Lezione 12 riferimento capitolo 8 Kane Il meccanismo di Higgs Lezione 12 riferimento capitolo 8 Kane

Le masse delle particelle nel Modello Standard come assegnare una massa ai bosoni di gauge come assegnare una massa ai fermioni la matematica connessa l’idea di simmetria nascosta o rottura spontanea di simmetria solo cenni qualitativi sul problema degli infiniti della teoria e la sua rinormalizzazione

rottura spontanea di simmetria Quando si parla di rottura di simmetria di una Lagrangiana,di solito si pensa ad una Lagrangiana che è la somma di due Lagrangiane. Una L0 che è invariante per un certo gruppo di trasformazioni ed una L1 che non lo è.Se L1 è piccola rispetto ad L0 e può essere trattata come una perturbazione, le conseguenze della simmetria L0 sono poco violate e continuano ad essere importanti (vedi spin isotopico) Questa è una simmetria rotta esplicitamente, o ”broken” Una rottura spontanea è una cosa del tutto diversa. In caso di rottura spontanea, la Lagrangiana continua ad essere simmetrica, ma si scopre che le variabili adatte a descrivere il sistema non lo sono! Se si usano tali variabili,anche la Lagrangiana diventa asimmetrica ma è simmetrica nelle varibili “originali” Come può essere che abbiamo una Lagrangiana simmetrica,in funzione di certe variabili, ma che si scopre che le variabili adatte a descrivere il sistema non lo sono? Morpurgo 24.2

un esempio : il ferromagnetismo le forze tra gli spin sono invarianti per rotazione, quindi lo è L. il ferromagnete sarà però magnetizzato in una certa direzione, anche se casuale, e dovuta ad una fluttuazione statistica se il magnete è finito, e per esempio fatto di pochi spin,l’asse di magnetizzazione può ruotare facilmente nello stato fondamentale il momento orbitale totale L= 0 all’interno del sistema. Per un sistema finirto non esiste una direzione privilegiata = uguale ampiezza di probabilità di trovare l’asse di magnetizzazione in ogni direzione Ma se il magnete è costituito da  spin, il tempo di riallineare gli spin è infinito se il magnete è infinito,una volta che l’asse di magnetizzazione ha una certa direzione non può ruotare anche se l’energia di rotazione è nulla In tali circostanze occorre un tempo infinito per una rotazione comunque piccola Se un piccolo ago magnetico si trova accanto ad un ferromagnete infinito esso avrà una direzione di equilibrio ben determinata e per descrivere le sue oscillazioni converrà introdurre l’angolo  rispetto a tale direzione un blocco di materiale ferromagnetico a T=0 (stato quantistico puro)

Lagrangiane e Particelle Ricordiamo il ruolo delle Lagrangiane L nella fisica delle particelle L definisce la teoria.É scritta nei termini delle particelle elementari della teoria. Ogni oggetto composto deve apparire come uno stato legato della teoria che emerge come una soluzione della teoria Più precisamente è la parte di energia potenziale di L che rende specifica la teoria. Le parti relative alla energia cinetica sono generali e dipendono solo dallo spin delle particelle. L’energia potenziale dipende dalle forze. È la Lagrangiana di interazione Lint Perchè la fisica delle particelle è formulata con le Lagrangiane L ? L è una unica funzione che determina la dinamica. Inoltre è uno scalare in ogni spazio , e quindi invariante per trasformazioni. In particolare , rendendo L invariante per trasformazioni di Lorentz, ci garantiamo che tutte le previsioni della teoria siano Lorentz invarianti Nella teoria quantistica, minimizzando il potenziale, si determina lo stato fondamentale, cioè il vuoto Le particelle sono le eccitazioni del vuoto dal kane.2.3

il meccanismo di Higgs essenzialmente, si fa l’ipotesi che tutto l’universo sia riempito da un campo scalare (spin 0),chiamato campo di Higgs. il campo di Higgs è un doppietto in SU(2) ed ha una ipercarica in U(1),ma è un singoletto di colore fermioni e gauge-bosoni possono interagire con questo campo, ed in sua presenza acquistano massa stati con bosoni di Higgs sono non- ortogonali al “vuoto”, (stato fondamentale del sistema) anche se questi stati hanno numeri quantici di U(1) e SU(2) diversi da 0. Il “vuoto” ha quindi numeri quantici di U(1) e SU(2) diversi da 0; le simmetrie di U(1) e SU(2) sono rotte la simmetria è valida per la Lagrangiana ma è rotta per lo stato fondamentale del sistema (cioè per il vuoto); : è una rottura spontanea di simmetria Kane8 INTRODUZIONE

vari esempi di rottura spontanea di simmetria Un campo scalare reale - una simmetria per riflessione Il campo scalare complesso-una simmetria globale. Il bosone di Goldstone

Sommario delle Lagrangiane Vector field, mass=0 (elettromagnetismo) Real Scalar or Pseudoscalar field Campo reale di massa m e spin=0 Complex scalar or pseudoscalar field of mass m massive abelian vector field termine di massa Kane 2.8, RIDOTTA E AMPLIATA non abelian vector field

Teoria dei campi e tecniche perturbative richiami Lo stato fondamentale del sistema si trova minimizzando l’energia potenziale ( o il potenziale) Convenzionalmente questo stato si chiama il vuoto Si trovano tutti gli altri stati eccitati espandendo le funzioni di campo ( o potenziale) attorno al minimo Convenzionalmente gli stati eccitati corrispondono alle particelle L’insieme degli stati eccitati è lo spettro Kane 8.1

Lrif L rottura spontanea di simmetria: un esempio energia cinetica simmetria per riflessione L energia cinetica potenziale rappresenta una interazione di forza  per cominciare consideriamo  e  come semplici parametri matematici; poniamo >0 (limite inf. potenziale per ) il minimo dell’energia si ha quando sono minime sia l’energia potenziale che la cinetica. per minimizzare l’energia cinetica, (x)=cost per 2 > 0, il vuoto corrisponde a =0, che minimizza il potenziale. 2 è il termine di massa valore di aspettazione del vuoto per 2 < 0, il minimo del potenziale si trova minimizzando V(). =0 non è un minimo (x) è un campo di Higgs kane 8.1 per cominciare consideriamo  e  come semplici parametri matematici questa L è più generale di quello che potrebbe sembrare,perchè è possibile dimostrare che potenze >4 introdurrebbero degli infiniti poniamo >0 (limite inf. potenziale per ) il minimo dell’energia si ha quando sono minime sia l’energia potenziale che la cinetica. per minimizzare l’energia cinetica, (x)=cost. per 2 > 0,il vuoto corrisponde a =0, che minimizza il potenziale. 2 è il termine di massa Lrif questa L è più generale di quello che potrebbe sembrare,perchè è possibile dimostrare che potenze >4 introdurrebbero degli infiniti negli osservabili

Lrif L L L espandiamo la funzione attorno a =0 kane 8.1 sviluppo attorno al minimo: si espande attorno a  = 0. Si ottine la (x)=v+ (x) e la si sostituisce nella L. L

L L L L raccogliamo i fattori delle potenze di  ricordando che scompare il termine lineare in  L

interpretazione di questo risultato La Lagrangiana L() rappresenta una particella di massa m2=2v2=-22, e con due interazioni: una cubica di forza v, ed una quartica, di forza /4. kost può essere ignorato, ridifinendo il livello 0 della potenziale Le Lagrangiane L() e L() devono essere equivalenti, se il problema è risolto in modo consistente. Se vogliamo una descrizione perturbativa, dobbiamo perturbare attorno ad un minimo, per avere convergenza. La particella definita dalla teoria con 2<0 è un campo scalare reale,con una massa ottenuta dall sua self-interaction con altri scalari, perchè al minimo della sua energia potenziale,c’è un valore di aspettazione del vuoto v ≠ 0 Non c’è traccia della simmetria di riflessione   -. É stata rotta la simmetria quando si è scelto un vuoto specifico ( =+v, piuttosto che  =-v) kane 8.1 Lrif

Il campo scalare complesso Una simmetria globale Un secondo esempio Il campo scalare complesso Una simmetria globale

L L campo scalare complesso invariante per trasformazione di gauge La lagrangiana L ha una simmetria globale U(1) L 2>0 L ha chiaramente un minimo nell’origine del piano 1, 2 2< 0 L ha minimi sul cerchio di raggio scegliendo un punto sul cerchio,si rompe la simmetria! kane 8.2 Simmetria globale è di tipo U(1), ( piuttosto che una riflessione) chiamata 7: scriviamo la lagrangiana nei suoi termini reali Osservare che qui abbiamo due particelle:, scegliamo arbitrariamente due particelle , 

(x) non ha massa: è il bosone di GOLDSTONE. il termine in 2 è scomparso L questo è il termine di massa di una particella (x) con massa m2=2|2|. (x) non ha massa: è il bosone di GOLDSTONE. lungo il cerchio il potenziale è un minimo; una eccitazione radiale spinge in sù il potenziale ed una massa è associata con la curvatura del potenziale. Sviluppiamo La lagrangiana, sostituendo i 2 phi con i valori trovati. Il termine in 2 è scomparso  massa 0. Teorema generale Se si rompe una simmetria globale continua ( qui U(1), cioè invarianza per ei), nasce il bosone di GOLDSTONE lungo il cerchio non c’è resistenza al moto, e questo è il senso dell’eccitazione (particella) senza massa

E’ emerso un bosone senza massa , diverso dal fotone, che nessuno ha mai osservato ?

Applichiamo adesso questo metodo matematico alla lagrangiana della QED Local gauge Abelian symmetry Che cosa succede?

The Abelian Higgs Mechanism Local Gauge Symmetry introduciamo ora una invarianza di gauge locale abbiamo considerato invarianze di gauge globali campo vettoriale privo di massa e derivata covariante trasforamazione del campo di gauge kane 8.3 The Abelian Higgs mechanism  è invariante per

The Abelian Higgs Mechanism Local Gauge Symmetry termini di energia cinetica del campo e.m. che è privo di massa L La Lagrangiana per 2 > 0 rappresenta l’interazione di una particella di massa  con il campo elettromagnetico A.  è uno scalare carico con g=e. questa lagrangiana contiene 4 campi indipendenti: i due scalari reali 1 e 2 e i due stati di polarizzazione trasversa del bosone di gauge Vediamo cosa succede per 2 < 0

sappiamo che  è invariante per usando il formalismo già visto , sono reali sapendo che possiamo sempre utilizzare questa trasformazione e ci sarà comunque un  che rende possibile questa trsformazione possiamo scrivere,con h reale sostituiamo nella Lagrangiana

The Higgs Mechanism termine di massa del bosone di Gauge termine di massa del bosone di Higgs The Higgs Mechanism il bosone di goldstone  della simmetria U(1) è diventato la polarizzazione longitudinale del bosone di gauge A h ha anche interazioni cubiche e quartiche con il bosone di gauge il termine di massa del bosone di gauge è diverso da zero solo quando la simmetria è rotta spontaneamente dal bosone di Higgs che acquista il valore di aspettazione del vuoto lo spettro contiene solo h, il bosone di Higgs, che ha varie self-interactions kane 8.3 Attenzione NON è dimostrato che il bosone di GOLDSTONE qui sia diventato la polarizzazione longitudinale del fotone! ( Il bosone di gauge ha mangiato il bosone di goldstone) la Lagrangiana è gauge-invariante, ma il vuoto non lo è; per minimizzare il potenziale abbiamo dovuto scegliere una particolare direzione nello spazio 12

Lo spettro è adesso un singolo bosone di Higgs h, con massa 2v2 , con varie self-interactions, più interazioni cubiche e quartiche con il bosone di gauge A piu un bosone di gauge massivo A, con 3 stati di spin . Si hanno quindi sempre 4 “stati” indipendenti Questo è il meccanismo di Higgs

The Higgs mechanism and the STANDARD MODEL il bosone di Higgs  deve essere assegnato ad un doppietto di SU(2)

Standard Model e Higgs mechanism la Lagrangiana di  il campo di Higgs deve essere un doppietto di SU(2) in uno spazio SU(2) i due campi di Higgs + 0 sono legati da una rotazione studiamo il potenziale è invariante per rotazione Standard Model e Higgs mechanism scegliamo un punto di minimo, rompendo la simmetria il potenziale V() ha un minimo per 2 < 0 molti punti soddisfano questa condizione si studia lo spettro di Higgs (), espandendo attorno al vuoto, kane 8.4 Higgs Mechanism and Standarad Model. far notare la matematica dei doppietti La simmetria originale era una O(4) Attenzione: vedremo che questa scelta non è completamente libera!! La consertvazione della carica( fatto sperimentale) ci costringe a dare il valore di aspettazione del vuoto a phi zero 0 è il vuoto la simmetria originale era scegliendo una direzione abbiamo 3 simmetrie globali rotte: abbiamo gauged way 3 campi ( 3 bosoni privi di massa) Possiamo farlo, per l’invarinza per rotazione possiamo fare una “gauge -trasformation” e si cercano le equazioni soddisfatte da H. e ruotare  nella forma

la simmetria originale era una simmetria O(4): scegliendo una direzione abbiamo tre simmetrie globali rotte abbiamo “gauged way” tre bosoni di gauge con massa 0 e tre campi abbiamo eliminato i bosoni di Goldstone

Standard Model e Higgs mechanism il fotone il bosone di Higgs ha due componenti, + (carica elettrica 1), e 0, (carica elettrica nulla) carica elettrica autovalore di isospin debole ipercarica di U(1) l’assegnazione della carica elettrica al doppietto di Higgs equivale a porre soltanto la componente neutra 0 può avere un valore di aspettazione del vuoto + non può, altrimenti non si conserverebbe la carica elettrica Standard Model e Higgs mechanism rompe U(1) questo rompe la si mmetria di SU(2) Però, se operiamo sul vuoto con l’operatore carica elettrica KANE 8.4 così il vuoto è invariante per questo U’(1) è l’U(1) dell’elettromagnetismo, ed il bosone che resta senza massa è il fotone. conseguenza necessaria della conservazione della carica elettrica che ci ha costretto a scegliere un vuoto neutro elettricamente il vuoto è invariante per un particolare U’(1), i cui generatori sono una particolare combinazione lineare dei generatori originali di SU(2) e U(1)

Standard Model e Higgs mechanism il meccanismo di Higgs all’opera si trasformano come U(1) e SU(2) solita derivta covariante si studia V() massa W Standard Model e Higgs mechanism massa Z massa  kane8.4 termine di massa

misurare la quantità il mixing di B e W3 garantisce che lo stato neutro non sia degenerato in massa con il carico, fino a che l’angolo di Weinberg è diverso da 0 dovrebbe essere =1 qualsiasi deviazione è un segnale di un discostamento dal Modello Standard

Standard Model e Higgs mechanism le masse dei fermioni dato che abbiamo il campo di Higgs come doppietto in SU(2), possiamo scrivere un’interazione SU(2) invariante con i fermioni e Higgs boson al solito si definisce un doppietto,in cui ci sia il valore di aspettazione del vuoto di Higgs v e la particella di Higgs neutra H sostituendo nella Lagrangiana per i leptoni si osserva che resta un termine di massa per l’elettrone ed un termine di vertice ( di interazione) elettrone-H, di cui si può calcolare l’accoppiamento, che determina la probabilità di un elettrone o positrone di radiare un Higgs, o per un Higgs di decadere in e+e-. si è supposto che i neutrini abbiano massa=0, il che implica che non interagiscono con il bosone di Higgs é possibile scrivere una Lagrangiana di interazione anche per quark Standard Model e Higgs mechanism

Lagrangiana interazione leptoni,Higgs L SU(2) invariante moltiplicare per il singoletto eR non cambia l’invarianza ge è un termine arbitrario questo termine è ll’Hermitiano coniugato del primo massa elettrone forza diaccoppiamento eH valore di aspettazione del vuoto di Higgs particella neutra di Higgs (fisica) calcolo della probabilità di due elettroni di annichilitrsi in H o di un elettrone di emettere un H

Lagrangiana di interazione elettrone-bosone di Higgs Non c’è un termine di massa per il neutrino  massa = 0 Formalmente, non possiamo scrivere una L che contenga termini con il neutrino destrorso,che per ipotesi non esiste  non interagisce con H. R, se esiste, è difficile da trovare . Ha infatti T3=0,Q=0, e non si accoppia a W,Z0 o 

masse dei quark Notare che se  è un doppietto di SU(2), allora lo è anche c Possiamo scrivere la L di interazione usando c L’ipercarica di , Y=1 per c Y=-1 Q=T3+Y/2 Tutti complessi a,b etc Le masse determinano le g L L