Abelian &Non-Abelian transformations phase invariance in QED Abelian groups transformations commute Non-Abelian groups transformations do not commute isospin yang-mills theory Kane appendix B Atchinson pag 182 in the case of electric charge or baryon number successive transformation commute: this correspond to an Abelian phase invariance U(1). SU(2) trasformation generally do not commute

Non-Abelian Guage global Symmetry Fino al ~ 1948: simmetrie di gauge per costruire la elettrodinamica quantistca (QED): l’invarianza di gauge come controllo dei calcoli e non come generatore di forza Dal 1948 osserviamo le particelle; notiamo qualche simmetria; cerchiamo quale campo di gauge può spiegarle : questo vuol dire determinare le proprietà delle particelle scambaitrici (“virtuali”) associate al campo, che poi bisogna scoprire sperimentalmente. invarianza per rotazione nello spazio di spin isotopico delle interazioni forti. simmetria globale non abeliana Exactly degenerate in mass: Angular momentum multiplets,in the absence of electromagnetic field “Any non-Abelian global symmetry not hidden reveal itself in the existence of multiplets that are either exactly degenerate in mass, if the symmetry is exact or nearly so if the symmetry is broken by small explicit terms in the Hamiltonian” Broken: Strong Isospin Vedi alla ricerca dell’uno pag 409 gauge th. abelian e non abelian Yang-Mills e la conservazione dello SPIN ISOTOPICO

notare simmetria nascosta hidden symmetry simmetria rotta broken symmetry trasformazione (simmetria, gruppo) abeliana trasformazione (simmetria, gruppo) non abeliana

SIMMETRIA di SPIN ISOTOPICO delle INTERAZIONI FORTI Strong Isospin Symmetry (nucleons,pions and other hadrons) protone (p) e neutrone (n) mp=938.28 MeV, mn=939.57MeV m 0,1% Perché considerarli diversi? Hanno una carica e.m. diversa, ma le interazioni forti non sentono la carica e.m..L’interazione forte è molto più forte dell’interazione e.m., che non conta molto. (Heisemberg, 1932) Questo modo di ragionare ha portato all’idea che dobbiamo pensare p e n come due stati dello stesso oggetto: il nucleone N. La carica elettrica è una “etichetta” per distinguere i due stati, se ce ne è bisogno. È utile immaginare uno spazio, detto STRONG ISOSPIN SPACE, nel quale il nucleone N punta in una direzione: in su se è un p, in giù se è un n Si assume che l’interazione forte sia invariante per rotazioni nello spazio di spin isotopico, e si chiama questa invarianza: SIMMETRIA di SPIN ISOTOPICO delle INTERAZIONI FORTI Questa è una simmetria che ha un ruolo importante nell’interazione di nucleoni,pioni e altri hadroni. Ha però un ruolo molto importante anche da un punto di vista concettuale: ha contribuito allo sviluppo delle idee che hanno portato alle moderne teorie di gauge. Qui ce ne occuperemo da questo punto di vista. Quello che è veramente foondamentale è l’isospin debole, come vedremo in seguito. In effetti, si è osservato che approssimativamente l’interazione forte non cambia se si scambiano p ed n. (charge symmetry and charge indipendence delle forze nucleari) Questa invarianza o simmetria è rotta dall’interazione e.m., ma tiene entro lo 0,1%

SIMMETRIA di SPIN ISOTOPICO Questa è una simmetria che ha un ruolo importante nell’ interazione di nucleoni,pioni e altri hadroni. Ha però un ruolo molto importante anche da un punto di vista concettuale: ha contribuito allo sviluppo delle idee che hanno portato alle moderne teorie di gauge: le teorie di Yang-Mills. Qui ce ne occuperemo da questo punto di vista. Quello che è veramente fondamentale è la simmetria di isospin debole come vedremo in seguito.

Esempio di simmetria interna di particelle HADRONS AS STATES IN SU(2) MULTIPLETS mp=938.28 MeV, mn=939.57MeV Doppietto di SU(2) I=1/2 m=139.57 MeV, m0=139.96MeV Tripletto di SU(2) I=1 Q carica particella e carica elettrone B numero barionico KANE 4.1 Componenti cartesiane pi1,pi2 e pi3 e stai dicarica pi+,-,0 ( stanno nello stesso rapporto delle coordinate cartesiane e armoniche sferiche Ylm) Esempio di simmetria interna di particelle

pion nucleon interaction Lagrangian Distrugge un antiprotone, crea un protone Distrugge un neutrone,crea un neutrone potenziale del campo forte,ma anche operatore creazione e distruzione del  Non invariante per rotazione nello spazio interno di spin isotopico per qualsiasi g. Per esempio COME RENDERE INVARIANTE UNA LAGRANGIANA? UNO SCALARE È INVARIANTE PER ROTAZIONE. DATO CHE IL  È UN VETTORE, DOBBIAMO FORMARE UN VETTORE CON N KANE 4.1 analogia con lo spin charge indipendence interaction Lagrangian

Calcolo prodotto Relazione tra 1,2,3 e 

Vedi anche Muirhead pag 385

basic nucleon-nucleon interaction force amplitude Kemmer (1938) ha stabilito che il “pione” ( come quanto della interazione forte) doveva esistere in tre stati di carica.

Lo spin isotopico è un esempio di simmetria interna di particelle. A questo tipo di simmetria si associa uno “spazio interno” e si richiede che l’interazione sia invariante per rotazioni in tale spazio In questo modo si ottiene un’interazione della forma voluta. Quando ci occuperemo dellp spin debole, vedremo che è il bosone W ad avere isospin debole 1

Rotazione dallo stato N allo stato N’ Non-Abelian Gauge Theories SPAZI INTERNI E INVARIANZA DI FASE p e n sono nello spazio interno di spin isotopico forte SU(2): Rotazione dallo stato N allo stato N’ trasformazione di fase per cui la variazione è espressa da un operatore nello spazio di spin isotopico i parametri della rotazione i matrici di Pauli n.b.: l’ordine delle rotazioni è importante, perche’ le rotazioni non commutano. Kane 4.2 riguardare l’appendice A sulle proprieta delle matrici di Pauli Mettiamo insieme il concetto di spazi interni ed invarianza di fase. Per il momento occupiamoci di protone e neutrone P e n sono in uno spazio interno SU(2), lo spazio di “strong isospin” Formalmente, il commutatore ci dice che tau quadrato=1, e che qualsiasi potenza di una matrice di Pauli è uguale a se stessa o all’unità. Infatti una funzione di matrici è espressa da una espansione in serie. TRASFORMAZIONI NON ABELIANE commutatore

I quark hanno questo grado di libertá: il COLORE In linea di principio possiamo considerare particelle in una rappresentazione di un gruppo qualsiasi, ed applicare la trsformazione appropriata Se le particelle a1,a2,a3 portano numeri quantici in uno spazio SU(3), si ha: I quark hanno questo grado di libertá: il COLORE Si vedrà in seguito che uno spazio nel quale delle particelle portano numeri quantici non banali, conduce ad una interazione tra particelle mediate da nuovi bosoni di gauge Kane 4.2 i “colori” sono stati chiamati così perchè hanno qualche analogia con i veri colori...... Attualmente non esiste alcun principio fisico che ci dica quali sono gli spazi interni. Questi sono stati trovati sperimentalmente. E verificati sperimentalmente. Quali sono gli spazi interni della fisica delle particelle? Sperimentalmente si è verificato che gli “spazi” che descrivono tutte le particelle conosciute oggi, e le loro proprietà sono: SU(3)(COLORE) interazione forte SU(2) e U(1) interazione elettrodebole

invarianza di gauge locale teorie di Yang-Mills STANDARD MODEL Quark e leptoni hanno “etichette” ( o numeri quantici) che permettono di distinguere 3 “spazi interni.” SU(3)(COLORE) interazione forte SU(2) U(1) interazione elettrodebole L’invarianza di fase della teoria quantistica (gauge invariance) deve esistere per trasformazioni in questi “spazi interni”. TEORIE di GAUGE NON-ABELIANE per QUARK e LEPTONI invarianza di gauge locale teorie di Yang-Mills Vedi Kane 4.3 . Applicheremo la matematica “covariante” trovata nel caso dell’elettromagnetismo a queste teorie di gauge non abeliane locali Si può dimostrare che teorie di guage non-abeliane sono pienamente gauge –invarianti, cioè esiste un insieme di trasformazioni per  e i bosoni di gauge che fa si che D  si trasformi come 

“weak” isospin rappresentazioni  in uno spazio di isospin debole Si richiede invarianza in trasformazioni locali 2. Questo equivale a fare i parametri dipendenti dal tempo e dallo spazio. 3. Nessuna particella libera è invariante per una trasformazione di gauge non-Abeliana dato che non è invariante l’equazione di SCHROEDINGER 4. Covariant derivatives: generalizzazione del caso “abeliano” U(1) Kane 4.3 Supponiamo che quark e leptoni possano essere messi in una rappresentazione psi di uno spazio interno di isospin debole Nessuna particella libera è invariante per una trasformazione di gauge non-Abeliana = non invarianza della equazione di Shroedinger Cominciamo dalla matematica, che e’simile a quella gia’ sviluppata. Vedremo poi in che modo si e’arrivati alla conclusione che effettivamente tra questi doppietti esiste una simmetria e che tipo di simmetria é.

analogo a U(1) (abelian) Passando da U(1) a SU(2), abbiamo bisogno di 3 campi quadrivettoriali () Con U(1) abbiamo bisogno di un A ; con SU(2) abbiamo bisogno di Wi  per ogni i. Questa è un’equazione di matrici 22 U(1) SU(2) g2 arbitraria  la forza dell’interazione Wi  necessario, per l’invarianza per rotazioni di weak isospin Come cambia Wi  con una trasformazione di gauge? Dato che si deve avere Si assume che: . Si deve determinare Si puó dimostrare che Kane 4.3 abbiamo bisogno di 3 campi che si trasformino come un quadrivettore per trasformazioni di Lorentz,in modo da scrivere un termine che si trasformi come . Questa è la generalizzazione dall’invarianza abeliana all’invarianza non abeliana (teoria di Yang e Mill.) analogo a U(1) (abelian) trasformazione di un vettore per rotazione (non-abelian) Esiste quindi una soluzione non banale consistente con l’ipotesi della gauge invarianza di una teoria non-Abeliana!

Dimostrazione

OSSERVAZIONE abbiamo quindi visto una derivazione esplicita del fatto che una teoria non abeliana può essere pienamente gauge-invariante esiste cioè un set di trasformazioni per  e W tali per cui D si trasforma come  non è un risultato banale che esista una soluzione consistente

SU(2) SU(3) La natura ci offre uno spazio interno “di colore” covariant derivative per doppietti di SU(2) fermioni sinistrorsi SU(2) Bisogna generalizzare questo risultato spazio interno di weak isospin .  in una diversa rappresentazione.  weak isospin t, con (2t+1) componenti ,T è la rappresentazione operatore matriciale (2t+1) (2t+1) dei generatori di SU(2) in quella base. 2. Consideriamo un diverso spazio interno SU(n) invariance con generatori in uno spazio vettore a (n2 -1) dimensioni, e , allora Kane 4.3,pag 50 e 51 Abbiamo lavorato su un doppietto in SU(2) va bene per i fermioni sinistrorsi. Ma esistono anche i singoletti in SU(2) fermioni destrorsi. (e etc) NON si è osservato il nu destrorso.g2 lo sottolinea implicitamente. i G sono i bosoni di gauge che devono essere introdotti per avere una teoria di gauge invariante. La natura ci offre uno spazio interno “di colore” SU(3) richiede (n2-1)= (9-1)=8 bosoni di gauge SU(3)

MAIN EQUATION OF THE STANDARD MODEL Sommando a  svariati termini siamo sicuri di poter scrivere un differenziale covariante D che ci permetterá di scrivere Lagrangiane gauge-invariant per trasformazioni di gauge , simultaneamente o separateamente in tutti gli spazi interni MAIN EQUATION OF THE STANDARD MODEL Il campo abeliano di U(1) è B. Dimostreremo che in natura questo campo coincide con A, il campo e.m, cioè il fotone. Y è chiamato “Hypercharge generator”ed e’un numero kane 4.3 la phase invariance è stata garantita dalla forma del diff covariante Dmu  è un quadrivettore di Lorentz, come tutti gli altri termini dell’equazione. singoletto in SU(2) ed SU(3) singoletto in U(1) ed SU(3). Matrice 22 in SU(2) singoletto in U(1) ed SU(2). Matrice 33 in SU(3)