Liceo Scientifico P.Calamandrei presenta: Il Gioco preferito dagli studenti: un compito in classe… A cura del gruppo che ha partecipato al progetto Lauree Scientifiche di Matematica

“Molto spesso la matematica viene utilizzata per studiare e risolvere problemi che si presentano nella vita quotidiana. Oggi vogliamo dimostrare che questa affermazione può essere più vera di quanto si possa pensare…” In una scuola c’è una classe di 21 studenti non molto bravi a cui spesso e volentieri piace marinare la scuola, soprattutto se si tratta di una giornata particolarmente difficile. P.S.: Ogni riferimento a persone o cose è puramente casuale ;) .

A maggio il professore di matematica di quella classe decide di fare un compito, ma sa perfettamente che se comunicasse in anticipo il giorno in cui intende fare il compito, la maggior parte della classe si assenterebbe. Ricordiamo che la classe non è molto diligente perciò, in un eventuale compito in classe, risulta difficile che gli alunni riescano a prendere un voto superiore a quello minimo. (Es. : se il voto minimo è 2, chi consegnerà il compito in bianco avrà 2)

Così il professore, che non è solito fissare un compito a sorpresa, decide di usare un altro metodo… Un giorno entra in classe e comunica agli studenti che il giorno seguente si terrà il compito di matematica, ma precisa:

Se venite tutti, il voto minimo è 2; Se viene la maggioranza, essa partirà da 5 e gli assenti avranno a priori 1 (poiché è come se attestassero la loro impreparazione); Se viene la minoranza, il compito si rimanda ed essa nel compito successivo partirà da 5 e gli assenti da 1; Se sarete tutti assenti il compito si rimanda e il voto minimo sarà 4 per tutti.

Cosa ha pensato il professore? A questo punto il professore esce soddisfatto e sorridente dalla classe, mentre tutti lo guardano con aria stupita. Cosa ha pensato il professore? Ma soprattutto Cosa farà domani la classe? A proposito, non abbiamo detto che questo professore si chiamava John Nash…

Per studiare questa situazione, occorre conoscere qualche elemento della Teoria dei Giochi. Teoria dei Giochi: scienza matematica che studia situazioni di conflitto e ne ricerca soluzioni competitive e cooperative tramite modelli. In altre parole è lo studio delle decisioni individuali in situazioni in cui vi sono interazioni tra diversi soggetti. In questa situazione, si tratta di un gioco non cooperativo a informazione completa. -Gioco non cooperativo (o competitivo): gioco in cui i giocatori non possono stipulare accordi vincolanti. -Gioco a informazione completa: gioco in cui ogni giocatore ha tutte le informazioni sulle strategie degli avversari e su tutti i possibili esiti di gioco.

Quali azioni saranno scelte dai giocatori? Ogni giocatore cerca di massimizzare il proprio guadagno. In generale, l’azione migliore per un giocatore dipende dall’azione degli altri partecipanti. Il giocatore deve formulare una teoria sulle azioni degli altri giocatori.

In realtà non esiste una vera e propria teoria generale, un algoritmo che determini quale sia il risultato definito del gioco . Esiste tuttavia un concetto fondamentale, che permette di identificare quali insiemi di strategie risulteranno compatibili o stabili: il concetto di equilibrio di Nash. John Nash nel 1949 pensò di fondere due concetti: quella di un punto fisso in un piano di coordinate cartesiane e quella della strategia più razionale che un giocatore può adottare in relazione alle strategie degli avversari, dimostrando che, in certi casi, esiste una situazione di equilibrio.

la strategia scelta da X è ottimale data la strategia scelta da Y Ipotizzando un gioco con due giocatori X e Y;si può raggiungere l’equilibrio di Nash tramite una coppia di strategie: la strategia scelta da X è ottimale data la strategia scelta da Y la strategia scelta da Y è ottimale data la strategia scelta da X In generale,in un equilibrio di Nash la strategia scelta da ogni giocatore è la sua risposta ottimale alle strategie scelte dagli altri giocatori.

In un gioco simultaneo il giocatore X non può conoscere le mosse del giocatore Y e viceversa. Quindi entrambi formeranno delle ipotesi sull’azione dell’altro, ricercando in base a ciò la risposta migliore per se stessi. In un equilibrio di Nash le supposizioni dei due giocatori sono reciprocamente corrette. Una volta che le mosse degli avversari sono state rese visibili, i giocatori non sono incentivati a deviare unilateralmente dall’equilibrio.

Minoranza Maggioranza ( 2;2 ) ( 5;1 ) ( 1;5 )* ( 4;4 )* Provando a sintetizzare i dati del problema, le regole che ha stabilito il professore si possono inserire in una tabella. - Le coordinate nelle varie caselle indicano i voti di partenza che avranno le due parti facendo una determinata scelta Minoranza Si Presenta Non si Presenta Maggioranza ( 2;2 ) ( 5;1 ) ( 1;5 )* ( 4;4 )* * In queste due caselle il compito viene rimandato

Se non vado: inizierò da 1 o da 4 Ora che abbiamo indicato le varie possibilità di gioco, iniziamo a valutare la scelta migliore per ogni singolo alunno, a prescindere se esso sia parte della maggioranza o della minoranza della classe. Se vado: inizierò da 2 o da 5 Se non vado: inizierò da 1 o da 4 E’ evidente come ogni alunno pensi che la scelta migliore sia andare a scuola, visto che tra le due è quella che gli dà più possibilità di prendere un voto più alto rispetto all’altra. Poiché la classe è profondamente disunita, ogni alunno è indirizzato a scegliere il meglio per se stesso e quindi il giorno seguente tutta la classe andrà a scuola e inizierà il compito da 2. Questa situazione viene chiamata Equilibrio di Nash.

Minoranza Maggioranza ( 2;2 ) ( 5;1 ) ( 1;5 )* ( 4;4 )* Si Presenta CONSIDERAZIONI DA FARE Riguardiamo attentamente la tabella. Minoranza Si Presenta Non si Presenta Maggioranza ( 2;2 ) ( 5;1 ) ( 1;5 )* ( 4;4 )* Se ci soffermiamo a guardare le 4 caselle, la scelta migliore per tutta la classe consiste nel non andare, in modo da rinviare il compito e partire da 4, guadagnando probabilmente la sufficienza. Questo, sebbene sia un risultato globalmente migliorabile (ottimo paretiano) non è una situazione di equilibrio. Infatti, anche se tutti gli studenti avessero deciso insieme di non andare, quando sono da soli (la sera prima del compito) si chiederanno quale sia la scelta migliore per loro e, una volta che si saranno resi conto che questa è andare, si domanderanno chi è che rispetterà l’accordo e chi farà “il furbo”. Di conseguenza, ci ritroveremo di nuovo al solito dilemma: andare o non andare.

Conclusione: A questo punto possiamo dire che il professore abbia creato un Gioco non cooperativo a informazione completa che gli dà la sicurezza che gli alunni avrebbero fatto il compito il giorno dopo partendo da un voto non troppo alto. Per quanto riguarda gli alunni…possiamo indicare due buoni consigli: - rendere il Gioco cooperativo fissando dei vincoli alla scelta più conveniente per il gruppo (es.: “ragazzi, se qualcuno viene a scuola gliela faremo pagare ” :D); - mettersi a studiare matematica…

Written by: Sabrina Briante Luciano Errico Salvatore Improta Paolo Malgieri Federica Nogara Imma Ottaiano Giovanna Sauzullo Rosalia Tammaro

Pr.ssa Mariarita Tammaro Ringraziamenti: Pr.ssa Mariarita Tammaro Pr.ssa Isabella Sacco Pr.ssa Marina De Cesare