EQUAZIONI E PROBLEMI DI 1° GRADO Ideata da: Filardo Pietro, Gentile Giacomo e Sciortino Andrea Percorso docente Percorso studente

INTRODUZIONE INTRODUZIONE Gli argomenti presentati in questo modulo costituiscono un ampio corpo centrale di un itinerario didattico riferito all’algebra. Questo percorso ha una sua specificità ed organicità, in un progetto curricolare variamente articolato, quale può essere quello che scaturisce dai programmi di matematica per il biennio. La trattazione della teoria delle equazioni di 1° grado deve seguire quella degli insiemi numerici, del calcolo letterale, delle nozioni di base sugli insiemi e sulle relazioni, il piano cartesiano, la funzione lineare, mentre per quanto riguarda i problemi è richiesta la conoscenza di argomenti che trattano la geometria razionale. L’obiettivo fondamentale di questo modulo, comunque, è quello di trasmettere le abilità necessarie per risolvere equazioni e problemi di 1° grado, i quali sono spesso un modello algebrico di problemi reali. Abbiamo scelto di affrontare la ricerca delle soluzioni dell’equazioni di 1° grado utilizzando un processo mentale costruito passo per passo sulla base dell’analisi dei dati elaborati, nel tentativo di indurre gli studenti a sfruttare le conoscenze che hanno acquisito in precedenza. Contemporaneamente si procede all’interpretazione geometrica delle equazioni di 1° grado utilizzando la retta. Inoltre i problemi proposti saranno di varie tipologie: concreti, ideali, a carattere geometrico e algebrico e saranno proposti in ordine di difficoltà. I primi problemi saranno molto semplici, tanto che potranno essere risolti anche "a mente" o per tentativi. Aumentando via via la difficoltà dei problemi, l'idea è quella di mettere gli studenti in condizione di non potersi più servire dei suddetti metodi risolutori ("a mente" e per tentativi) e di guidarli verso una risoluzione algebrica che grafica. In questo tipo di attività l’insegnante assume un ruolo di conduttore e di moderatore nel caso in cui si generino delle discussioni tra gli studenti.

INTRODUZIONE In generale, un’equazione nasce dalla formulazione di un problema nel quale figura una quantità sconosciuta. L’equazione non fa altro che tradurla in termini algebrici e la sua risoluzione consente di trovare il valore di quella quantità, detta anche incognita. “Marco ha una quantità di euro nel portafoglio tale che moltiplicandola per tre e sottraendo nove dà come risultato quindici. Quanti soldi ha Marco?” Chiamando x gli euro che Marco ha nel portafoglio, l’enunciato di questo problema diventa: 3x-9=15 Questo webquest ti permetterà di rispondere a questo quesito e a risolvere tanti tipi di problemi, fornendoti le conoscenze e le competenze necessarie per affrontare e risolvere sia algebricamente che graficamente l'equazioni di primo grado. L'equazioni di primo grado costituiscono uno degli argomenti di algebra più importanti del tuo percorso di studi. Buona lettura e buon lavoro. Ricorda che per affrontare correttamente l’argomento devi prima aver studiato: I numeri interi relativi I numeri razionali Calcolo letterale Il piano cartesiano

COMPITI Dal problema all’equazione Individua alcuni problemi aventi come modello algebrico un’equazione di 1° grado. Caratteristiche dell’equazione di 1° grado Classifica le equazioni di 1° grado al variare dei coefficienti a e b. Studia le relative soluzioni nei vari casi. Come risolvere un’equazione di 1° grado a. metodo algebrico b. metodo grafico Applicazione dell’equazione di 1° grado alla risoluzione di problemi Relazioni tra coefficienti e soluzioni Problema 1 Scrivere l’equazione che ha come soluzione un intero positivo. Problema 2 Scrivere l’equazione che ha come soluzione un intero negativo. Problema 3 Scrivere l’equazione che ha come soluzione un numero razionale.

PROCEDIMENTO Fase 1 (ore 0,5) La classe si divide in tre gruppi Fase 2  (ore 1,5) I capigruppo prendono visione del webquest in modo da organizzare la divisione dei ruoli dei loro compagni all’interno di ogni gruppo Fase 3 (ore 6) Lavoro nei gruppi I gruppo individua alcuni problemi aventi come modello algebrico un’equazione di 1° grado. Raccoglie informazioni riguardanti le equazioni di 1° grado e la loro classificazione in relazione ai coefficienti; II gruppo studia il metodo di risoluzione algebrico delle equazioni di 1° grado; III gruppo studia il metodo di risoluzione grafica delle equazioni di 1° grado; Fase 4 ( ore 3) I componenti del gruppo si riuniscono ed illustrano ai compagni i risultati delle loro ricerche. Confronto dei vari metodi risolutivi e scelta motivata di uno tra i metodi studiati per la risoluzione delle equazioni. Fase 5 (ore 4) Esposizione delle attività del gruppo all’intera classe mediante la smart board; Tutti i componenti del gruppo saranno coinvolti nell’esposizione del lavoro svolto.

Fase 6  (ore 6) Ogni componente del gruppo risolve indipendentemente le equazioni proposte; usa per ogni equazione un metodo differente ed indica il metodo scelto. Risolve inoltre i problemi proposti dai vari gruppi. Dopo avere risolto le equazioni, ogni elemento del gruppo paragona la sua risoluzione con quella dei compagni. Se le soluzioni a cui siete pervenuti non sono uguali riguardate i metodi scelti, i procedimenti seguiti e scegliete la soluzione che ritenete corretta. Giustificare i motivi per la scelta del metodo che avete usato per risolvere le equazioni.  Usando le conoscenze recentemente acquisite, siete ora in grado di risolvere problemi di primo grado ad una incognita? Fase 7 ( ore 6) Ogni componente del gruppo risolve indipendentemente i problemi proposti dall’insegnante. Si confrontano le soluzioni trovate. Fase 8 (ore 3) Esposizione delle attività del gruppo all’intera classe mediante la smart board;

Un problema di geometria APPROFONDIMENTO 1 Un problema di geometria

APPROFONDIMENTO 2 Interpretazione geometrica della soluzione di un’equazione di primo grado

LINKS E RISORSE Usare i seguenti collegamenti per la vostra ricerca: I numeri interi relativi I numeri razionali Appunti sui monomi Appunti sui polinomi Il piano cartesiano Teoria sulle equazioni di primo grado   Risoluzione algebrica in Excel  Risoluzione grafica in GeoGebra  Risoluzione grafica in Excel                              Esercizi svolti sulle equazioni di primo grado Esercizi sulle equazioni di primo grado Esercizi sulle equazioni di primo grado con frazioni Test sulle equazioni di primo grado Problemi di primo grado ad una incognita Una poesia che diventa equazione Cenni storici 1 (Equazioni di primo grado di Diofanto) Cenni storici 2 (Equazioni di primo grado di Tartaglia e di Bombelli)

VALUTAZIONE Punteggio totale ___________/80 Valutazione ___________/10 Grado di sicurezza nel calcolo Fa tanti errori di calcolo Fa qualche errore di calcolo Esegue esattamente i calcoli O-4 Obiettivo non raggiunto 5-6 Obiettivo parzialmente raggiunto 7-10 Obiettivo raggiunto Chiarezza grafica Scrive e impagina in modo disordinato Un po’ disordinata Ordinata Proprietà di linguaggio Non usa il linguaggio appropriato E’ incerto nell’uso dei termini specifici Usa bene il linguaggio matematico Quantità del lavoro svolto Non svolge nulla del lavoro assegnato Esegue parzialmente quanto richiesto Esegue tutto il lavoro assegnato Qualità del lavoro svolto Difficoltà ad interpretare il testo e impostare il lavoro Non sempre riesce ad essere autonomo Imposta correttamente il lavoro Lavoro di gruppo Non collabora e disturba i compagni Vuole imporsi e non sempre accetta le proposte degli altri Il suo apporto è costruttivo Impegno personale Non lavora mai da solo Saltuario Costante Ragionamento Non è in grado di giustificare i procedimenti Sa giustificare i procedimenti, ma deve essere guidato Sa spiegare in modo logico le proprie scelte

CONCLUSIONE CERTIFICAZIONI DELLE MINIME COMPETENZE   Al termine dell’unità didattica lo studente deve: Saper classificare le equazioni di primo grado. Saper risolvere le equazioni di primo grado con il metodo algebrico. Saper risolvere le equazioni di primo grado con il metodo grafico. Interpretare la retta come rappresentazione di una funzione di 1° grado. Saper applicare le equazioni di primo grado alla risoluzione di problemi.

Esercizi proposti Risolvi le seguenti equazioni: Ritorna alla pagina precedente

Problemi proposti Problema 1 Trovare un numero che sommato alla sua metà e alla sua terza parte dia 55. Problema 2 Trovare tre numeri consecutivi sapendo che la loro somma è 39. Problema 3 Di quanto deve diminuire il numero 1,5 per ottenere il suo reciproco? Problema 4 Qual è il numero il cui quadruplo supera di 14 i suoi 5/3? Problema 5 Trovare un numero tale che la somma della sua quarta parte con i suoi 5/2 sia 110. Ritorna alla pagina precedente