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I Frattali

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Che cos’è un frattale? Uno dei modi più semplici per descrivere un frattale è sicuramente quello di vederlo come una figura geometrica in cui un motivo identico si ripete su scala continuamente ridotta.

Una teoria recente Benoît Mandelbrot è il padre della teoria dei frattali poiché, essendosi posto il problema di analizzare queste figure, fu in grado di individuarne le caratteristiche. Celebri matematici del calibro di Cantor, Hilbert, Peano, Von Koch, Sierpinski descrissero quelli che erano frattali classici, ma solo nel 1982, con il “The Fractal Geometry of Nature”, fu possibile inquadrare queste particolari figure in una teoria unificata, che ne evidenziava le somiglianze con le forme tipiche della natura: coste, alberi, montagne, piante, …

Caratteristiche dei frattali I frattali sono figure molto particolari. Si parla di simmetria ricorsiva. Le caratteristiche di un frattale sono: Autosomiglianza: è l’unione di copie di se stesso in scale differenti; Struttura fine: il dettaglio dell’immagine non cambia ad ogni ingrandimento, anzi si arricchisce di particolari; Irregolarità: non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche; la legge di costruzione è ricorsiva ed irregolare; Dimensione frattale: sebbene possa essere rappresentato in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, volendo parlare di una sua dimensione, questa può essere una frazione o un numero irrazionale, e’ di solito maggiore della dimensione ordinaria. La dimensione frattale misura in un certo senso il grado di irregolarità di un oggetto.

Dimensione frattale La dimensione frattale misura il grado di irregolarità dell'oggetto. La definizione di dimensione è varia e di natura statistica. Può avere anche valori frazionari, irrazionali, tuttavia la dimensione frattale di certe curve può assumere anche valore 0 (spugna di Sierpinski). Si chiama dimensione di Hausdorff di un oggetto frattale il numero D = log N / log k dove N è il numero di parti con cui l’oggetto viene sostituito (numero di copie autosimili) e k è il rapporto tra la lunghezza dell’oggetto iniziale e la lunghezza di ciascuna delle N parti che hanno sostituito tale oggetto.

Curva di Koch Questa curva è stata 'inventata' dal matematico svedese H. von Koch nel 1906. E' un esempio di curva chiusa che racchiude un’area finita ma ha perimetro infinito. Si ottiene partendo da un triangolo equilatero ed effettuando su ciascun lato la seguente Costruzione dividere il segmento in tre segmenti uguali; cancellare il segmento centrale, sostituendolo con due segmenti della sua stessa lunghezza che costituiscano due lati di un triangolo equilatero; tornare al primo punto per ciascuno dei segmenti ottenuti.

Dimensione della curva In ogni passo della costruzione della curva di von Koch un segmento viene sostituito con una spezzata di 4 lati di lunghezza pari a 1/3 della lunghezza di quello iniziale. Allora la dimensione di Hausdorff della curva risulta D = logK N = log3 4 ~ 1,26 Dopo qualche passo l’effetto è suggestivo!

Insieme di Cantor D = log 2 / log 3 ~ 0,6309 L'insieme di Cantor è l'insieme dei punti di un segmento unitario che rimangono dopo aver asportato infiniti intervalli. L’insieme gode di una particolare proprietà: la sua lunghezza è zero ma la sua cardinalità è infinita, uguale a quella del continuo (cioè contiene una infinità non numerabile di punti). Costruzione Prendiamo il segmento unitario di estremi 0 e 1 sull'asse x del piano cartesiano. Eliminiamo il terzo centrale, cioè il segmento formato da tutti i punti compresi fra 1/3 e 2/3. Ripetiamo il procedimento sui due intervalli rimasti dopo il primo passo. Iteriamo questo procedimento infinite volte. L’ insieme risultante ha dimensione frattale: D = log 2 / log 3 ~ 0,6309

Insieme di Mandelbrot Per ogni numero complesso z si consideri la successione definita ricorsivamente ponendo z0 = 0 Zn+1 = zn2 + z ovvero 0, z, z2 + z, (z2 + z)2 + z, … L’insieme di Mandelbrot e’ l’insieme dei numeri complessi z per i quali la precedente successione e’ limitata. Rappresentando i numeri complessi z come punti P nel piano di Argand- Gauss, l’insieme di Mandelbrot X risulta un sottoinsieme connesso di tale piano la cui frontiera ha un andamento di tipo frattale. Le suggestive rappresentazioni grafiche di X si ottengono al computer colorando con uno stesso colore i punti di X, mentre i punti che non appartengono ad X vengono colorati con differenti colori a seconda della “velocità” con cui il modulo di zn diverge. Ad esempio si può prendere in considerazione il valore di n a partire dal quale tale modulo è maggiore di un fissato numero M, e colorare con uno stesso colore A i punti per cui n vale 5, con uno stesso colore B quelli per cui n vale 6, e così via. Utilizzando tonalità più o meno intense dello stesso colore a seconda del crescere di n si possono ottenere effetti di sfumatura particolarmente gradevoli.

Insieme di Julia A partire dall’insieme di Mandelbrot si generano due zone di attrazione, verso lo zero e verso infinito, divise da un confine, detto “insieme di Julia”. Gaston Julia definì il frattale studiato “l’insieme di tutti i punti di frontiera tra quelli che divergono e quelli che non divergono”. Poiché z è un numero complesso qualsiasi può capitare che: si ottengono insiemi di Julia che sono connessi; si ottengono insiemi di Julia che non sono connessi (costituiti di pezzi per cosi dire "sparpagliati").

Un ringraziamento speciale alla CONVITTO NAZIONALE “Vittorio Emanuele II” LICEO CLASSICO EUROPEO - LICEO SCIENTIFICO Prof. Annamaria Salvemini Alunni: Massimiliano Gamba Marco Gala Generoso Farinaro Flavia Patarino Elisabetta Pignoli Matteo Troise Alessia Aiello Musiche di: Andrea Albano Roberto Bianco Stefano De Gaetano Un ringraziamento speciale alla prof. Dragotti