7. Teoria delle Code Una coda è costituita da 3 componenti fondamentali: i serventi i clienti uno spazio in cui i clienti attendono di essere serviti (coda di attesa). coda di attesa clienti in arrivo clienti in uscita serv. 1 serv. 2 serv. m

Esempi: sistemi di comunicazione, di trasporto, sistemi informatici, ecc. Funzionamento Un cliente (o utente) entra nella risorsa. Se vi sono serventi liberi, entra in un sistema di servizio, altrimenti si mette in coda. Non appena un servente si libera, se vi sono clienti in coda, uno di essi viene scelto ed entra nel sistema di servizio.

Le caratteristiche peculiari di un sistema a coda sono le seguenti: Modalità degli arrivi. L’intervallo di tempo tra due arrivi consecutivi è detto tempo di inter-arrivo. Questo può essere deterministico stocastico con distribuzione esponenziale o meno

Modalità di servizio. Il tempo per servire un utente viene detto tempo di servizio. Questo può essere deterministico stocastico con distribuzione esponenziale o meno

N.B. Un sistema a coda è detto markoviano quando il tempo di inter-arrivo e il tempo di servizio hanno una distribuzione esponenziale. Equivalentemente, possiamo dire che il sistema è markoviano se e solo se il processo degli arrivi e il processo dei servizi sono Poissoniani. In generale questo non è vero.

Numero di serventi (m). Può essere: - m = 1 : servente singolo, - m > 1 : servente multiplo, - m =  : infiniti serventi. Si noti che in ogni caso, ogni servente può servire un solo utente alla volta.

Capacità della coda. Indica il numero massimo di utenti che possono stare nella coda d’attesa. Può essere: - K  N+ : capacità finita, - K =  : capacità infinita. Si noti che nel caso in cui la coda abbia una capacità finita, se un utente arriva quando la coda è piena, tale utente viene respinto.

Dimensione della popolazione. Indica il numero di potenziali clienti. Si assume quasi sempre che tale numero sia pari ad . Disciplina di coda (o politica di servizio). Indica la politica con cui gli utenti in coda vengono ammessi al sistema di servizio. Ad es., FIFO (first in-first out) LIFO (last in - first out) SIRO (service in random order) GD (general discipline, tutti gli altri casi).

Notazione di Kendall: descrive una coda in una risorsa come una stringa di 6 campi: A / B / m / K / N /  dove: A indica la modalità degli arrivi: A  {D,M,G} (D: arrivi deterministici, M: tempi di inter- arrivo con distribuzione esponenziale --> processo markoviano, G : tempi di inter- arrivo con distribuzione qualunque). B indica la modalità di servizio : B  {D,M,G} m indica il numero dei serventi: m  N+  {+}

K indica la capacità della coda d’attesa : K  N+  {+} N indica la dimensione della popolazione : N  N+  {+}  indica la disciplina della coda :   { FIFO, LIFO, SIRO, GD}. N.B. Solitamente gli ultimi 3 campi si omettono nel caso in cui sia K = N =  e  = FIFO.

Grandezze caratteristiche: x(t)  N : numero di utenti nella risorsa all’istante di tempo t. i(t)  [0,1] : probabilità che il numero di utenti nella risorsa sia i all’istante t. x(t)  R0+ : numero atteso di utenti nella risorsa all’istante t:

xc(t)  N : numero di utenti in coda all’istante t. i(t)  [0,1] : probabilità di avere i utenti in coda all’istante t. xc(t)  R0+ : numero atteso di utenti in coda all’istante t:

(t)  R0+ : tasso di arrivo, ossia numero medio (t)  R0+ : tasso di arrivo, ossia numero medio di arrivi nell’unità di tempo all’istante t. Chiaramente 1/(t) rappresenta il tempo medio di inter-arrivo all’istante t. (t)  R0+ : tasso di servizio, ossia numero medio di servizi nell’unità di tempo all’istante t. Chiaramente 1/(t) rappresenta il tempo medio di servizio all’istante t. (t) = (t)/m(t) : intensità di traffico all’istante t. c(t) : tempo medio speso in coda all’istante t. (t) : tempo medio speso nella risorsa all’istante t.

Legge di Little Se un sistema a coda è ergodico , in condizioni di regime valgono le seguenti relazioni: x =  ·  xc =  · c

Nel seguito esamineremo il comportamento dei seguenti sistemi a regime: M/M/1 (risorsa classica) M/M/1 con scoraggiamento degli arrivi M/M/1/K (coda con capacità limitata) M/M/m (coda con un numero ns di serventi) M/M/ (coda con un numero di serventi infinito) In tutti i casi ipotizzeremo che i processi siano ergodici.

M/M/1    Può essere descritto come un processo nascita-morte in cui:  (tasso di nascita) non dipende dallo stato;  (tasso di morte) non dipende dallo stato processo omogeneo e uniforme

1 2 3   Lo stato è pari ad x(t), ossia al numero di utenti nella risorsa al tempo t. Poiché il processo è illimitato e per ipotesi anche ergodico, deve aversi che Per definizione infine, i tempi di inter-arrivo e di servizio sono distribuiti esponenzialmente.

Usando la teoria vista in precedenza, possiamo calcolare i seguenti parametri significativi. Probabilità che vi siano i utenti nella risorsa a regime Fattore di utilizzo della risorsa a regime

Tasso di uscita a regime (ossia produttività del servente a regime) Numero medio di utenti nella risorsa a regime

Tempo medio di attraversamento della risorsa a regime (ossia tempo mediamente speso nella risorsa a regime) Tempo medio di servizio a regime

Numero medio di utenti in coda a regime Essendo la coda a servente singolo:  = c + 1 / , per cui per la Legge di Little ( = x/, c = xc/) , x = xc +  /  Numero medio di serventi occupati a regime

Fattore di utilizzo del servente a regime Tempo medio speso in coda a regime È facile quindi osservare che per   1, x,  e c  .

M/M/m I tassi di arrivo e di servizio hanno distribuzione esponenziale con parametri caratteristici  e  rispettivamente. Anche questo processo può essere studiato come un processo di nascita-morte in cui: 1. Il tasso delle nascite non dipende dallo stato: 2. Il tasso di morte dipende dal numero di utenti nella risorsa, ossia dove  indica il tasso di servizio di ogni servente.

Il sistema è ergodico se quando tutto i serventi lavorano contemporaneamente, essi sono in grado di smaltire gli utenti in arrivo, ossia se Rappresentazione grafica: 1 m+1   m m m-1 2 (m-1)

Probabilità di stato a regime

Numero medio di serventi occupati a regime Si dimostra che Fattore di utilizzo di un singolo servente a regime

Tasso di uscita a regime Numero medio di utenti nella risorsa a regime Si dimostra che Tempo medio di attraversamento della risorsa a regime

Numero medio di utenti in coda a regime Tempo medio di attesa in coda a regime