diretta  ) aumenta  si ha una forza netta verso l’alto (diretta  ). Nel caso della rotazione oraria si ha una decelerazione  i nella “spira” diminuisce  la forza netta (diretta  ) diminuisce  si ha una forza netta verso l’alto (diretta  ). In tutti i casi, nonostante la semplicità del modello, si vede come si sia sviluppato un momento magnetico m opposto a Bext. Elettrone che gira in senso orario Elettrone che gira in senso antiorario Lezione n. 11 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 Paramegnetismo Anche qui si usa il modello dell’elettrone “a spira”. In questo caso, lo spin ed il momento magnetico orbitale degli atomi si sommano per dare m0. In assenza di campo magnetico esterno Bext, i momenti m sono orientati a caso q quindi il momento complessivo è nullo. Se viene applicato un campo magnetico esterno Bext crescente, essi si orientano allineandosi con Bext, per cui il materiale acquista un momento magnetico complessivo non nullo orientato parallelamente a Bext. Tale momento complessivo, in teoria, per un volume di materiale contenente N atomi dovrebbe valere Nm. Tuttavia a causa dell’agitazione termica è molto minore di tale valore. Si definisce magnetizzazione il momento magnetico complessivo per unità di volume La legge di Curie dice che la magnetizzazione è direttamente proporzionale al campo magnetico esterno Bext ed inversamente alla temperatura T: Tale relazione è in realtà valida soltanto per valori bassi di Bext. Lezione n. 11 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 Ferromagnetismo In alcuni elementi (tra i quali Fe, Cb, Ni, …) si ha accoppiamento di scambio (lo spin degli atomi interagisce con quello degli atomi vicini provocando un allineamento persistente dei dipoli atomici secondo rigidi parallelismi (domini magnetici: sottili regioni nelle quali l’allineamento dei dipoli cambia bruscamente passando da un dominio all’altro e nei quali il campo magnetici è molto intenso). L’agitazione termica degli atomi contrasta questo allineamento, ma fintanto che non viene superato un valore termico di soglia (Tc, detto temperatura di Curie: per il Fe Tc = 1043 K), l’allineamento persiste. Per T > Tc invece l’accoppiamento di scambio sparisce e la sostanza diventa paramagnetica. In condizioni normali i domini hanno orientazioni diverse ed il campo magnetico complessivo è praticamente nullo. Ma un materiale ferromagnetico posto in un campo magnetico esterno Bext sviluppa un forte momento dipolare magnetico nella direzione di Bext . Le dimensioni dei domini magnetici possono variare da qualche decimo di micron (ad es. nella magnetite 3 10-7 m) fino a qualche mm (ad es. nell’ematite 1 mm). Ad altissime temperature (centinaia di gradi °C, cioè oltre la temperatura di Curie), i domini magnetici possono variare la loro orientazione allineandosi con la direzione del campo magnetico esterno Bext (per es. quello terrestre). Raffreddandosi, tali materiali fossilizzano la direzione di magnetizzazione nei domini magnetici (magnetizzazione termopermanente). In questo modo (usando le tecniche di datazione fossile), è stato possibile documentare la variazione della direzione del campo magnetico terrestre nei secoli scorsi. Lezione n. 11 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Magnetizzazione ed isteresi magnetica Nell’anello di Rowland (toroide di Fe nelle cui spire circola la corrente iP ed in cui B = m0 n iP), detto B0 il campo magnetico in assenza di Fe, si ha B >> B0 cioè B = B0 + BM dove BM è il contributo del Fe, proporzionale alla magnetizzazione M. L’andamento di BM in funzione del campo magnetico senza Fe è crescente (e simile alla curva di magnetizzazione delle sostanze paramagnetiche). BM,max è il massimo valore possibile di BM. Per il Fe, il 70% degli atomi è magnetizzato per B0 ~10-3 T. Aumentando il campo magnetico B0 da zero (punto a) fino ad un certo valore (punto b) e poi ritornando al valore nullo, le curve di magnetizzazione non si sovrappongono ma appare una magnetizzazione residua (punto c). Tale fenomeno è noto con il nome di isteresi magnetica, e la curva bcdeb è chiamata ciclo di isteresi. Il fenomeno può essere spiegato qualitativamente pensando che l’orientazione dei domini non è perfettamente reversibile, per cui si dice che il materiale conserva memoria dell’aumento di B0 a cui è stato sottoposto. Tale “memoria” è essenziale per l’immagazzinamento delle informazioni nelle memorie dei calcolatori. Può essere rimossa riscaldando il materiale oltre il punto di Curie. Lezione n. 11 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Campi magnetici indotti: legge di Ampère-Maxwell La legge dell’induzione di Faraday stabilisce che la variazione del flusso del campo magnetico induce un campo elettrico indotto. Si può dimostrare che è vero anche il contrario: la variazione del flusso del campo elettrico induce un campo magnetico indotto. Tale meccanismo è insito nella legge dell’induzione di Maxwell: Si consideri un condensatore C durante la fase di carica. Sul piatto di destra il campo elettrico E è entrante ed aumenta nel tempo. Lungo il percorso circolare chiuso di raggio r (“spira”), E aumenta  FE aumenta  viene indotto un campo B lungo la “spira”. Tale campo viene indotto anche se la “spira” passa per un punto esterno al condensatore (punto 2), e permane finchè E varia. Si noti la differenza di verso tra il campo magnetico B generato da un campo elettrico E variabile entrante (senso orario) ed il campo elettrico E generato da un campo magnetico B variabile entrante (senso antiorario), evidenziata nel segno meno presente soltanto nella legge di Faraday. Ricordando infine la legge di Ampère , si può notare come le leggi di Ampère e quella di Maxwell forniscono due modi possibili per generare un campo magnetico: attraverso una corrente oppure attraverso un campo elettrico variabile nel tempo. Tali due leggi possono essere conglobate nella legge di Ampère-Maxwell: Lezione n. 11 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corrente di spostamento La grandezza è dimensionalmente uguale ad una corrente, e viene denotata convenzionalmente come corrente di spostamento ed indicata con is. La legge di Ampère-Maxwell può quindi essere riscritta come Nell’esempio del condensatore C, la corrente reale (di conduzione) che carica C modifica il campo elettrico E tra le armature (perché fa variare la d.d.p. tra di esse). La corrente di spostamento is, invece, è associata alla variazione del campo elettrico. La carica sulle armature di area A vale q = e0 A E. La corrente di conduzione vale i = dq / dt = e0 A dE / dt. La corrente di spostamento vale is = e0 dFE / dt = e0 d(A E) / dt. Cioè is = e0 dFE / dt = e0 A dE / dt  i La corrente di conduzione e la corrente di spostamento sono pertanto equivalenti in valore assoluto e quindi si può pensare alla corrente (fittizia) di spostamento come alla continuazione della corrente di conduzione (reale) attraverso l’interruzione del conduttore tra i piatti del condensatore, esplicitata tramite la presenza del campo elettrico. Il campo magnetico indotto dalla corrente di spostamento è calcolabile allo stesso modo di quello generato dalla corrente di conduzione, e la sua intensità vale (r= distanza dal centro della spira fittizia generatrice del campo): Lezione n. 11 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 Equazioni di Maxwell È possibile riepilogare le equazioni sin qui viste. Tali equazioni sono le quattro equazioni fondamentali dell’elettromagnetismo, note come equazioni di Maxwell. Da esse è possibile ricavare praticamente tutti i concetti relativi all’elettromagnetismo. Le ultime due, in particolare, dimostrano come campi elettrici e magnetici siano interconnessi tra loro per cui è lecito parlare di elettromagnetismo. Lezione n. 11 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02