prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Meccanica dei Sistemi e Termodinamica modulo di Gravitazione Corsi di Laurea in: Fisica e Astrofisica, Tecnolgie Fisiche Innovative Anno Accademico 2006-2007 Lezioni ( docente: Savrié Mauro ) Mercoledì : 8:30-10:30 aula F4 Venerdì: 10:30-12:30 aula F4 Esercitazioni ( docente: G.Zavattini) giovedì : 8:30-10:30 aula F4 Le copie delle presenti trasparenze saranno disponibili in rete all’ indirizzo: www.fe.infn.it/~savrie cercare...ma occhio agli errori! Inizio lezioni: 10 Gennaio 2007 Fine lezioni: 17 Marzo 2007 Esami: - prova scritta: esito positivo: p >18/30 sconsigliato: 15/30<p<18/30 non ammesso: p<15/30 - prova orale : esito positivo: p>18/30 A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

(Le forze centrali e ) la gravità Sono forze molto importanti in fisica Sono sempre dirette verso un centro di forza Origine delle coordinate coincidente con il centro della forza Sono conservative Il momento angolare si conserva y Repulsiva!! P P’ o x prima del ‘600 nella gravitazione (Universo) non c’era niente da spiegare. corpi “terreni” corpi celesti A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Newton nel 1665 ( aveva 23 anni ) ipotizza che la caduta dei gravi ed il moto dei corpi celesti siano regolati dalle stesse leggi. non se lo è inventato. Si basa sulle osservazioni di Tycho Brahe ed i calcoli del MATEMATICO Keplero che aveva enunciato 3 leggi ( fenomenologiche). i pianeti si muovono su orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi I pianeti si muovono con velocità areolare costante i quadrati dei periodi di rivoluzione sono proporzionali ai cubi delle distanze medie dal Sole ( semi-asse maggiore ) Newton: nato nel 1642 T. Brahe: 1546-1601 Keplero:1571-1630 Dimostrazione della II legge: S p se consideriamo un intervallo di tempo infinitesimo dt: A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Sole diametro: 1.4 106 Km densità 0.25ρTerra gravità: 28g massa 1030 Kg I Pianeti pianeta Massa (Kg) <Dist> dal Sole (m) Dist. al perielio (Km) Distanza all’afelio (Km) Periodo (s) anni T2/r3 (s2/m3) Mercurio 3.181023 5.79 1010 45.9 106 69.8 106 7.60 106 0.241 2.97 10-19 Venere 4.88 1024 1.08 1011 107 106 109 106 1.94 107 0.615 2.99 10-19 Terra 5.98 1024 1.50 1011 147 106 152 106 3.16 107 1.0 Marte 6.42 1023 2.28 1011 207 106 249 106 5.94 107 1.88 2.98 10-19 Giove 1.90 1027 7.78 1011 740 106 816 106 3.74 108 11.9 Saturno 5.68 1026 1.43 1012 1350 106 1510 106 9.35 108 29.5 2.979 10-19 Urano 8.68 1025 2.87 1012 2730 106 3010 106 2.64 109 84.0 2.95 10-19 Nettuno 1.03 1026 4.50 1012 4460 106 4540 106 5.22 109 165 Plutone 1.4 1022 5.91 1012 4410 106 7360 106 7.82 109 248 2.96 10-19 LUNA: dist. dalla Terrra 0.384 106 Km diametro: 3476 Km volume 22 109 Km3 1/49 VTerra massa: 1/80 MTerra densità: 0.61 ρTerra3.34ρacqua gravità: 1/6 g A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Le principali lune di Giove (satelliti naturali del pianeta) luna Massa (Kg) <dist.> da Giove (Km) Dist. al periastro di Giove Distanza all’ apoastro di Giove Periodo (giorni) Io 8.9 1022 422 103 1.77 Europa 4.8 1022 671 103 3.55 Ganimede 1.5 1023 1070 103 1068 103 1071 103 7.16 Callisto 1.1 1023 1883 103 1870 103 1896 103 16.69 I satelliti artificiali (della Terra) satelliti M (Kg) <dist.> T(Km) Dist. al periastro. (*103 Km) Dist. apoa. (*103 Km) Periodo (minuti) Sputnik I 83 6.97 103 6.60 7.33 96.2 Sputnik II 3000 7.33 103 6.61 8.05 104 Explorer I 14 7.83 103 6.74 8.91 115 Vanguard I 1.5 8.68 103 7.02 10.3 134 ExplorerIII 7.91 103 6.65 9.17 116 Sputnik III 1320 7.42 103 6.59 8.25 106 A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

Conseguenze importanti della 2a e 3a legge Nell’approssimazione delle orbite circolari Con la stessa approssimazione ( ma si potrebbe dimostrare che vale sempre): MNV 196 La forza è centripeta, e per il sistema Terra-Sole vale: dalla III legge ....è una forza inversamente proporzionale al quadrato del raggio. Per azione e reazione questa forza è uguale a quella esercitata dalla Terra sul Sole ed è proporzionale alla massa della Terra, per simmetria........... A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Per simmetria quindi: Per il principio di azione e reazione : Che valgono contemporaneamente se: Definendo la nuova costante: modulo della forza Cosa fece realmente Newton? confrontò le accelerazioni della luna e di un grave ( vedremo come ) considerò le masse puntiformi ( non era evidente nel caso generale!) Ed ipotizzò……………. A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

La legge di gravitazione universale N.B. Infatti se nella legge ricavata prima indichiamo con G una costante di proporzionalità: E prima abbiamo visto che: È una costante che non dipende nè da M né da r G= costante di gravitazione universale Dimensioni: Valore: A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Dimostrazione della III legge Usiamo il sistema Terra-Luna nell’ aprossimazione dell’ orbita circolare ( ma è sempre vera!!!): ω m centro di massa c M ω A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie rivisto finqui 07 febbraio 2007

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Come fece Newton per verificare la validità della legge di Gravitazione Universale? (forse....) consideriamo il sistema Terra-Luna ed assumiamo che si possa fare l’ approssimazione di masse puntiformi (scopriremo che è vero!!!) Confrontiamo le accelerazioni della Luna e di un grave sulla superficie della Terra. si conoscevano (rL era inizialmente errato): nell’ ipotesi di lavorare in un sistema di riferimento inerziale: Vedete M-S esempio E.V.2 per la “misura” della distanza della Luna. in accordo con i dati!!! lo aveva misurato Eratostene A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie se è vero che l’ accelerazione del grave e della Luna seguono la stessa legge: l’ accelerazione della Luna la possiamo calcolare in base al suo T ed alla sua distanza coincide entro l’ 1% con il rapporto inverso del quadrato delle distanze se g=9.81 ms-1: misurato!!! inoltre: Tipler esercizio #6-2 pag 135 Cavendish Calcolare la variazione di g con la quota A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Misura di Gcon la Bilancia di Cavendish Henry Cavendish:1731-1810 A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

Massa inerziale e massa gravitazionale da esperimenti di dinamica da esperimenti gravitazionali MASSA ma sono uguali le quantità che si misurano? # Min Mgr distanza A MA,in MA,gr dAC=r C MC,in MC,gr dCB=r B MB,in M,gr siano dati tre corpi: ma in un esperimento inerziale: A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Bisogna fare un esperimento! Newton solo se: min.=mgr. Bessel: misure accurate con pendoli: Friedrich Wilhelm Bessel Matematico-Astronomo 1784-1846 Eötvos (1909): min.=mgr. con 1/108 Dicke (1964) : min.=mgr. con 1/1010 Baricentro e centro di Massa? A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Campo Gravitazionale regione di spazio sede di forze gravitazionali è una grandezza vettoriale il campo di una massa non è perturbato dalle altre masse caratterizzato da un vettore tipico: campo: funzione vettoriale della posizione ( e del tempo?) campo: è un “intermediario” m3 m2 mi m1 m0 A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie il segno meno indica che per x>0 il campo è verso sx come va il campo per x>>a? A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Essendo centrale (radiale), in coordinate polari si ha che: verifichiamo che è conservativo: O x y z A B A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie funzione solo del punto dalla definizione di potenziale: dalla definizione di energia potenziale: <0 per r finito =0 per R=∞ Fg è attrattiva W>0 se m viene da ∞ U(r) vale per qualunque cammino vedi gli esempi su R-H (per il n° 2) e ..... per il n°1 per una distribuzione continua di massa: la forza di Newton è corretta solo se M ha una distribuzione di massa sferica o se è puntiforme altrimenti vale per gli elementi dm per i sistemi legati gravitazionalmente N.B. A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie consideriamo infatti un corpo di massa m (satellite) orbitante attorno ad un corpo di massa M(pianeta). Sia M fisso nell’ origine di un sistema di riferimento inerziale e l’ orbita di m sia circolare. nel approssimaione di orbita circolare: per tutti i sistemi legati per orbite ellittiche a= semi asse magg. A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie si può dimostrare che per un’orbita qualunque : B-G 237 + A-F newed nota 11.1 212 orbita ellisse cerchio parabola iperbole Eccent. 0<e<1 e=0 e=1 e>1 En.totale <0 =0 >0 A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

Riordiniamo le idee sul potenziale gravitazionale Per come avevamo definito il potenziale: Che per l’ energia potenziale del P.M. in b: In cui L’energia potenziale di a può essere scelta arbitrariamente. Per una particella rispetto al campo terrestre la poniamo uguale a zero sulla superficie terrestre: Nei casi generali: A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Per una particella di massa m che si muove verso la Terra in direzione radiale la forza che agisce sulla particella (forza del campo): Quindi l’ energia e’ una proprietà del sistema di masse e non di una delle masse del sistema. Per la forza: A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Esempio Velocità di fuga L’energia potenziale di un corpo di massa m sulla superficie terrestre vale il lavoro, cambiato di segno, che le forze del campo compiono per trasportare il corpo di massa m dall’ infinito (ove Fg=0; Ug=0) fin sulla superficie terrestre: Il lavoro necessario per portare la massa all’ infinito partendo dalla superficie terrestre, è dato da: Quale dovrebbe essere la sua velocità iniziale? A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Esempio 2) Periodo massimo di un pendolo ??? A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Sistemi di particelle Se due particelle sono a distanza r la loro energia potenziale è: Lavoro compiuto dalla forza gravitazionale per portare le particelle da distanza infinita a distanza r Energia potenziale di un sistema=lavoro che forze esterne devono compiere per costituire il sistema a partire da una configurazione di riferimento Nel campo terrestre noi ( forza esterna) dovremmo compiere il lavoro : per separare il P.M dalla Terra : per portarlo dall’ infinito a r: A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

E per un sistema di più masse... y m1 m3 m2 o x E l’energia potenziale del sistema: Mentre per separare i corpi: A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

E per un sistema di più masse... E l’energia potenziale del sistema è la somma: Mentre per separare i corpi: A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Esempio Energia potenziale (di legame)del sistema Terra-Sole: Avendo considerato: A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

Dimostrazione della I legge di Keplero y α il moto avviene nel piano: o x dalla conservazione dell’ energia: folder II e M-S pag 158 ma il momento angolare si conserva: A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

I pianeti si muovono intorno al Sole su orbite ellittiche ma dato che ci interessa solo la relazione tra r e l’ anomalia φ si può integrare ( non tanto facilmente!!!!) φ0=cost. di integ.0 equazione di un’ ellisse di assi a ( maggiore) e b ( minore) I pianeti si muovono intorno al Sole su orbite ellittiche A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie equazione di un’ ellisse con centro nell’ origine A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie equazione di un’ ellisse con centro nell’ origine cerchio ausiliario o eccentrico A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie equazione di un’ ellisse con centro nell’ origine eq. cartesiana dell’ ellisse eq. parametrica dell’ ellisse A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie equazione di un’ ellisse con centro nell’ origine dal teorema di Pitagora: A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie fattore di scala L’ equazione della nostra orbita era: A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie quando il punto P coincide con A: quando il punto P coincide con A’: A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Domanda da 10 punti!!!! Cosa succede se aumentiamo o diminuiamo di poco il “raggio” dell’ orbita? φ P x y descriviamo il moto in sistema di riferimento non inerziale con origine nel Sole ed un asse diretto da S verso P. Il sistema ruota con velocità angolare ω: M-S pag 164 La componente radiale del risultante delle forze: costante in generale ( orbite ellittiche ) ma il mom. angolare: costante è conservativa A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Ueff.(r) r0 r* r r -GMm/r nell’ intorno di r0 l’ energia potenziale è ben approssimanta da una funzione del tipo esiste quindi un forza di richiamo: A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

Rappresentazione grafica dei campi di forza linee di forza Il vettore del campo ha la direzione della tangente alla linea di forza in ogni punto iniziano e finiscono sulle “sorgenti” del campo la loro densità è proporzionale all’ intensità del campo la loro distribuzione nello spazio in genere rispecchia le “simmetrie” delle sorgenti A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Linee di forza che indicano il campo gravitazionale vicino ad una massa puntiporme. La direzione delle L.d.F. indica la direzione del campo in ogni punto; la densità delle linee è proporzionale all’ intensità del campo A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Esempio 41 y o r x RT MT Dove: A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Campo di una distribuzione a simmetria sferica nel caso di uno strato sferico cosa succede fuori e dentro la distribuzionedi massa? Vedi R-H per tutti questi esempi e se la distribuzione è piena? A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Per un punto che dista r dal centro: A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Quesito Ad una distanza r dal centro: Verificare su R-H Cosa ci ricorda? A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Distribuzione di massa a simmetria sferica..........come puntiforme. Consideriamo per ora uno “strato sferico” Consideriamo una fetta dell strato ( anello): La forza esrecitata dall’ anello sulla massa m di “prova” in P: A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie ma dato che: come se tutta la massa fosse concentrata in un punto A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie

prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie Vale assumendo: Simmetria sferica E se ρ=ρ(r)? Vale per la FG che agisce su m ma viceversa Possiamo dimostrare che F=0 dentro lo strato? Siamo sempre ricondotti ad un integrale del tipo: Ma ora: A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro savrie@fe.infn.it www.fe.infn.it/~savrie