NUMERI RELATIVI

Alcune grandezze, come la temperatura, l’altitudine, le somme di denaro, possono assumere valori opposti rispetto a uno di riferimento. Ad es.: +5 °C ; -8 °C ; +300 m s.l.m. ; -50 m s.l.m. ; + 200 € (credito) ; -100 € (debito). Per rappresentare queste grandezze, e per eseguire sottrazioni in cui il sottraendo è maggiore del minuendo ( es.:10-15), sono stati introdotti i numeri relativi che diremo positivi se preceduti dal segno (+) e negativi se preceduti dal segno (-).

OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI  

Addizione   La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo avente lo stesso segno e per modulo la somma dei moduli. Es.: (+7) + (+8) = + 15 ; (-5) + (-4) = - 9 La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo avente il segno dell’addendo di valore assoluto maggiore e per modulo la differenza dei valori assoluti degli addendi. Es.: (+9) + (-5) = +4 ; (+6) + (-9)= -3 La somma di due numeri relativi opposti è zero. Es.: (+6) + (-6) = 0

  Quando si devono addizionare più numeri relativi, applicando le proprietà commutativa e associativa dell’addizione, conviene addizionare separatamente tutti gli addendi positivi, poi tutti gli addendi negativi ed infine addizionare le somme parziali ottenute. Es.: (-8) + (-2) + (+10) + (-4) + (+15) = (+10+15) + (-8-2-4) = (+25) +(-14) = +11

Sottrazione   La differenza di due numeri relativi è il numero relativo che si ottiene aggiungendo al minuendo l’opposto del sottraendo. Es.: (+5) – (+4) = (+5) + (-4) = +1 ; (+6) – (-8) = (+6) + (+8) = +14 (-7) – (+5) = (-7) + (-5) = -12 ; (-8) – (-5) = (-8) + (+5) = -3

L’addizione e la sottrazione di numeri relativi non sono operazioni   L’addizione e la sottrazione di numeri relativi non sono operazioni distinte e assumono l’unico nome di addizione algebrica; si chiama somma algebrica il risultato di addizioni e sottrazioni. Per calcolare la somma algebrica di una espressione numerica contenente le parentesi, si possono seguire due metodi:

1)     si eseguono le operazioni all’interno delle parentesi tonde, poi delle quadre e infine delle graffe; 2)     si applica la regola che prende il nome di scioglimento di parentesi: per eliminare una parentesi preceduta dal segno (+), si toglie questo segno e le parentesi e si scrivono tutti i termini entro parentesi ciascuno col proprio segno; per eliminare una parentesi preceduta dal segno (-), si toglie questo segno e le parentesi e si scrivono tutti i termini entro parentesi cambiandoli di segno.

13 - {-2 - [ 4- (3-5)] + 1} – 22 Primo metodo: Calcolare la seguente espressione:   13 - {-2 - [ 4- (3-5)] + 1} – 22 Primo metodo: 13 - {-2 - [ 4- (-2)] + 1} – 22 13 - {-2 - [+6 ] + 1} – 22 13 - {-8 + 1} – 22 13 - {-7} – 22 20 – 22 -2

Secondo metodo 13 - {-2 - [ 4-3+5)] + 1} – 22 13 - {-2 –4+3-5+1} – 22 13 +2+4-3+5-1– 22 13+2+4+5-3-1-22 24-26 -2

Calcolare la seguente espressione: 4 – {13/3 – [ - 2 + 1/3 – (11 + 3/4)]} Primo metodo: 4 – {13/3 – [ - 2 + 1/3 – 47/4]} 4 – {13/3 – [ - 161/12]} 4 – 213/12 = - 55/4

Secondo metodo: 4 – {13/3 – [ - 2 + 1/3 – 11 - 3/4)]} 4 – {13/3 + 2 - 1/3 + 11 + 3/4} 4 – 13/3 –2 + 1/3 –11 – 3/4 - 165/12 = - 55/4

Moltiplicazione   Il prodotto di due numeri relativi è il numero relativo che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti; il segno è positivo se i due numeri sono concordi, negativo se sono discordi. Es. : (+5) (+8) = +40 ; (-6) (-7) = +42 ; (+9) (-4) = -36 ; (-3/4) (+3/5) = (-9/20)  

(-2/5):(+3/7) = (-2/5) x (+7/3) = - 14/15 Divisione   Il quoziente di due numeri relativi è il numero relativo che ha per valore assoluto il quoziente del valore assoluto del dividendo per il valore assoluto del divisore; è positivo se dividendo e divisore sono concordi (stesso segno), è negativo se sono discordi (segno diverso). Es.: (+15):(+3) = (+5) ; (-20):(-5) = (+4) ; (+30):(-6) = (-5) ; (-2/5):(+3/7) = (-2/5) x (+7/3) = - 14/15

Elevamento a potenza   La potenza di un numero relativo è il prodotto di più fattori tutti uguali a quel numero. Il numero si chiama base; il numero dei fattori si chiama esponente. Es.: +2 = base 3 = esponente

La potenza di un numero relativo positivo è sempre positiva; la potenza di un numero relativo negativo è positiva se l’esponente è pari, è negativa se l’esponente è dispari. Es.:  (+3)4 = +81 (+4)3 = +64 (-2)3 = -8 (-2)4 = +16 (-2/3)3 = -8/27 (-2/3)2 = +4/9

Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde: 7 – [(-3) – (-4)] Esempio n. 1   7 – [(2-5) – (-4+5-7+2)] Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde: 7 – [(-3) – (-4)] Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi tonde: 7 – [-3+4] Eseguiamo le operazioni nelle parentesi quadre: 7 – [+1] Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi quadre: 7-1 = +6

Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde:   Esempio n. 2 (19-35) + [5- (18-22)] – [13 + (12-42)] Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde: (-16) + [5- (-4)] – [13 + (-30)] Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi tonde: -16 + [5+4] – [13 -30] Eseguiamo le operazioni nelle parentesi quadre: -16 + [+9] – [-17] Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi quadre: -16 + 9 + 17 = +10

Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde: Esempio n. 3   Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde: Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi tonde:

Eliminiamo i termini opposti :   Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi quadre: Eliminiamo i termini opposti : Ottenendo:

Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde: Esempio n. 4   Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde: Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi tonde:

Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi quadre:   Eliminiamo i termini opposti : Ottenendo: Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi graffe:

FINE