(pane quotidiano dell’algebra, dannazione… degli studenti) (A+B)(A-B)=A2-B2 (A+B)(A2+AB+B2) =A3+B3 (A-B)2=A2-2AB+B2 Prodotti notevoli (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 (pane quotidiano dell’algebra, dannazione… degli studenti) (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A+B)2=A2+2AB+B2

IN QUESTA PRESENTAZIONE SARA’ TRATTATO: - QUADRATO DEL BINOMIO - QUADRATO DE TRINOMIO - DIFFERENZA DI DUE QUADRATI - CUBO DEL BINOMIO - PRODOTTO DELLA SOMMA O DIFFERENZA DI DUE DUE MONOMI PER IL FINTO QUADRATO DEL BINOMIO PREREQUISITI: -CONOSCENZA DELL’ INSIEME Q E DELLE PROPRIETA’ DELLE SUE OPERAZIONI -CONOSCENZA DELLE PROPRIETA’ DELLE POTENZE

Vogliamo vedere il prodotto (2x+3)(2x+3) a cosa è uguale; svolgiamolo nel modo che conosciamo: 4x2+6x+6x+9, sommiamo i due monomi uguali 6x e 6x, otteniamo il risultato 4x2+12x+9. Cosa notiamo? (2x+3)(2x+3)=(2x+3)2=4x2+12x+9 invece di avere quattro termini, come ci aspetteremmo, ne abbiamo tre. Proviamo con un altro esercizio (5x2y-3)(5x2y-3)= =25x4y2-15x2y-15x2y+9= 25x4y2-30x2y+9 Anche in questo caso, invece di avere quattro termini, come ci aspetteremmo, ne abbiamo tre.

Consideriamo il prodotto di una somma per una differenza e facciamo lo stesso ragionamento (2xy+7x)(2xy-7x) Svolgiamolo nel modo tradizionale: 4x2y2-14x2y+14x2y-49x2 , elidendo i due monomi opposti -14x2y+14x2y, possiamo scrivere il risultato finale della moltiplicazione 4x2y2 - 49x2. Anche in questo caso invece di avere quattro termini, come ci aspetteremmo, ne otteniamo un numero inferiore, due.

Nel calcolo letterale spesso si incontrano moltiplicazioni tra particolari polinomi, i cui risultati, opportunamente semplificati, hanno una forma ricorrente, facilmente memorizzabile. A causa della frequenza con cui, si incontrano tali particolari moltiplicazioni, è bene tenere a mente i risultati, applicandoli subito senza passare attraverso l’applicazione delle regole generali. Questi particolari prodotti si chiamano “PRODOTTI NOTEVOLI ” e riguardano: il prodotto di un polinomio per se stesso, il prodotto di tre binomi uguali, il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza, ecc.

IL QUADRATO DEL BINOMIO (A+B)2=A2+2AB+B2 (5ab+2b)2=(5ab)2+2(10ab2)+(2b)2= =25a2b2+20ab2+4b2 (A-B)2=A2-2AB+B2 (5ab-2b)2=(5ab)2+2(-10ab2)+(-2b)2= =25a2b2-20ab2+4b2

Consideriamo due generici monomi che indichiamo con A e B; la loro somma è il binomio A+B. Per definizione di potenza si ha: XX = X2 analogamente (A+B)(A+B) =(A+B)2 Eseguendo il prodotto (A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2 e sommando i termini AB e BA, uguali per la proprietà commutativa del prodotto, si ottiene:

(A+B)2= =A2+2AB+B2

Oppure analogamente (A-B)2= =A2-2AB+B2

Le uguaglianze: (A+B)2=A2+2AB+B2 (A-B)2=A2-2AB+B2 dicono che: il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo monomio A2, più o meno il doppio prodotto del primo monomio per il secondo 2AB, più il quadrato del secondo monomio B2.

COSA SIGNIFICA GEOMETRICAMENTE? (A+B)2=A2+2AB+B2

Per interpretare geometricamente la formula (A+B)2=A2+2AB+B2 Supponiamo che A e B siano due numeri positivi e considerato un quadrato di lato l=A+B, l’area misurerà A=(A+B)(A+B)=(A+B)2 A + B (A+B)2 A+ B

A =(A+B)(A+B)=(A+B)2 A = A2+2AB+B2 Come si vede dalla seconda figura, l’area del quadrato si può pensare composta dall’area di quattro figure, due quadrati disuguali di area A2 e B2 e due rettangoli uguali, entrambi di area AB A =(A+B)(A+B)=(A+B)2 A = A2+2AB+B2 A + B A + B (A+B)2 A2 AB A + A + A+ AB B2 B B B A + B

QUADRATO DI UN TRINOMIO (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC (5ab+2b+1)2= =(5ab)2+(2b)2 +(1)2+2(10ab2)+2(5ab)+2(2b)= =25a2b2+4b2+1+20ab2+10ab+4b

Analogamente a quanto appena visto consideriamo tre generici monomi che indichiamo con A, B e C; la loro somma è il trinomio A+B+C. Per definizione di potenza si ha (A+B+C)(A+B+C) =(A+B+C)2 Eseguendo il prodotto (A+B+C)(A+B+C)= =A2+AB+AC+BA+B2+BC+CA+CB+C2 e sommando i termini AB e BA, AC e CA, BC e CB, uguali per la proprietà commutativa del prodotto, si ottiene: (A+B+C)2=(A+B+C)(A+B+C)= =A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC

(A+B+C)2= A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC

L’uguaglianza: (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC dice che: il quadrato di un trinomio è uguale al quadrato del primo monomio A2, più il quadrato del secondo monomio B2 e del terzo C2, più il doppio prodotto del primo monomio per il secondo 2AB, più il doppio prodotto del primo monomio per il terzo 2AC, più il doppio prodotto del secondo monomio per il terzo 2BC.

COSA SIGNIFICA GEOMETRICAMENTE? (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC

Per interpretare geometricamente la formula (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC Supponiamo che A, B e C siano due numeri positivi e considerato un quadrato di lato l=A+B+C, la cui area misura A=(A+B+C)2 A + B + C A + B C (A+B+C)2

A=(A+B+C)(A+B+C)=(A+B+C)2 A = A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC Come si vede dalla seconda figura, l’area dello stesso quadrato, si può pensare composta dall’area di quattro figure, tre quadrati disuguali di area A2, B2, C2 e sei rettangoli uguali a due a due di area AB, AC, BC A=(A+B+C)(A+B+C)=(A+B+C)2 A = A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC A + B + C A + B + C A + B C A + B C A=(A+B+C)2 A2 AB AC AB BC B2 AC BC C2

Una formula perfettamente analoga si trova per il quadrato di un polinomio di quattro o più termini e si ottiene così la regola generale: il quadrato di un polinomio di un numero di termini qualunque è uguale alla somma dei quadrati di tutti i termini e dei doppi prodotti di ciascuno di essi per ognuno dei termini che seguono.

PRODOTTO DELLA SOMMA DI DUE MONOMI PER LA LORO DIFFERENZA (A+B)(A-B)=A2-B2 (3ab+2a)(3ab-2a)=(3ab)2-(2a)2=9a2b2 – 4a2

(A+B)(A-B)=A2+AB-BA-B2 Siano A e B due generici monomi; calcolando il prodotto della loro somma A+B per la differenza A-B, si ha: (A+B)(A-B)=A2+AB-BA-B2 Da cui, elidendo i monomi opposti AB e –AB, si ricava (A+B)(A-B)= A2-B2

(A+B)(A-B) = A2-B2

L’ uguaglianza (A+B)(A-B)= A2-B2 dice che: il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio.

COSA SIGNIFICA GEOMETRICAMENTE? (A+B)(A-B)= A2-B2

l2= Per interpretare geometricamente la formula (A+B)(A-B)= A2-B2 supponiamo che A e B siano due numeri positivi e considerato un rettangolo di lati l1=A+B e l2=A-B, la cui area misura A =(A+B)(A-B) l1= A + B l1 = A + B l2= A - B (A+B)(A-B) l2 = A - B

A= (A+B)(A-B) A= A2+AB-BA-B2 Come si vede dalla seconda figura, l’area dello stesso rettangolo, si può pensare di ottenerla sottraendo dall’area A2 di un quadrato e dall’area AB di un rettangolo l’area AB dello stesso rettangolo e l’area B2 di un quadrato A= (A+B)(A-B) A= A2+AB-BA-B2 A + B A + B A2 AB-B2 A=(A+B)(A-B) A - B A (AB) A B2 A

IL CUBO DEL BINOMIO (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 (x +2y)3 =(x)3+3(x)2(2y)+3(x)(2y)2+(2y)3= =x3+6x2y+12xy2+8y3 (1-2a)3=(1)3+3(1)2(-2a)+3(1)(-2a)2+(-2a)3= =1-6a+12a2-8a3 (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3

Consideriamo la somma di due generici monomi che indichiamo con A e B. Per definizione di potenza si ha: X2X = X3 Analogamente (A+B)2(A+B)=(A+B)3 Essendo (A+B)2=A2+2AB+B2 moltiplichiamo il quadrato del binomio per la somma (A+B): (A2+2AB+B2) (A+B)= =A3+A2B+2A2B+2AB2+AB2+B3 sommando i termini simili A2B e 2A2B, 2AB2 e AB2, si ottiene: (A+B)3= A3+3A2B+3AB2+B3

(A+B)3= =A3+3A2B+3AB2+B3

Oppure analogamente (A-B)3= =A3-3A2B+3AB2-B3

Le uguaglianze (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 dicono che: il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo monomio A3, più il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo 3A2B, più il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo 3AB2, più il cubo del secondo monomio B3.

COSA SIGNIFICA GEOMETRICAMENTE? (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3

Per interpretare geometricamente la formula (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 Supponiamo che A e B siano due numeri positivi e considerato un cubo di lato l=A+B, il cui volume misurerà V=(A+B)(A+B)(A+B)=(A+B)3

V =(A+B)(A+B)(A+B)=(A+B)3

Come si vedrà dalla figura che segue il volume del cubo si può pensare costituito dal volume di quattro figure, due cubi disuguali di volume A3 e B3 e sei prismi a tre a tre uguali, di volume A2B e AB2 V=A3+3A2B+3AB2+B3

A + B B + A A + B B + A

B3 A2B AB2 A3

PRODOTTO DELLA SOMMA O DIFFERENZA DI DUE DUE MONOMI PER IL FINTO QUADRATO DEL BINOMIO (A+B)(A2+AB+B2) =A3+B3 (3a+1)(9a 2-3a+1)= (3a)3+(1) 3 =27a3+1 (A-B)(A2-AB+B2) =A3-B3 (x – 2y)(x2+2xy+4y2) =(x)3-(2y)3=x 3– 8y3

Altri prodotti notevoli frequenti e di grossa utilità sono il prodotto della somma di due monomi per il finto quadrato di binomio (A+B)(A2+AB+B2) (A-B)(A2-AB+B2) Effettuando i prodotti e le opportune semplificazioni si ottiene

(A+B)(A2-AB+B2) = = A3+B3

(A-B)(A2+AB+B2) = = A3-B3

Le uguaglianza (A+B)(A2-AB+B2) = A3+B3 (A-B)(A2+AB+B2) = A3-B3 dicono che: moltiplicando la somma algebrica di due monomi per il trinomio costituito dal quadrato del primo monomio meno o più il prodotto del primo per il secondo più il quadrato del secondo è uguale al cubo del primo monomio A3 più il cubo del secondo monomio B3.

RICAPITOLANDO ECCO TUTTI I CASI POSSIBILI

(A−B)(A2 + AB + B2) = A3− B3 (A+B)(A2 − AB + B2) = A3+ B3 QUADRATO DEL BINOMIO (A+B)2= A2 + 2AB + B2 (A−B)2= A2 − 2AB + B2 QUADRATO DEL TRINOMIO (A+B+C)2= A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC PRODOTTO DELLA SOMMA DI DUE MONOMI PER LA LORO DIFFERENZA (A+B)(A−B)=A2 − B2 CUBO DEL BINOMIO (A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 +B3 (A−B)3= A3 − 3A2B + 3AB2 − B3 PRODOTTO DELLA SOMMA O DIFFERENZA DI DUE MONOMI PER IL FINTO QUADRATO DEL BINOMIO (A−B)(A2 + AB + B2) = A3− B3 (A+B)(A2 − AB + B2) = A3+ B3

ADESSO PROVACI TU