Progetto DigiScuola Corso di formazione Gruppo Matematica Autori: Assunta Ferracane – Anna Lacava con il contributo di due alunni Titolo Scomposizione di polinomi

Perché scomporre i polinomi? E’ bene che chi studia l’algebra non senta mai parlare di decomposizione in fattori e, tranne alcuni casi semplici, ignori tutti gli altri? Che non si eserciti affatto sulle scomposizioni in fattori? Non è facile rispondere a queste domande. E’ raro però che i calcoli algebrici usino un solo tipo di procedimento. Nel bel mezzo di un ragionamento può capitare un passaggio che richiede una qualche conoscenza delle decomposizioni in fattori e generare difficoltà per chi non ne conosca la tecnica. [ W.W. Sawyer – Guida all’insegnamento della Matematica – Boringhieri]

Perché scomporre i polinomi? Vediamo con degli esempi le ragioni che consigliano di apprendere la scomposizione in fattori.

Primo esempio Le due espressioni: A: (n+1)(n+2)(n+3) e B: n3 + 6n2 + 11n + 6 Hanno lo stesso significato: si passa dalla prima alla seconda svolgendo i prodotti. Si passa dalla seconda alla prima decomponendo in fattori. Per quale motivo dovremmo desiderare la forma decomposta? Un motivo è che tale forma spesso facilita i calcoli. Ad esempio, se ad n diamo il valore 8 : In A otteniamo 9*10*11 che si vede facilmente essere 990 In B otteniamo ancora 990 ma con un sensibile aumento di lavoro.

Secondo esempio Eseguiamo i calcoli: 2*2 - 1*3 = 3*3 - 2*4 = 4*4 - 3*5 = ……….. o, in generale x*x - (x-1)(x+1) = In ogni caso troviamo 1 Riscriviamo il tutto nell’altra forma 2*2 – 1 = 1*3 3*3 – 1 = 2*4 4*4 – 1 = 3*5 …………….. o, in generale x*x – 1 = (x-1)(x+1) o x2 - 1 = (x -1)(x +1)

Secondo esempio Abbiamo ottenuto x2 - 1 = (x -1)(x +1) In modo analogo si ricava x2 - 4= (x -2)(x +2) x2 - 9 = (x -3)(x +3) ………………… A cosa serve tutto ciò? Il prodotto 29*31 è più semplice se eseguito come 302 – 1 = 900 – 1 = 899 E 182 ? Da 182 – 4 = 16*20 si ottiene facilmente 182 = 320 + 4 = 324 E non solo ! guardiamo gli altri esempi

Terzo esempio Se indichiamo con A l’area di un triangolo di lati a, b, c esiste una formula che consente di calcolare l’area in funzione dei lati. La formula può essere scritta nei due modi equivalenti: 16A2 = 2b2c2 + 2c2a2 + 2a2b2 – a4 – b4 – c4 16A2 = (a + b + c) (b + c – a)(a + c – b)(a + b –c) La forma decomposta è senz’altro più facilmente calcolabile. Inoltre vediamo che uno dei fattori è (a + b – c): cosa succede c = a + b? Tale fattore sarà nullo e quindi l’area del triangolo, usando tale forma, sarà nulla, in accordo col fatto che il triangolo in tal caso non esiste.

Quarto esempio Dato il polinomio P(n) = n3 + 6n2 + 11n + 6 quanto vale per n = - 3 ? E’ sicuramente piu’ semplice dirlo se ricordiamo la forma decomposta del polinomio, come visto nel primo esempio, P(n) = (n+1)(n+2)(n+3) Sostituendo in tale forma si ottiene facilmente zero, questo implica, come sappiamo, che il polinomio è divisibile per (n +3). Viceversa si può dire che affinché un polinomio P(n) sia divisibile per (n + 3) è necessario che nella forma scomposta di P(n) compaia tra i fattori proprio (n + 3).

Ancora di più Sappiamo che quando un polinomio non è divisibile per un altro polinomio si genera una frazione algebrica. Sorge allora il problema di eseguirne le operazioni. Si può operare così come si faceva con le frazioni numeriche? Quando si sommano tali frazioni si cerca il m.c.m. dei denominatori (….prodotto dei fattori ……dei denominatori, scomposti in fattori primi, presi una sola volta …..) e quando si semplifica una frazione si cerca il M.C.D. tra numeratore e denominatore (prodotto dei fattori……del numeratore e del ….. , scomposti in fattori Primi, presi una sola volta……). Se vogliamo eseguire le operazioni tra frazioni algebriche così come tra frazioni numeriche dobbiamo trovare anche qui il m.c.m. e il M.C.D., cioè dobbiamo scomporre i polinomi in fattori primi.

Conclusioni Appare evidente ora la necessità di imparare a scomporre i polinomi. E’ importante capire che scomporre un polinomio significa scriverlo come prodotto di altri polinomi di grado più piccolo: in definitiva si tratta di trasformare una somma di monomi in un prodotto di monomi e polinomi. Tuttavia la scomposizione non è sempre possibile e non ci sono regole generali ma vari metodi, basati sulle proprietà delle operazioni e sulle regole dei prodotti notevoli. E’ opportuno esaminare attentamente il polinomio da scomporre per valutare: L’esistenza di fattori comuni a tutti i monomi Il numero di termini del polinomio stesso.

Schema Volendo dare una schematizzazione sommaria possiamo farlo in questo modo: Raccoglimento a fattor comune B I N O M T R Q U A D PO LI NO MI CON 5 TER NI 6 PIU’ DI 6 RE GO LA DI RUF FI Artifici di scomposizione R a c c o l t a d i e s e r c i z i

Racccoglimento a fattor comune Quando tutti i termini di un polinomio hanno un divisore comune, questo può essere messo in evidenza. In generale si cerca di prendere come fattore comune il M.C.D. fra i termini in modo da mettere in evidenza tutto ciò che è possibile. In questo modo si esegue na scomposizione del polinomio perché lo si scrive come prodotto di due fattori. Es. ax + ay + az = a(x + y + z) Es. 15 x2y – 9xy2 + 3xy = 3xy(5x – 3y + 1) Es. x(a+b) - 2a(a+b) +3y(a+b) = (a+b)(x – 2a + 3y) ritorna

Binomi N.B. Le scomposizioni evidenziate in rosso sono quelle più frequenti. differenza di due quadrati A2 – B2 = (A-B)(A+B) somma di due quadrati A2 + B2 : è indecomponibile differenza di due cubi A3 – B3 = (A-B)(A2+AB+B2) somma di due cubi A3 + B3 = (A+B)(A2-AB+B2) differenza di due potenze pari ( come differenza di due quadrati): es. A4-B4 = (A2)2-(B2)2=….; A6-B6 = (A3)2- (B3)2 =…; A8-B8 = (A4)2-(B4)2 somma di due potenze pari (si può scomporre se l’esponente è multiplo di un numero dispari) es. A6+B6 = (A2)3 + (B2)3 =….; A10 + B10 = (A2)5 + (B2)5 =….; etc differenza di due potenze dispari (è sempre divisibile per la differenza delle basi) es. A5 – B5 = (A-B)( A4+A3 B+…..); A7 – B7 = (A-B)( A6+A5 B+…..); etc. somma di due potenze dispari (è sempre divisibile per la somma delle basi ) es. A5 + B5 = (A+B)( A4- A3 B+...); A7 + B7 = (A + B)( A6-A5 B+…..); etc. ritorna

Differenza di due quadrati Se un binomio è costituito dalla differenza di due monomi, o di due espressioni, che sono dei quadrati, per scomporlo basta individuare le basi dei due quadrati ed indicare il prodotto della loro somma per la loro differenza. Es. x2 – 4y2 Es. 25x4 – 16y6 Basi: (x) (2y) (5x2) (4y3) Quindi x2 – 4y2 = (x + 2y)(x – 2y) 25x4 – 16y6 = (5x2 + 4y3)(5x2 - 4y3) ritorna

Differenza di due cubi 1 -8 2 4 8 ritorna La differenza di due cubi è sempre divisibile per la differenza delle basi. Dividendo, ad es. con la regola di Ruffini, si calcola il quoziente, ed allora la scomposizione si ottiene dalla regola Dividendo = Divisore * Quoziente Es. x3 - 8 Coefficienti dividendo 1 -8 Divisore: x-2 2 4 8 Coefficienti quoziente Quindi x3 – 8 = (x - 2)(x2 + 2x + 4) E la regola che ne deriva: La differenza di due cubi si scompone nel prodotto tra la differenza delle basi ed il trinomio formato dal quadrato della prima base, dal prodotto delle due basi cambiato di segno e dal quadrato della seconda base. ritorna

Somma di due cubi 1 +8 - 2 -2 4 -8 ritorna La somma di due cubi è sempre divisibile per la somma delle basi. Dividendo, ad es. con la regola di Ruffini, si calcola il quoziente, ed allora la scomposizione si ottiene dalla regola Dividendo = Divisore * Quoziente Es. x3 + 8 Coefficienti dividendo 1 +8 Divisore: x+2 - 2 -2 4 -8 Coefficienti quoziente Quindi x3 + 8 = (x + 2)(x2 - 2x + 4) E la regola che ne deriva: La somma di due cubi si scompone nel prodotto tra la somma delle basi ed il trinomio formato dal quadrato della prima base, dal prodotto delle due basi cambiato di segno e dal quadrato della seconda base. ritorna

Trinomi N.B. Le scomposizioni evidenziate in rosso sono quelle più frequenti. sviluppo del quadrato di un binomio : A2±2AB+B2 = (A±B) 2 trinomio particolare di secondo grado: b1) primo tipo x2 + sx + p = (x +a )( x+b ) dove s = a+b e p= ab ; es. x2 – 5x +6 = ( x-2 )( x-3 ) infatti è -5 =-2-3 e +6 = (-2)(-3) b2) secondo tipo p x2 + sx + 1 = (ax+1)(bx+1) dove s = a+b e p= ab , es. 6x2 + 5x +1 = (2x+1)(3x+1) b3) terzo tipo: trinomio scomponibile con artificio: ax2 +bx + c dove b = m+n e ac=mn. Il polinomio si scrive a x2 +mx + nx +c quindi si applica il raccoglimento parziale. Es 3 x2 -7x +4 = 3 x2 -3x -4x+4= 3x(x-1) -4(x-1) = (x-1)(3x-4); 6x2+11x+3=6x2+9x+2x+3=3x(2x+3)+(2x+3)=(2x+3)(3x+1). trinomio scomponibile mediante artificio: A4+ A2 B2+B4 = A4+ A2 B2+B4+ A2 B2- A2 B2 = A4+ 2A2 B2+B4- A2 B2 = (A2 + B2 )2 – (AB)2 =….. ritorna

Quadrato di un binomio Sappiamo che il quadrato di un binomio è dato dalla formula (A±B) 2 = A2±2AB+B2 Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza avremo A2±2AB+B2 = (A±B) 2 Perciò la regola: Un trinomio formato dalla somma dei quadrati di due monomi e dalla somma ( o differenza ) del loro doppio prodotto è uguale al quadrato della somma algebrica dei due monomi. Es. 4x2 – 12xy + 9y2 = basi: (2x) (3y) Quindi 4x2 – 12xy + 9y2 = (2x – 3y)2 ritorna

Trinomio particolare 1 ritorna Un polinomio di tre termini ordinato secondo le potenze di una certa lettera che ha: Grado due rispetto a quella lettera Coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1 Coefficiente del termine di primo grado che può essere espresso come somma di due numeri a e b Termine noto uguale al prodotto degli stessi numeri a e b quindi del tipo: x2 + (a+b)x + ab si scompone come (x + a)(x + b) Infatti è x2 + (a+b)x + ab = x2 + ax + bx + ab = x(x+a) + b(x+a) = (x + a)(x + b) Es. x2 – 5x +6 = ( x-2 )( x-3 ) A volte i due numeri a e b sono due monomi come nel seguente esempio: Es. x2 - 7bx +10 b2 = (x -5b)(x- 2b) A volte l’incognita può essere un monomio come nell’esempio: Es. a2 b2 + 3ab – 10 = (ab -2)(ab + 5) A volte il trinomio può essere di grado maggiore come nell’esempio: Es. x4– 5x2 - 24 = (x2-8 )(x2+3 ) ritorna

Quadrinomi N.B. Le scomposizioni evidenziate in rosso sono quelle più frequenti. sviluppo del cubo di un binomio: A3 ± 3A2B +3AB2 ± B3 = (A ± B)3 raccoglimento parziale o a gruppi differenza tra il quadrato di un binomio e il quadrato di un monomio e viceversa es. A2 ± 2AB+B2 – C2 = (A±B)2 – C2 =……… opppure A2-B2 ± 2BC – C2 = A2 – ( B2 – 2BC +C2) = A2 – (B – C)2….. ritorna

Cubo di un binomio ritorna Sappiamo che il cubo di un binomio è dato dalla formula (A±B) 3 = A3 ± 3A2B +3AB2 ± B3 Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza avremo A3 ± 3A2B +3AB2 ± B3 = (A±B) 3 Perciò la regola: Un polinomio formato da quattro termini di cui due sono dei cubi può essere lo sviluppo del cubo di un binomio se gli altri due termini sono i tripli prodotti, rispettivamente del quadrato di ognuna delle due basi per l’altra. Es. x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3 basi: (x) (-2y) Quindi x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3 = (x – 2y)3 ritorna

Raccoglimento parziale A volte non è possibile eseguire un raccoglimento a fattor comune perché non c’è un divisore comune a tutti i monomi. In alcuni casi, però, ci si può ricondurre a una situazione di questo tipo eseguendo prima dei raccoglimenti con gruppi di monomi. Es. 2a + 2b + ax + bx I primi due monomi hanno in comune 2 che si può mettere in evidenza, mentre gli altri due hanno in comune a, per cui 2(a + b) + x(a + b) E poiché le due parentesi sono uguali, tale espressione si può mettere in evidenza, raccogliendo a fattor comune (a + b)(2 + x) In definitiva 2a + 2b + ax + bx = 2(a + b) + x(a + b) = (a + b)(2 + x) ritorna

Polinomi con 5 termini somma o differenza tra il cubo di un binomio e il cubo di un monomio e viceversa, es. A3 + 3A2B +3AB2 + B3 – C3 = (A + B)3 –C3 =……, A3 + B3 -3B2C +3BC2 –C3 = A3 + ( B – C)3 =….. etc. casi particolari: b1) A2 ± 2AB +B2 + 2A ± 2B = (A± B)2 +2(A±B) =………; b2) x2 +5x + 6 + 5x + 10 = (x+2)(x+3) +5(x+2) = (x+2)(x+3+5) = (x+2)(x + 8); etc. ritorna

Polinomi con 6 termini sviluppo del quadrato di un trinomio: A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC = (A+B+C)2; raccoglimento parziale o a gruppi; diff. tra i quadrati di 2 binomi: A2 +2AB+B2 - C2+2CD - D2= (A+B)2-(C-D)2=… casi particolari: A3+3A2B+3AB2+B3+CA+CB=(A+B)3+C(A+B)= (A+B)[(A+B)2+C]; etc . ritorna

Quadrato di un trinomio Sappiamo che il quadrato di un trinomio è dato dalla formula (A+B+C)2 = A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza avremo A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC = (A+B+C)2 Perciò la regola: Un polinomio formato da 6 termini di cui tre sono dei quadrati rappresenta il quadrato di un trinomio se gli altri tre termini sono i doppi prodotti di una base per ognuna delle altre due. Es. 4x2 – 12xy + 9y2 - 4xz + z2 + 6yz = basi: (2x) (3y) (z) Quindi 4x2 – 12xy + 9y2 - 4xz + z2 + 6yz = (2x – 3y – z)2 ritorna

Polinomi con più di 6 termini CON RAGIONAMENTI analoghi ai casi particolari esaminati per polinomi con 4, 5, 6 termini, si potrebbero scomporre polinomi con un numero di termini maggiore. ritorna

Regola di Ruffini ritorna Con l’uso del criterio di divisibilità di P(x) per (x-a) e con l’applicazione della regola di Ruffini, a volte è possibile decomporre un polinomio in fattori di cui almeno uno di primo grado. Regola 1: dato un polinomio P(x) a coefficienti interi le eventuali radici intere del polinomio, cioè i valori da attribuire ad a in (x-a), sono da ricercarsi tra i divisori, positivi o negativi, del suo termine noto Es. x3 – 8 i divisori di 8 sono ±1, ±2, ±4, ±8 Dando ad a il valore 2 si ha P(2) = 0 quindi x3 – 8 è divisibile per (x-2) E dividendo con la regola di Ruffini si ottiene la scomposizione x3 – 8 = (x - 2)(x2 + 2x + 4) Regola 2: dato un polinomio P(x) a coefficienti interi, le eventuali radici razionali del polinomio vanno da ricercarsi tra le frazioni aventi per numeratore un divisore, positivo o negativo, del termine noto e per denominatore un divisore, positivo o negativo, del coefficiente di grado massimo( primo coefficiente del polinomio supposto ordinato in senso decrescente) Es. 6x2 + x – 1 i divisori di -1 sono ±1 i divisori di 6 sono ±1, ±2, ±3, ±6, quindi le frazioni possibili sono ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6 Dando ad a il valore -1/2 si ha P(-1/2) = 0 quindi 6x2 + x – 1 è divisibile per (x+1/2) 6x2 + x – 1 = (x+1/2)(6x-2) = 2(3x-1) (x+1/2) = (3x-1)[2 (x+1/2)] = (3x-1)(2x+1) ritorna

Artifici di scomposizione ALCUNI ARTIFICI DI SCOMPOSIZIONE a4 + ¼= a4 + ¼ + a2 - a2 = ………… a4 + 4 b4 = a4 + 4 b4 + 4A2 B2- 4A2 B2 = (a2 + 2b2)2 – (2ab)2 = (a2+2b2-2ab) (a2+2b2+2ab) 6x2+7x-3 = 6x2 +9x -2x -3 = 3x(2x+3)-(2x+3) = (2x+3)(3x-1) 8x2 -6x -9 = 8x2 -12x+6x -9 = 4x(2x-3)+3(2x-3) = (2x-3)(4x+3) 4x2 +4xy -8y2 = 4x2 +4xy + y2-9y2 = (2x+y)2 – (3y)2 = (2x+y-3y)(2x+y+3y) = (2x-2y)(2x+4y)=4(x-y)(x+2y) 9x2-12xy-12y2=9x2-12xy +4y2 -16y2 =(3x-2y)2-(4y)2 =(3x-2y-4y)(3x-2y+4y)=(3x-6y)(3x+2y)=3(x-2y)(3x+2y) x3-9x2+27x-35= x3-9x2+27x-27-8=(x-3)3-23=(x-3-2)(x2-6x+9+2x-6+4)=(x-5)(x2-4x+7) o con Ruffini x4+4x2+16=x4+8x2-4x2+16=(x2+4)2-(2x)2=(x2+4-2x)(x2+4+2x) 2a5-4a4-2a3+4a2+2a=2a(a4-2a3-a2+2a+1)= 2a(a4-2a3+a2 -2a2+2a+1)=2a(a2-a-1)2 ritorna

Esempi Esercizio n. 1 Esercizio n. 2 Esercizio n. 3 Esercizio n. 4 ritorna

Scegli la risposta giusta fra le quattro Esercizio n. 1 75ax2 + 25ay2 – 100ax2y2 = Scegli la risposta giusta fra le quattro 5a(15x2 + 5y2 – 20x2y2) 25a(3x2 + y2 – 4x2y2) 3x2 + y2 – 4x2y2 Nessuna delle risposte precedenti è giusta

Scegli la risposta giusta fra le quattro Esercizio n. 2 a 6 –2a 3 b5+ b10 = Scegli la risposta giusta fra le quattro Nessuna delle risposte precedenti è giusta (a3 + b5) (a3 – b5) (a3 + b5) 2 (a3 – b5) 2

Scegli la risposta giusta fra le quattro Esercizio n. 3 4x2 + y 2 +z 2 + 4x y+2y z+4x z = Scegli la risposta giusta fra le quattro (2x+y+z) 2 Nessuna delle risposte precedenti è giusta (2x –y+z)(2x+y+z) (2x+y–z) (2x – y–z)

Scegli la risposta giusta fra le quattro Esercizio n. 4 (a –2b) 2 – (2a –b) 2 = Scegli la risposta giusta fra le quattro 3(a+b)(a –b) –3(a+b)(a –b) 3ab(a+b)(a –b) Nessuna delle risposte precedenti è giusta

Scegli la risposta giusta fra le quattro Esercizio n. 5 x3 + 6ax 2 +12a 2x + 8a3= Scegli la risposta giusta fra le quattro (x –2a) 3 (x+a) 3 (x+2a)(x –2a)(x – 2a) Nessuna delle risposte precedenti è giusta

Scegli la risposta giusta fra le quattro Esercizio n. 6 a 6– b3 = Scegli la risposta giusta fra le quattro (a2+b)(a4+a2b+b2) (a2+b)(a4+a2b–b2) (a2+b)(a2+a2b+b2) Nessuna delle risposte precedenti è giusta

Scegli la risposta giusta fra le quattro Esercizio n. 7 x2– 9x+8= Scegli la risposta giusta fra le quattro (x+8)(x – 1) (x+8)(x +1) (x – 8)(x – 1) Nessuna delle risposte precedenti è giusta

Scegli la risposta giusta fra le quattro Esercizio n. 8 a 2+4a+4 –x 2= Scegli la risposta giusta fra le quattro (a+2+x)( a+2+x) (a+2+x)( a+2–x) (a+2–x)( a+2–x) Nessuna delle risposte precedenti è giusta

Scegli la risposta giusta fra le quattro Esercizio n. 9 ax +2bx+3ay+6by= Scegli la risposta giusta fra le quattro (a+2b)(x–3y) (a+2b)(x+3y) (a+2b)(x+y) Nessuna delle risposte precedenti è giusta

Scegli la risposta giusta fra le quattro Esercizio n. 10 x 8 –y 8 = Scegli la risposta giusta fra le quattro (x4+y4)(x2+y2)(x+y)(x –y) (x4 – y4)(x2 – y2)(x+y)(x –y) (x4 – y4)(x2+y2)(x+y)(x –y) Nessuna delle risposte precedenti è giusta

Esatto molto bene! ritorna

Mi dispiace non è la risposta esatta Sbagliato Mi dispiace non è la risposta esatta Ma puoi riprovare! Premi il numero dell’esercizio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10