Corso di Informatica (Programmazione) Lezione 1 (8 ottobre 2008) Sistemi numerici posizionali Codifica binaria degli interi senza segno Codifica binaria degli interi con segno in Modulo e Segno

Sistemi numerici posizionali Un sistema numerico si dice posizionale se le cifre (o simboli) usate per scrivere i numeri assumono un valore che dipende dalla posizione in cui si trovano. In un sistema numerico posizionale di base b, un numero Nb è espresso come somma di potenze di b moltiplicate per un coefficiente intero: n è il numero di cifre di Nb

Sistemi numerici posizionali Esempio: sistema numerico decimale (b=10) cifre usate  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} N10 = 135410 Si può scrivere anche: N10 = 4 x 100 + 5 x 101 + 3 x 102 + 1 x 103 4 unità 5 decine 3 centinaia 1 migliaia

Sistemi numerici posizionali Esempio: sistema numerico decimale (b=10) indicando con Ci la cifra in posizione i a partire da quella meno significativa (il 4) che ha posizione 0: N10 = 1 3 5 4 C3 C2 C1 C0 si può scrivere: N10 = C0 x 100 + C1 x 101 + C2 x 102 + C3 x 103

Sistemi numerici posizionali Esempio: sistema numerico decimale (b=10) quindi si ha: per un numero in base decimale di n cifre si ha:

Sistemi numerici posizionali L’estensione della sommatoria precedente ad un numero di qualsivoglia cifre (n) in una generica base b è perciò immediata:

Sistemi numerici posizionali Un sistema numerico posizionale di base b utilizza le cifre da 0 a b-1 se b <= 10: esempio: b=2  {0, 1} 0 e 1 sono i cosiddetti bit b=8  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} b=10  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Sistemi numerici posizionali Un sistema numerico posizionale di base b utilizza le cifre da 0 a b-1 e simboli aggiuntivi se b > 10: esempio: b=16  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} A  10, B  11, C  12, D  13, E  14, F  15

Sistemi numerici posizionali Esempio: sistema numerico ottale (b=8) N8 = 13548 si può scrivere: N8 = 4 x 80 + 5 x 81 + 3 x 82 + 1 x 83 = 60410 Attenzione: numerale è la sequenza di cifre che rappresenta un numero. Quindi 13548 e 135410 sono due numeri diversi che hanno lo stesso numerale

Sistemi numerici posizionali Esempio: sistema numerico esadecimale (b=16) N16 = 4F16 si può scrivere: N16 = F x 160 + 4 x 161 = 15 x 1 + 4 x 16 = 7910

Sistemi numerici posizionali Esempio: sistema numerico binario (b=2) N2 = 1 1 0 1 02 si può scrivere: N2 = 0 x 20 + 1 x 21 + 0 x 22 + 1 x 23 + 1 x 24 = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 2610

Sistemi numerici posizionali Conversione da base 10 a base b dato un numero N10 in base 10 si effettuano successive divisioni intere per b fino ad ottenere un risultato nullo. I resti, elencati a partire da quello ottenuto per l’ultima divisione effettuata, forniscono il numerale che rappresenta, in base b, il numero decimale dato.

Sistemi numerici posizionali Esempio: conversione da base 10 a base 2 N10 = 610 6 / 2  resto = 0 3 / 2  resto = 1 1 / 2  resto = 1  1 1 02

Codifica binaria degli interi senza segno Problema: quanti e quali interi senza segno si possono rappresentare con un numero prefissato n di bit? n bit Con n bit si possono avere 2n disposizioni (con ripetizione) di 0 e 1 in n posizioni  gli interi che si possono rappresentare sono quindi 2n

Codifica binaria degli interi senza segno L’intervallo degli interi che si possono rappresentare in n bit va da 0 n bit a 1 x 20 + 1 x 21 + … + 1 x 2n-1 = (2n-1) 1 n bit

Codifica binaria degli interi senza segno Esempio: per n=8 bit si possono rappresentare 256 interi che vanno da 0 8 bit a 255 1 8 bit 8 bit = 1 byte 1 KiloByte (kb) = 103 bytes 1 MegaByte (MB) = 106 bytes 1 GigaByte (GB) = 109 bytes

Regole della somma bit a bit 1) 1 + 1 = 0 con riporto 1 2) 0 + 0 = 0 3) 0 + 1 = 1 4) 1 + 0 = 1

Codifica binaria degli interi senza segno Esempio: somma di due interi senza segno in 8 bit 1 1 1 1 1 1 1 12710 1 10910 1 23610

Codifica binaria degli interi senza segno Esempio: somma di due interi senza segno in 8 bit 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12710 1 18910 1 1 6010 Il risultato è errato in quanto 31610 (=12710+18910) non è rappresentabile in 8 bit Overflow

Codifica binaria degli interi con segno Problema: rappresentare un intero con segno con un prefissato numero n di bit n bit Un intero con segno è un “oggetto” composto da: - segno - modulo Esempio: +5 ha segno + e modulo 5

Codifica binaria degli interi con segno Rappresentazione del segno n bit Il segno viene rappresentato dal bit più significativo (quello più a sinistra): - bit a 1  segno negativo - bit a 0  segno positivo

Codifica binaria degli interi con segno Rappresentazione del modulo n bit Il modulo viene rappresentato negli (n-1) restanti bit secondo tre possibili codifiche: - Modulo e Segno - Complemento a 1 - Complemento a 2

Codifica binaria degli interi con segno Codifica in “Modulo e Segno” n bit La sequenza dei bit del modulo è semplicemente quella che fornisce (come somma di potenze) il modulo dell’intero da rappresentare.

Codifica binaria degli interi con segno Esempio: codifica in “Modulo e Segno” (n=8 bit) +5 1 -5 1

Codifica binaria degli interi con segno Intervallo di rappresentazione della codifica in “Modulo e Segno” n bit Gli interi con segno rappresentabili in “Modulo e Segno” vanno da (-2n-1+1) a (2n-1-1). Ad esempio per n=8 bit l’intervallo va da -127 a 127.

Codifica binaria degli interi con segno Vantaggio della codifica in “Modulo e Segno” - semplice rappresentazione Svantaggi della codifica in “Modulo e Segno” difficile implementazione della somma (non si possono applicare le regole viste in precedenza) doppia rappresentazione dello 0 (1|00…00 e 0|00…00)

Codifica binaria degli interi senza segno Esempio: somma di due interi in “Modulo e Segno” 1 +2 1 -3 1 -5 Errato!