Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 La relatività Relatività  teoria collegata alle misure di eventi nello spazio e nel tempo; permette di determinare posizione e tempi rispetto a sistemi di riferimento in moto relativo Einstein (1905 circa) elaborò dapprima la teoria della relatività ristretta (o speciale, cioè relativa ai sistemi di riferimento inerziali) e quindi la teoria della relatività generale. Tale teoria unifica i concetti di spazio e tempo introducendo il concetto di spazio-tempo come entità unica. Alcune delle conseguenze di tale teoria sono: il legame spazio-tempo è diverso per due osservatori in moto reciproco tra loro; il tempo non scorre a ritmo fisso ma è “regolabile” (non esiste il “tempo universale); La durata di un intervallo temporale vista da un sistema di riferimento in moto è diversa; La lunghezza di un oggetto vista da un sistema di riferimento in moto è diversa. Lezione n. 17 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Postulati alla base della teoria Le leggi della fisica sono invarianti in tutti i sistemi di riferimento inerziali La velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore in tutte le direzioni ed in tutti i sistemi di riferimento inerziali In particolare, la velocità della luce nel vuoto vale c = 299792458 m/s Nel 1964 Bertozzi misurò Ec e v di elettroni accelerati scoprendo che Ec cresceva molto più di quanto non facesse supporre la sua definizione. Si definisce evento un accadimento caratterizzato da 4 coordinate: x, y, z, t. Si supponga che l’osservatore misuri le coordinate nel modo seguente: le 3 spaziali rispetto ad una schiera tridimensionale costituito da aste, e quella temporale con N orologi opportunamente sincronizzati. Lezione n. 17 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Relatività della simultaneità temporale Sam osserva che l’evento R e l’evento B si sono verificati contemporaneamente. Sally (in moto a velocità v) vedrà i due eventi non simultanei (in generale). Pertanto la simultaneità è un concetto che dipende dallo stato di moto di un osservatore. Sam osserva dai segni sull’astronave che l’evento R e l’evento B si sono verificati alla stessa distanza da sé e che il segnale è giunto a lui allo stesso tempo (l’onda luminosa rossa e quella blu sono arrivate insieme), per cui deduce che essi sono stati simultanei. Sally osserva l’onda luminosa rossa prima di quella blu ma osserva dai segni sull’astronave che l’evento R e l’evento B si sono verificati alla stessa distanza da sé, per cui ne deduce che l’evento R si è verificato prima dell’evento B. Entrambi hanno però ragione! Lezione n. 17 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 Relatività del tempo Sally, in moto su un treno a velocità v, invia un raggio da B verso lo specchio e misura in tempo intercorso tra invio e rilevazione su B, ottenendo Dt0 = 2 D /c . Sam, in stazione, misura (con 2 orologi) il tempo Dt necessario affinchè il raggio percorra il tratto 2L (L>D). Per lui Dt = 2 L /c e siccome si ottiene: g è chiamato fattore di Lorentz. Si vede come Dt > Dt0 (dilatazione dei tempi). La grandezza Dt0 (intervallo di tempo misurato tra due eventi che accadono nello stesso luogo con quel particolare sistema di riferimento) è chiamata tempo proprio. Lezione n. 17 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Relatività delle lunghezze Anche la lunghezza è una quantità relativa: se un oggetto è in moto, la misura della sua lunghezza dà risultati diversi a seconda di quando si prende la misura. Detta L0 la lunghezza di un oggetto a riposo, la sua lunghezza misurata quando è in moto a velocità v vale L = L0 / g dove g è il fattore di Lorentz. La lunghezza L0 misurata in un sistema di riferimento inerzialein cui l’oggetto è a riposo è detta lunghezza propria. Cioè L < L0 e quindi la lunghezza di un corpo vista da un osservatore in moto risulta minore (contrazione delle lunghezze). Sam, in stazione, misura la lunghezza propria di un marciapiede trovando L0. Inoltre, quando passa il treno, egli osserva un riferimento sul treno transitare vicino al marciapiede nel tempo Dt per cui deduce L0 = v Dt . Sally, sul treno, vede il marciapiedi muoversi alla velocità v. Il riferimento sul treno è per lei nello stesso luogo ed il tempo trascorso tra i due eventi è il tempo proprio Dt0. Inoltre per lei L = v Dt0 Si trova: Lezione n. 17 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Trasformate di Lorentz Si consideri il s.r. S’ in moto con velocità v rispetto al s.r. S lungo la direzione x. Le coordinate di un evento E sono (x,y,z,t) per S e (x’,y’,z’,t’) per S’. Il legame tra le quattro coppie di coordinate è dato dalle seguenti equazioni (trasformate di Lorentz): x’ = g ( x – v t ) y’ = y z’ = z t’ = g ( t – v x / c2 ) Si noti la completa simmetria scambiando i due s.r. Le trasformate galileiane (cioè il limite delle trasformate di Lorentz per c  ) sono: x’ = x – v t y’ = y z’ = z t’ = t Lezione n. 17 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Conseguenze delle trasformazioni di Lorentz Concetto di simultaneità L’intervallo temporale tra due eventi nel s.r. S è definito come: Se i due eventi in S’ accadono simultaneamente (Dt’=0) ma in due luoghi diversi (Dx’0), allora in S non appaiono simultanei (Dt  0): Concetto di dilatazione del tempo Se due eventi avvengono in S’ nello stesso luogo ma non simultaneamente (l’intervallo di tempo tra essi vale Dt’ 0), l’intervallo di tempo in S in cui essi sono visti accadere è: Dal momento che g>1 è Dt > Dt’. Se l’orologio in S’ è lo stesso, allora Dt’ è per definizione il tempo proprio Dt0 e quindi si ha: Concetto di contrazione delle lunghezze Sia una barra posta parallelamente all’asse x a riposo in S’. Se un osservatore ne misura in S’ la sua lunghezza Dx’, in tali condizioni essa è la lunghezza propria L0. Inoltre: Se la stessa barra ora si muove rispetto al sistema S, la misura simultanea (Dt=0) delle sue coordinate in S, posto Dx’=L0 , Dx=L si trova: Lezione n. 17 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Trasformate per le velocità Le trasformate per le coppie di coordinate x, t nei sistemi S e S’ sono: Pertanto è possibile calcolare il rapporto Dx / Dt : Poiché i valori Dx / Dt e Dx’ / Dt’ sono le velocità v e v’, si ha: cioè Lezione n. 17 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Effetto Doppler per la luce Nel caso in cui la sorgente si allontani dall’osservatore, si può dimostrare che la relazione tra la frequenza propria n0 della sorgente (ossia quella emessa da una sorgente a riposo) e la frequenza misurata da un osservatore in moto a velocità v rispetto alla sorgente vale (b=v/c): A basse velocità (b<<1) la formula si può semplificare in: Se le velocità sono, poi, molto piccole, si può effettuare l’ulteriore approssimazione: Oppure, introducendo la lunghezza d’onda l = c / n e la lunghezza d’onda propria l0 (corrispondente a n0), si ha: da cui si ottiene, per la velocità v, Se la sorgente si muove trasversalmente rispetto all’osservatore con velocità v, si ha l’effetto Doppler trasverso. Nel caso di basse velocità, la radice si può semplificare e la frequenza diventa: oppure, il periodo: Lezione n. 17 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 La quantità di moto Due osservatori nei due s.r. S e S’ osservano una collisione tra due particelle 1 e 2. Sappiamo che, nella trattazione classica, la quantità di moto p = m v si conserva (sempre) indipendentemente dal s.r. scelto. Nella trattazione relativistica, perché ciò avvenga, occorre ridefinire la quantità di moto p. Definizione “classica” Definizione “relativistica” L’unica differenza consiste nella presenza del fattore g. Si noti che per v  c si ha p   (tendono ad  sia g che m). Invece per v << c si ha p  m v come nel caso “classico”. Lezione n. 17 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 L’energia L’equazione di Einstein lega la massa m di un corpo alla sua energia (di massa, a riposo) equivalente E0 nella maniera seguente: E0 è l’energia associata ad un corpo in quiete per il fatto stesso di possedere una massa m. Essendo  c2, è molto grande. L’energia totale E di un corpo in moto con velocità v sarà data dalla somma della sua energia a riposo E0 e dell’energia cinetica K, cioè: Per un sistema isolato, l’energia totale E rimane costante. L’energia cinetica può essere calcolata dalle due equazioni precedenti: Lezione n. 17 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02