Lezione 7 formalismo di Dirac

Dirac Notation for SPIN correnti + = corrente Kane 5.5 Correnti abbiamo qui le eq. Di DIRAC 1 entrata: riscriviamo in modo compatto la equazione di DIRAC moltiplichiamo da sinistra l’equazione appena scritta per barrata (questo è uno scalare nello spazio degli spin) riscriviamo l’equazione di DIRAC in viola (compatta) per psi barrato si ottiene moltiplicando da destra per psi l’eq viola ,6,7,8 le due equazioni si riscrivono in modo compatto e si sommano sommate danno l’equazione rossa (si cancellano i termini di massa),dalla quale si ottiene la 10 l a equazione compatta ( derivata di prodotto) conservazione della corrente pfd

correnti la corrente si conserva

Corrente e Densità di Probabilità l’equazione di KG ammette soluzioni ad energia negativa e densità di probabilità negativa l’equazione di Dirac ammette soluzioni ad energia negativa, ma la densità di probabilità è positiva un esempio è una particella libera  di momento p. vedremo che si arriva all’equazione che lega densità di probabilità e corrente in questo caso, con delle semplici manipolazioni dell’equazione di Dirac vedremo anche che è ragionevole interpretare una particella libera come una corrente

Dirac Notation for SPIN esempio: è ragionevole interpretre una particella libera come una corrente equazione di Dirac l’equazione di Dirac diventa particella libera di momento p.  opera su un’onda piana di momento p.. Hermitiana coniugata sommiamo queste due equazioni Usando le regole di anticommutazione kane5.5 esempio: è ragionevole interpretre una particella libera come una corrente Alla entrata 8, moltiplicando a destra e a sinistra....9,10 E sommando... Si ottiene 11 usando la 12 e fattorizzando si ottiene 13 usando la realazione di anticommutazione 14 Si ottiene 15 corrente densità di probabilità pfd

contrariamente a quanto accadeva con l’equazione di KG , l’equazione di Dirac ammette solo corrente e densità di probabilità positive

Dirac Notation for SPIN soluzioni per particelle libere spinori a 2 componenti Equazione di Dirac rappresentazione specifica delle :ridefinizione che scritta esplicitamente diventa Separando le variabili KANe 5.6 2 particelle libere. rappresenazione specifica per le  (matrici 2 per 2) fino ad ora abbiamo discusso l’eq. DIRAC senza discutere le soluzioni. pfd

La separazione tra fermioni destrorsi e sinistrorsi è un punto tecnico molto importante nel Modello Standard massa nulla le due equazioni si separano elicità m=0, fermioni relativisici L soluzione a enegia positiva sinistrorsa R soluzione a enegia positiva destrorsa

Dirac Notation for SPIN cosa si impara? esistono soluzioni per p0 possono essere intercambiate con L  - R m=0, le due equazioni si separano; le particelle sono destrorse (R) o sinistrorse (L) elicità misura la componente di spin lungo la direzione del moto della particella. L  left-handed positive energy solution. R  right-handed positive energy solution. Se uno stato left-handed ha p0>0, allora L >> R m≠0, le due soluzioni non si separano. (troveremo nella lagrangiana un termine di massa  interazione L R) il termine .p misura la componente di spin lungo la direzione del moto della particella. pfd

separiamo la dipendenza da spazio e tempo possiamo scrivere una soluzione dell’equazione di Dirac nella forma separiamo la dipendenza da spazio e tempo in genere si usa  per una soluzione generale ed u quando si vuole fattorizzare il tempo u soddisfa la stessa equazione nello spazio dei momenti che abbiamo scritto, dato che implicitamente si era assunto che si lavorava con autovalori dell’energia dobbiamo normalizzare; la scelta convenzionale per la normalizzazione è: notare che ha le dimensioni di una massa, o di una energia, nelle unità naturali un fattore di questo tipo deve essere espresso in termini delle masse ed energie disponibili

Particelle e antiparticelle Dirac Notation for SPIN Particelle e antiparticelle Tratteremo le antiparticelle come se fossero particelle arrivano in coppia: se c’è una particella c’è anche la sua antiparticella se sono fermioni sono descritte dalla soluzione dell’equazione di Dirac i “vertici” hanno la forma Vedremo alla fine dellA LEZIONE l’interpretazione di Feynmann delle particelle e antiparticelle in connessione con le soluzioni ad energia negtiva dell’equazione di DIRAC. Per il momento.... pfd

Dirac Notation for SPIN Gli operatori PARITA’ u soluzione della equazione di Dirac è sempre utile separare la parte alta e bassa della funzione d’onda. scegliamo una rappresentazione delle matrici  in cui Definiamo gli operatori per esempio Sono operatori di proiezione kane5.8 DEFINIZIONE di PARITA anche quando una particella non è massiva, è sempre utile separare la parte alta e bassa della funzione d’onda. Questa possibilità è importantissima per il MODELLO STANDARD. se un fermione è privo di massa o relativistico,allora per p0 >0,L>> R fermioni destrorsi e sinistrorsi pfd

ELICITA’ e PARITA’ La parità opera così: L’elicità di un fermione massivo può essere cambiata da una trasformazione di Lorentz,perchè si può andare nel sistema a riposo e ruotare. Quindi l’elicità non è un numero quantico ELICITA’ e PARITA’ La parità opera così: La natura però, ed il modello standard trattano fermioni destrorsi e sinistrorsi in modo diverso e la connessione tra destra, sinistra e massa è sottile Il momento angolare si trasforma come: quindi in queste equazioni c’è un cambiamento di segno quindi lo spin si trasforma come Se la natura fosse invariante per trasformazione di parità esisterebbero sempre le due soluzioni. Ma in natura la parità non si conserva. Non esistono neutrini destrorsi. Nel caso degli elettroni, esistono sia eR e eL, ma solo eL può interagire con il 

Dirac Notation for SPIN Conservazione della parità (elicità)nelle interazioni elettromagnetiche se l’interazione ha la forma della corrente,(e.g. interazione elettromgnetica ) l’elicità (parità) si conserva Per una sol. dell’eq. di Dirac, la corrente ha la forma (anti-psi gamma-mu psi). Prendiamo l’interazione e.m. pfd

Dirac Notation for SPIN relazioni utili corrente Dato che Valgono le seguenti relazioni kane 5.9 Applicando le quali si ottiene conservazione elicità (parità) nelle interazioni elettromagnetiche pfd

Dirac Notation for SPIN termine di massa Il termine di massa della Lagrangiana ha la forma Esprimiamo in termini di stati destrorsi e sinistrorsi Il termine di massa è equivalente ad un “helicity flip” il termine di massa è equivalente ad un flip in elicità pfd

Dirac Notation for SPIN V-A interction in una interazione in cui i termini in LL ed RR sono ugualmente probabili, come nella interazione e.m., si conserva la parità e la corrente ha la forma ma se per una ragione qualsiasi abbiamo solo stati LL, allora c’ solo il termine Kane 5.9 quadri-vettore quadri-vettore assiale pfd

L’interazione debole L’interazione debole è un esempio di interazione V-A ( Vettoriale –Assiale). E questo perchè in natura esistono solo neutrini sinistrorsi L Nel caso esistessero invece solo neutrini destrorsi, l’interazione sarebbe del tipo V+A

NON CONSERVAZIONE DELLA PARITA’ NELLE INTERAZIONI DEBOLI come interagisce una qualsiasi funzione d’onda (particella) ’ con una funzione d’onda (particella) sinistrorsa L? top bottom in una qualsiasi corrente formata con ’ e L, solo la componente ’L può interagire con L, anche se la componente R ( su , top) di ’ esiste e corrisponde ad uno stato fisico. in natura, effettivamente, solo eL interagiscono con i neutrini. eR non interagiscono con i neutrini

La Lagrangiana di Dirac

Dirac Notation for SPIN Negative Energy Solution: Feynman prescriptions negative energy particle solution propagating backward in time = positive energy antiparticle solution propagating forward in time è plausibile ?? the emission (absorption) of an antiparticle of 4-momentum p is physically equivalent to the absorption ( emission) of a particle of 4-momentum -p Aitchison,1.3 pfd

Space-Time plot scattering di un + da un potenziale, in una teoria perturbativa di second’ordine Non Relativistic Quantum Mechanic (NRQM) In RQM dobbiamo ammettere anche particelle che vanno indietro nel tempo scattering center scattering center Relativistic Quantum Mechanic RQM Trajectory for second order scattering in NRQM negative-energyy DICE FEYNMAN: positive-energyy quindi oltre al grafico NRQM, c’è anche un grafico RQM positive-energyy Trajectory for second order scattering in RQM

DICE FEYNMAN: Una particella con energia negativa che procede in avanti è equivalente alla sua antiparticella con energia positiva che procede all’indietro nel tempo il potenziale assorbe una coppia +- a t2 + procede verso il futuro il potenziale emette una coppia +- a t1 + viene dal passato Quindi la soluzione a energia negativa di una equazione d’onda che descrive una certa particella è usata per descrivere la sua antiparticella con energia positiva, scambiando opportunamente stati finale e iniziale In questo modo situazioni che coinvolgono più di una particella ( come la creazione di coppie) possono essere trattate con la funzione d’onda di una singola particella Non si può creare una singola particella carica. Le particelle sono create in coppie particella-antiparticella e le traiettorie nello spazio tempo sono continue

Dirac Notation for SPIN probability current for positive-energy + the electromagnetic current of a positive energy + is palusibly given by the probability current for positive energy solution multiplied by the charge (Q=e+) Aitchinson 1.3 Le considerazioni delle due slides precedenti tradotte nella matematica della probabilità e delle correnti Abbiamo dimostrato che nel caso dell’eq. di Scroedinger e di una particella libera la probability courrent è proporzionale al quadrimomento. Si può ripetere l’operazione per l’eq di KG ( es 1.1 Aitchinson) Quando un sistema emette un pione negativo di energia positiva, la sua energia totale decresce di E e la sua carica elettrica decresce di (-e) This is equivalent to have the system-charge increased of (+e) This charge increase could equally well be caused by the absorption of a positive pion, but to be equivalent to the negative pion emission, the positive pion will have to have negative energy ( The system loose energy in the emission) pfd

gli ingredienti le notazioni dell’equazione di Dirac, per esprimere la struttura dello spin l’imposizione della gauge invariance che ci dice di cominciare con una Lagrangiana di particella libera e di riscriverla con il formalismo delle derivate covarianti l’idea di simmetrie interne