Equazioni di primo grado

Modulo 2. Un modello algebrico per risolvere problemi: le equazioni. Unità didattica 1: Le equazioni. Unità didattica 2: Risoluzione di problemi. Competenze. Al termine del modulo lo studente sarà in grado di: • classificare un’equazione; • risolvere equazioni di primo grado e ad esse riconducibili; • risolvere problemi mediante equazioni. Descrittori. Al. Sa classificare un’equazione. A2. Sa riconoscere equazioni determinate, indeterminate, impossibili. B1. Sa applicare i principi di equivalenza. B2. Sa determinare il dominio di un’equazione. B3. Sa risolvere un’equazione numerica intera di primo grado. B4. Sa risolvere un’equazione numerica frazionaria. B6. Sa risolvere un’equazione di grado superiore al primo applicando la legge di annullamento del prodotto. C1. Sa costruire il modello algebrico di un problema. C2. Sa individuare le soluzioni del modello e del problema.

Un po’ di storia “Riguardo alla risoluzione di un problema relativo a numeri o alle relazioni astratte tra quantità, è necessario solo tradurre il problema dal proprio linguaggio al linguaggio dell’algebra”. Newton Isaac Newton

Le equazioni di primo grado erano note sia ai matematici greci, sia ai matematici indiani che, probabilmente, le avevano apprese proprio dai greci e che crearono un linguaggio sincopato abbastanza avanzato. Prima ancora dei greci altre civiltà molto più antiche avevano affrontato la risoluzione dei problemi che portavano ad equazioni. Nelle tavolette babilonesi e nei papiri egiziani si trovano infatti numerosi esempi di queste equazioni con enunciati e soluzioni completamente privi di Simbolismo algebrico. Ad esempio il papiro di Rhind (1700 a. C. circa che si trova nel British Museum di Londra), noto anche come papiro di Ahmes (nome del suo autore), contiene una tavola per esprimere le frazioni con numeratore 2 e denominatore da 5 a 101 come somma di frazioni con numeratore 1 o frazioni unitarie. Consideriamo il problema 25 in esso riportato: “Una quantità sommata con la sua metà diventa 16”.

L’incognita appare esplicitamente per la prima volta in Diofanto che la chiama “aritmos”, cioè numero incognito, e lo indica con il simbolo x, probabilmente perché questa “s” greca è la lettera finale del suo nome. Per risolvere equazioni di primo grado in una incognita, Diofanto raggruppa in un membro tutti i termini contenenti l’incognita e nell’altro i termini noti, così il problema è ridotto ad eseguire una divisione o a cercare un quarto proporzionale. Anche i matematici greci anteriori a Diofanto sapevano risolvere equazioni di primo e secondo grado ma affrontavano questi problemi geometricamente.

Attraverso il commercio e i viaggi, intorno al 1100, gli europei vengono a contatto con gli arabi e con i bizantini. Tra questi europei, Leonardo Pisano (1170 -1250), detto Fibonacci, visitò l’Algeria per imparare i procedimenti aritmetici utilizzati dagliArabi. Tra le sue opere, il “Liber Quadratorum” presenta una certa analogia con il lavoro di Diofanto.

Dal problema al modello Trova il numero tale che il suo doppio diminuito di cinque sia uguale a quindici. Indicando con x il numero si ottiene 2x – 5 = 15

Un modello è una forma di rappresentazione semplificata della realtà. 2x – 5 = 15 È la formalizzazione in linguaggio algebrico del problema dato.

Numerose questioni relative all’algebra, alla geometria, alla fisica, alla chimica, … si traducono in equazioni. “Pensa un numero, aggiungi 5 e moltiplica il risultato per 2. Che numero hai ottenuto?” “Ho ottenuto 30” “Allora il numero che hai pensato è 10”. Questo semplice giochino che ci è stato proposto tante volte si risolve mediante un’equazione 2(x + 5) = 30

Si chiama equazione algebrica un’uguaglianza fra due espressioni algebriche, in una o più variabili, che risulti verificata solo per particolari valori attribuiti alle variabili che in essa figurano. Un’equazione algebrica, in una sola variabile, si dirà di primo grado se la variabile che in essa figura è di primo grado. La variabile x si chiama incognita dell’equazione. I particolari valori che attribuiti all’incognita soddisfano l’equazione, si chiamano soluzioni o radici dell’equazione stessa.

In matematica una uguaglianza e‘ un uguale fra due enti In matematica una uguaglianza e‘ un uguale fra due enti. Esempi possono essere 1 + 1 = 2 125 + 250 = 375 a + a + 3a + 2a = 2a + 5a Regola importante: se un'uguaglianza e' vera si comporta come una bilancia a piatti: quello che c'e' su un piatto deve variare come quello che c'e' sull'altro piatto altrimenti la bilancia non e' più in equilibrio e l'uguaglianza non e' più valida

Una equazione generica di primo grado è del tipo: ax = b con a, b, x   Chiameremo 1° membro l’espressione posta a sinistra dell’uguale e 2° membro l’espressione a destra. x – 1 + 2x = 3x - 1 1° membro 2° membro

Equazione ax = b con a,b,x Equazioni Equazioni impossibili Equazioni Se l’equazione (di 1° grado) possiede una sola soluzione si dirà determinata; se, invece, possiede infinite soluzioni si dirà indeterminata; infine, si dirà impossibile se non ammette soluzioni. Equazione ax = b con a,b,x Equazioni impossibili (nessuna soluzione) 0x = b Equazioni indeterminate (infinite soluzioni) 0x = 0 Equazioni determinate (una soluzione) ax = b

Classificazione Equazioni Razionali Irrazionali Numeriche Letterali Le incognite non compaiono sotto un segno di radice Irrazionali Le incognite compaiono sotto un segno di radice Numeriche Oltre alle incognite non compaiono altre lettere Letterali Oltre alle incognite compaiono altre lettere Grado di un’equazione intera nella forma P(x)=0: È il grado del polinomio Intere le incognite non compaiono in un denominatore Fratte Le incognite compaiono anche nei denominatori

EQUAZIONI EQUIVALENTI Diremo che due equazioni, di primo grado, sono equivalenti se ammettono la stessa soluzione Per risolvere un’equazione è necessario applicare un procedimento risolutivo, occorre cioè conoscere i metodi che consentono di trasformare un’assegnata equazione in una nuova equazione ad essa equivalente ma di forma più semplice. A tale scopo è necessario applicare due importanti teoremi detti principi di equivalenza.

Principio di addizione Addizionando ad ambo i membri di una equazione uno stesso numero o una medesima espressione algebrica in x si ottiene una equazione equivalente alla data Esempio: 8x – 6 = 7x + 4 Applicando il 1° principio, aggiungiamo ad ambo i membri l’espressione 6-7x 8x – 6 + 6 – 7x = 7x + 4 + 6 – 7x x = 10 Da tale principio ricaviamo: Regola del trasporto: in una equazione è sempre possibile trasportare un termine qualunque da un membro all’altro cambiandone il segno Regola della cancellazione: se uno stesso termine figura nei due membri di una equazione, può essere eliminato

Principio di moltiplicazione e divisione – Moltiplicando o dividendo ambo i membri di una equazione per uno stesso numero diverso da zero o per una stessa espressione algebrica contenente l’incognita, si ottiene una equazione equivalente alla data Esempio: 8x = -16 Applicando il 2° principio, dividendo ambo i membri per 80: 8x : 8 = – 16 : 8 x = – 2 Da tale principio ricaviamo: – Regola del cambiamento di segno: cambiando il segno a tutti i termini di una equazione se ne ottiene un’altra equivalente alla data – Regola della soppressione dei denominatori numerici: per trasformare una equazione dotata di denominatori numerici in un’altra equivalente, priva di denominatori, si moltiplicano ambo i membri dell’equazione data per il m.c.m. dei suoi denominatori

Come si risolve una equazione di I grado   Equazione 1 10 (x + 2) + 20 = 6 (x - 2) + 22 - x Soluzione 10x+20+20 = 6x - 12 + 22 – x 10x + x - 6x = -12 + 22 - 20 5x = -30 5x/5 = -30/5 x = (-30)/5 = - 6  Verifica 10 [(-6) + 2] + 20 = 6 [(-6) - 2] + 22 - (-6) 10 (-6 + 2) + 20 = 6 (-6 - 2) + 22 + 6 10 (-4) + 20 = 6 (-8) + 22 + 6   -40 + 20 = - 48 + 22 + 6 -20 = -26 +6 -20 = - 20 verificata 

Equazione 2 4 (-3 – x) – 14 (x + 2) + 15 = - 15 – 8x Soluzione   -12 - 4x - 14x - 28 + 15 = - 15 - 8x 4x - 14x + 8x = - 15 + 12 + 28 - 15 -10x = + 10 -10x/(-10) = + 10/(-10) x = (-10)/(10) x = -1 Verifica 4 [-3 - (-1)] - 14 [(-1) + 2] + 15 = - 15 - 8(-1) 4 (-3 +1) - 14 (-1 + 2) + 15 = - 15 + 8 4 (-2) - 14 (1) + 15 = - 7 -8 - 14 + 15 = - 7 -7 = - 7 verificata 

Equazione 3 4 ∙ (x – 5)² = (2x – 10)² Vediamo ora qualche esempio di risoluzione di un’equazione di I grado indeterminata: Equazione 3 4 ∙ (x – 5)² = (2x – 10)² Soluzione 4 ∙ (x – 5)² = (2x – 10)² 4 ∙(x² - 10x + 25) = 4x² - 40x + 100  4x² - 40x + 100 = 4x² - 40x + 100 identità verificata per qualsiasi valore attribuito alla x oppure riprendendo da    e applicando la regola dell’elisione si ottiene 0 = 0 quindi, anche in questo caso, indipendentemente dal valore attribuito all’incognita l’equazione è sempre verificata

Equazione 4 x – 1 + 5 ∙ (x – 3) + (-2)² = 6 ∙ (x – 2) Soluzione   Soluzione x – 1 + 5 ∙ (x – 3) + (-2)² = 6 ∙ (x – 2)   x – 1 + 5x – 15 + 4 = 6x – 12 x + 5x – 6x = -12 + 1 + 15 – 4   0 = 0 anche in questo caso l’equazione è soddisfatta indipendentemente dal valore attribuito alla x, cioè è soddisfatta da qualsiasi valore di x, dunque l’equazione è indeterminata

Esempio di risoluzione di un’equazione di I grado impossibile   Equazione 5 (5x – 2)² + (5x +2)² = 50 ∙ (x + 2) ∙ (x –2) Soluzione (5x – 2)² + (5x +2)² = 50 ∙ (x + 2) ∙ (x –2)   25x² – 20x + 4 + 25x² + 20x + 4 = 50 ∙ (x² - 4) 50x² + 8 = 50x² - 200   8 = - 200 risulta dunque che l’equazione non è mai soddisfatta indipendentemente dal valore attribuito alla x, cioè nessun valore dato alla x è soluzione dell’equazione. L’equazione è impossibile

Si narra che sulla tomba del celebre matematico Diofanto fosse L E E Q U A Z I O N I C O M E M AT E M A T I Z Z A Z I O N E D E L L A R E A L T A' Si narra che sulla tomba del celebre matematico Diofanto fosse scolpita la seguente iscrizione: “Qui Diofanto ha la sua tomba che a te rivela con l’aritmetica quanti anni egli visse. Egli passò un sesto della sua vita nell’infanzia, un dodicesimo nell’adolescenza, un settimo nella giovinezza. Poi si ammogliò e dopo 5 anni ebbe un figlio che visse la metà della vita del padre, il padre gli sopravvisse ancora 4 anni mitigando il suo dolore con lo studio dell’ aritmetica”. A che età morì Diofanto?

Dunque, dalla lettura del testo ciò che si vuole determinare è l’età del nostro matematico Diofanto. Questo numero per ora sconosciuto noi lo chiameremo “incognita” che in latino significa proprio “cosa non conosciuta” e lo indicheremo con la lettera “x”. Deduciamo che: VITA DI DIOFANTO = PERIODO INFANZIA + PERIODO ADOLESCENZA + PERIODO GIOVINEZZA + PERIODO SPOSATO SENZA FIGLI + PERIODO PRIMA DELLA MORTE DEL FIGLIO + PERIODO DOPO MORTE FIGLIO Allora se: x = ETA’ DI DIOFANTO abbiamo: PERIODO INFANZIA = 1/6 x PERIODO ADOLESCENZA = 1/12 x PERIODO GIOVINEZZA = 1/7 x PERIODO SPOSATO SENZA FIGLI = 5 (anni) PERIODO PRIMA MORTE FIGLIO = ½ x PERIODO DOPO MORTE FIGLIO = 4 (anni)

La 1) può essere formulata matematicamente in questo modo:   2) x = 1/6 x + 1/12 x + 1/7 x + 5 + ½ x + 4 Abbiamo quindi schematizzato e rappresentato un problema reale in modo sintetico attraverso il linguaggio della matematica utilizzando, come si vede, uno strumento matematico come le equazioni algebriche di Iº grado. Dunque l’incognita che questo celebre aneddoto richiedeva coincide con l’eventuale soluzione della 2). Risoluzione: x = 1/6 x + 1/12 x + 1/7 x + 5 + ½ x + 4 -5 – 4 = 1/6 x + 1/12 x + 1/7 x + ½ x - x m.c.m. (6,12,7,2,1) = 84 -9 = (14x + 7x + 12x + 42x – 84x)/ 84 -9 = -9x/84 -9/(-9/84) = (-9x/84)/(-9/84) x = 84

Progetto DiGiScuola ex “CIPE scuola” (Delibera CIPE 9 maggio 2003, N°17 puntoB) Introduzione di metodologie didattiche innovative attraverso l'uso delle Tecnologie per l'Informazione e la Comunicazione Autori Antonella Colantoni Istituto Magistrale “I. Gonzaga” Chieti Piero Carozza Istituto Magistrale “I. Gonzaga” Chieti Tutor: Antonella Pellegrini