GAUGE THEORIES and Gauge invariance Da dove saltano fuori Lagrangiane ed Hamiltoniane? Come facciamo a sapere che una certa interazione descrive un certo processo fisico? Ma perché l’interazione e.m. è dovuta ad una particella priva di massa, di spin 1, scambiata tra oggetti elettricamente carichi? In linea di principio, se esistono certi tipi di materia che interagiscono in modo consistente con la teoria quantistica, allora dovrebbe essere possibile dedurre la struttura dell’interazione. In precedenza, la forma dell’interazione, dedotta da astuti fisici da fatti sperimentali, era semplicemente una descrizione matematica della situazioe Teorie dove la forma dell’interazione è determinata perché la teoria è invariante per qualche trasformazione sone dette teorie di gauge Kane, capitolo 3 Prima guarderemo alle trasformazioni di gauge in fisica classica, e poi nella teoria quantistica dove il meccanismo di gauge e’gia’presente Poi ci occuperemo di teorie di campo quantistiche abeliane e per finire guarderemo a teorie quantistiche non abeliane NON DIMENTICARE CHE QUALSIASI BELLA TEORIA DEVE ESSERRE VERIFICATA SPERIMENTALMENTE pfd lez4

Le equazioni non cambiano! GAUGE INVARIANCE IN CLASSICAL ELECTRODYNAMICS CAMPI E POTENZIALI IN ELETTRODINAMICA CLASSICA Le equazioni non cambiano! GAUGE TRANSFORMATION continua derivabile ma arbitraria . FORMALISMO RELATIVISTICO Questa invarianza era nota da moltissimo tempo, ma era considerta una curiosità. Solo dopo il 1960 si è capito che è a causa di questa invarianza che le interazioni hanno la forma che hanno. Questa relazione mette in evidenza che le trasformazioni devono essere fatte simultaneamente gauge invariance pfd lez4

Le teorie di gauge sono teorie nella quali l’interazione è determinata da un principio di invarianza locale Se la teoria è invariante per una certa trasformazione locale, si dice che è una “gauge theory”, o teoria di gauge. Kane 3 Da dove vengono hamiltoniane e lagrangiane? Perche ‘interazione e.m. è dovuta allo scambio di una particella di massa 0 e spin1 tra oggetti carichielettricamente? pfd lez4

GAUGE INVARIANCE IN QUANTUM THEORY Gli osservabili dipendono da GLOBAL GAUGE TRANSFORMATION. Si richiede che la teoria sia invariante per  costante  è arbitraria, ma costante nello spazio tempo. (x,t) si trasforma ovunque nello stesso modo LOCAL GAUGE TRANSFORMATION. Se ora vogliamo una teoria invariante anche se si sceglie una fase diversa in ogni punto dello spazio-tempo, deve valere la : Possiamo fissare in questo caso le nostre convenzioni di fase come ci pare sulla terra, senza curarci di come dovrebbero essere sulla luna Vedere l’eccezione parziale effetti di interferenza: quando si misurano effetti di interferenza E le intensitá possono diventare sensibili alle differenze di fase di due stati che interagiscono. ( Sakurai,Modern Quantum Mechanics) pfd lez4

SORPRESA! L’equazione di Schroedinger NON è invariante per trasformazione di guage locale.Ma: CASO ELETTROMAGNETICO. Equazione di Schroedinger modificata per una particella carica in un campo e.m è gauge invariante e è la carica dell’elettrone. Le trasformazioni sono simultanee. Vale l’invarianza locale. Il formalismo relativistico è mantenuto E’una reinterpretazione di un risultato standard: l’ ínvarianza locale in m.q. RIcHIEDE l’ésistenza del fotone. La invarianza locale di gauge ( o fase) richiede l’esistenza del campo vettoriale A = (V,A) pfd lez4

Commenti sulla diapositiva precedente Il campo deve poter essere espanso in termini di operatori creazione e distruzione: Quindi deve esserci una particella associata, e dato che il campo è descritto da un quadrivettore, questa particella deve avere spin 1. Questo succede per ogni particella carica, e l’interazione è la stessa con ogni particella carica. E’ una interazione universale L’invarianza di fase della teoria quantistica dell’interazione di particelle cariche elettricamente richiede l’esistenza del fotone L’ invarianza di gauge locale praticamente richiede che se cambia il potenziale scalare V deve anche cambiare il potenziale vettoriale A, perché la carica si conservi, o le equazioni di Maxwell restino invariate Commenti sulla diapositiva precedente pfd lez4

Invarianza o simmetria globale o locale. SIMMETRIA di GAUGE L’origine del nome :(Weyl 1918) Simmetria di gauge nell’elettromagnetismo. Gauge = “misura campione” o “asta di misurazione”. Per esempio il metro dei falegnmi o delle sarte. ( che può dare cm ,pollici etc) (l’oggetto misurato mantiene le sue dimensioni, indipendentemente dallo strumento di misura che si usa) Invarianza o simmetria globale o locale. Esempio simmetria globale: Se il reddito di tutte le persone ed il costo di tutti i beni aumentasse di 10 volte ovunque, la domanda e l’offerta non cambierebbero, ed i mercati conserverebbero il loro equilibrio. Esempio simmetria locale: Se redditi e prezzi cambiassero quà e là in modo casuale, offerta e domanda non sarebbero più coordinate. Ma, secondo gli economsti, le “leggi del mercato” porterebbero presto ad un riequilibrio della domanda e dell’offerta, nel suo insieme: in questo caso questo è il principio di simmetria o conservazione.La forza è la forza del mercato Prese da varie parti, tra cui il Crease e Mann. Noether e la simmetria. La simmetria è il motore della dinamica. Se c’é na simmetria cé’un campo che esercita una forza. Le particelle sono pacchetti di energia e quantità di moto. Energia e quantità di moto sono numeri quantici definiti dalle traslazioni temporali e spaziali. Il momento angolare è il numero quantico della rotazione. Una particella elementare è definita dalle sue proprietà di simmetria. Una particella elementare è una rappresentzione del suo gruppo di simmetrie.

Local guage symmetry (un cenno storico) Simmetria locale I mutamenti nella simmetria locale sono completamente arbitrari: si ha una simmetria quando I mutamenti di un aspetto del sistema sono compensati esattamente da mutamenti di un altro aspetto, in modo tale che si conservi una quantità connessa ad entrambi. Una tale compensazione non può aver luogo senza l’intervento di una forza. Per avere una “simmetria locale di gauge” l’Universo deve agire. Non può restare passivo. In questo senso i nostri teorici ci dicono che “una simmetria di gauge locale genera una forza”. Local guage symmetry (un cenno storico) 1918 Weyl: In elettromagnetismo la simmetria locale di guage dello spazio-tempo, permeato dai campi elettromagnetici porta alla conservazione della carica elettrica. Einstein: non può essere una simmetria nello spazio tempo! ( un orologio portato in giro per una stanza cambierebbe ora!) 1927 London: E’ l’invarianza di fase dell’equazione dei potenziali dell’elettromagnetismo (di Scrhoedinger per l’elettromagnetismo)che conserva la carica. Per cui può cambiare la fase di un elettrone anche se la sua carica non cambia mai. “Cancellando gli effetti dei mutamenti di fase il campo protegge la carica con interventi costanti”

Covariant Derivatives: un formalismo utile Facciamo una trasformazione di gauge locale, cioè usiamo le equazioni: Equazione di Schroedinger e vediamo cosa succede : definiamo: “derivata covariante” Osservazione: anche D si trasforma come una funziona d’onda, se lo fa  . Ed anche D (D ) pfd lez4

Come deve trasforomarsi A “derivata covariante” Quadrivettore covariante. Semplifica le notazioni GENERALIZZIAMO: carica non elettrica trasformazione: Definiamo dove A è il campo interagente di cui non conosciamo il funzionamento. Vogliamo anche che : E questo può essere scritto: Risolviamo per A’: Dato che la  è arbitraria, e moltiplicando a destra per U-1 Come deve trasforomarsi A pfd lez4

Abelian &Non-Abelian transformations (remind) phase invariance in QED Abelian groups transformations commute Non-Abelian groups transformations do not commute isospin yang-mills theory Kane appendix B Atchinson pag 182 in the case of electric charge or baryon number successive transformation commute: this correspond to an Abelian phase invariance U(1). SU(2) trasformation generally do not commute pfd lez4