Campo magnetico generato da una corrente Un elemento di carica dq genera un campo elettrico dE nel punto P. Allo stesso modo, un elemento di filo dl (o ds) percorso dalla corrente I genera il campo magnetico dB dato da: o vettorialmente Nota come legge di Biot e Savart, dove è la permeabilità magnetica del vuoto. L’unità di misura del campo magnetico B è, nel sistema SI, il tesla T: 1 T = 1 N A-1 m-1 = 1 V s m-2 = 1 Weber m-2 Un’altra unità di misura è il gauss: 1 gauss = 10-4 tesla L’unità di misura della costante m0 nel sistema SI è N A-2 = T A-1 m = Henry m-1 Il vettore dB giace in un piano perpendicolare alla direzione di dl ed è perpendicolare al piano individuato da dl e r. Le linee di forza di B (linee di induzione) sono circonferenze giacenti su piani perpendicolari alla direzione di dl. Il loro verso è concorde con quello di rotazione di una vite destrorsa che avanza nel verso della corrente. Legame tra la costante dielettrica e la permeabilità magnetica del vuoto: Lezione n. 9 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Campo magnetico in un filo rettilineo Nel caso in cui il filo sia rettilineo, il campo è lo stesso e vale, come visto: La direzione di dB è data dalla regola della mano destra. Essa è la stessa per ogni elemento ds del filo, per cui per trovare il campo totale si integra su tutto il filo. Dal momento che vi è simmetria con la parte inferiore del filo, si introduce il fattore 2. Si ha: ed essendo e si arriva all’equazione: Il campo B dipende soltanto dalla corrente i e dalla distanza R dal filo. Le linee di campo di B sono circonferenze concentriche al filo (esperimento della limatura di Fe), e la direzione è quella data dalla regola della mano destra. Lezione n. 9 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Campo magnetico al centro di una spira circolare Si consideri l’arco (di circonferenza) del filo in figura. Il campo magnetico generato nel centro di curvatura C è ricavabile a partire dall’equazione generale: In questo caso q = 90° e siccome ds = R df si può calcolare il contributo dell’intero filo dal momento che ogni elemento infinitesimo ds si trova alla stessa distanza R dal punto C, si ha: Nel caso di una spira circolare df = 2p e quindi: Lezione n. 9 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Forza tra due conduttori paralleli La corrente circolante nel filo a genera un campo magnetico Orientato verso il basso. La forza esercitata dal filo b sul filo a è data dall’equazione Fba = ib L x Ba e poichè L  Ba si ha: con direzione verso il filo a se le due correnti sono concordi. Analogamente si trova Fba=Fba Nella figura a destra è raffigurata un’applicazione di questo fenomeno nel cannone elettromagnetico a rotaia: la corrente circolante genera un campo magnetico e quindi una forza che spinge il proiettile. Nel caso più generale, la forza può essere scritta come: Lezione n. 9 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 La legge di Ampère Analogamente alla legge di Gauss per il calcolo dei campi elettrici per distribuzioni simmetriche, anche la legge di Ampère permette di semplificare il calcolo del campo magnetico per distribuzioni simmetriche. La legge di Ampère dice: dove l’integrale è la circuitazione di B cioè effettuato lungo una linea chiusa, e dove la corrente I è la corrente netta che fluisce attraverso la superficie individuata dalla linea chiusa. Nell’esempio in figura, i1 e i3 sono entranti e i2 uscente. La linea chiusa esclude i3 ed è percorsa in senso antiorario. La corrente i3 non contribuisce quindi alla circuitazione di B in quanto è esterna alla linea chiusa. Osservazioni Il teorema di Ampère è valido solo per correnti stazionarie e per campi magnetici che non variano con il tempo (statici). CB = 0 non significa necessariamente che B = 0 in ogni punto, ma solo che è nulla la corrente totale, attraverso un’area di cui la curva chiusa è il contorno. Lezione n. 9 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

B in un filo percorso da corrente All’esterno del filo il campo vale ed ha simmetria cilindrica rispetto al filo. Se si sceglie come linea chiusa una circonferenza concentrica al filo di raggio r > R (figura in basso a sinistra) B ha la stessa intensità lungo la linea ed è sempre parallelo alla linea stessa per cui la circuitazione vale semplicemente B 2pr: Da cui si ricava la formula di cui sopra. All’interno del consuttore, invece, essendo la corrente I uniformemente distribuita nel filo, B deve avere simmetria cilindrica e quindi se si sceglie come curva chiusa una circonferenza concentrica al filo di raggio r < R si ottiene come sopra CB= B 2pr . Ma la corrente vale e quindi Lezione n. 9 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 B in un solenoide Solenoide: lungo filo avvolto in spire. Si applica l’approssimazione di solenoide indefinito (lunghezza >> diametro spire) per cui B è presente soltanto all’interno del solenoide. Scegliendo come linea chiusa il rettangolo abcd, ed applicando la legge di Ampère, si ottiene che gli integrali relativi ai lati bc e da sono nulli perchè B  ds mentre quello relativo al lato cd è nullo perchè ivi B=0 e quindi rimane soltanto il contributo del lato ab per cui CB = B h D’altra parte la corrente I entrante nel rettangolo abcd vale I = i n h dove n è il numero di spire per unità di lunghezza (nh è il numero di spire comprese nel tratto h) ed uguagliando si ottiene B = m0 I n Lezione n. 9 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 B in un toroide Toroide: solenoide piegato a forma di ciambella. In questo caso il campo magnetico B è presente soltanto all’interno del toroide e le linee di forza sono circonferenze concentriche con il toroide. Scegliendo come linea chiusa una di queste circonferenze, di raggio r, ed applicando la legge di Ampère percorrendola in senso orario, si ottiene B 2 p r = m0 i N dove N è il numero totale di spire. Cioè: Definendo n = N / (2 p r) numero di spire per unità di lunghezza. Si noti comunque che B non è costante sulla sezione del toroide. Il verso, al solito, è dato dalla regola dellamano destra. Lezione n. 9 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

Bobina percorsa da corrente Si è visto che una bobina si comporta da dipolo magnetico in quanto in presenza di B esterno su di essa agisce un momento torcente dato da t = m x B dove m è il momento magnetico di dipolo della bobina, dato da m = N i A . Il campo magnetico generato sull’asse di una singola spira (punto P, a distanza z dal piano della spira) da un elemento infinitesimo ds della spira vale, per la legge di Biot e Savart: e poichè si ha: da cui si ha che integrato da: Per z >> R si ha: Lezione n. 9 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

La legge di Gauss per il campo B Il flusso del campo magnetico attraverso una superficie aperta è dato da: Ed attraverso una superficie chiusa, invece, da: L’unità di misura del flusso di B nel sistema SI è il weber (Wb): 1 Wb = 1 T m2 La legge di Gauss Il flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa è sempre nullo: Osservazioni FB = 0 esprime il fatto che non esistono cariche magnetiche isolate (monopoli magnetici); Le linee di campo di B sono sempre linee chiuse: non vi sono punti sorgenti del campo. Lezione n. 9 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02