Ideata da: Adamo Fabrizio, D’Antone Paola, Popolano Mirella EQUAZIONI DI 2° GRADO Ideata da: Adamo Fabrizio, D’Antone Paola, Popolano Mirella Percorso docente Percorso studente

INTRODUZIONE Gli argomenti presentati in questa unità didattica costituiscono un ampio corpo centrale di un itinerario didattico riferito all’algebra. Questo itinerario ha una sua specificità ed organicità, ma in un progetto curricolare variamente articolato, quale può essere quello che scaturisce dai programmi di matematica per il biennio, sono possibili diverse ipotesi di lavoro. La trattazione della teoria delle equazioni di 2° grado deve, ovviamente, seguire quella delle equazioni di 1° grado, numeri reali, radicali, mentre per quanto riguarda i problemi è richiesta la conoscenza di argomenti che trattano geometria razionale fino alla equiestensione ed alla similitudine. L’obiettivo fondamentale di questa unità didattica, comunque, è quello di trasmettere le abilità necessarie per risolvere equazioni di 2° grado, le quali, come gli alunni hanno già constatato in precedenza, sono spesso un modello algebrico di problemi reali. Abbiamo scelto di affrontare la ricerca delle soluzioni de equazioni di 2° grado utilizzando un approccio euristico-procedurale “per tentativi” cercando di indurre gli studenti a sfruttare le conoscenze che hanno acquisito in precedenza. In particolare quando si inizia a studiare le equazioni di 2° grado complete, si prendono in esame alcune equazioni in cui compaiono trinomi riconducibili al quadrato di un binomio, in modo tale da sfruttare le conoscenze di cui gli studenti sono già in possesso per risolverle. Il passaggio successivo è quello di proporre equazioni che non contengano quadrati di binomi, ma facilmente riconducibili ad essi. In questo modo gli studenti comprendono che per risolvere un’equazione si può tentare di operare un “completamento al quadrato”, cosicchè si può presentare la formula risolutiva come soluzione dell’equazione generale ax +bx+c=0 ottenuta “completando al quadrato” il trinomio. Contemporaneamente si procede all’interpretazione geometrica delle equazioni di 2° grado utilizzando la parabola. Inoltre la risoluzione di problemi che hanno per modello algebrico un’ equazioni di 2° grado porta ad analizzare radici quadrate che non hanno soluzioni in R. Si presenta quindi l’occasione per introdurre numeri complessi. In questo ambito è opportuno far notare agli studenti che la risolvibilità di un’equazione dipende dal dominio che il problema impone. Alla fine dell’unità didattica vengono messi in luce legami tra i coefficienti dell’equazione di 2° grado e le sue soluzioni allo scopo di giungere alla scomposizione in fattori del trinomio di 2° grado e di risolvere equazioni che contengono parametri.

INTRODUZIONE Studiando le equazioni di primo grado avrai visto che basta applicare i principi di equivalenza per trasformare una qualsiasi equazione di primo grado in una equivalente della forma da cui si ottiene la soluzione Supponi ora di dover trovare quel numero il cui quadrato sommato al suo doppio sia uguale a 63. Indicato con x il numero cercato, il problema ci conduce a trovare la radice dell'equazione x2+2x=63 Poiché l'incognita compare con esponente massimo uguale a 2, si tratta di  risolvere una equazione di secondo grado. Noterai da solo che i principi di equivalenza in questo caso non ti aiutano… e allora che fare? Questo webquest ti permetterà di rispondere a questo quesito, fornendoti le conoscenze necessarie per affrontare e risolvere in vari modi le equazioni di secondo grado. Alcuni di questi metodi potranno essere utilizzati sempre, altri solo per risolvere particolari tipi di equazioni. Studiali tutti con attenzione e scegli poi quello o quelli che preferisci in relazione anche al tipo di equazione da studiare. Ricorda che le equazioni di secondo grado costituiscono uno degli argomenti di algebra più importanti del secondo anno. Le incontrerai anche nella chimica, nella fisica ed in molte altre discipline del tuo corso di studi. Buona lettura e buon lavoro Ricorda che per affrontare correttamente l’argomento devi prima aver studiato: le equazioni di primo grado; i radicali; i metodi di scomposizione;

COMPITI Dal problema all’equazione Individua alcuni problemi aventi come modello algebrico un’equazione di 2° grado. Caratteristiche dell’equazione di 2° grado Classifica le equazioni di 2° grado a seconda che i coefficienti b, c siano nulli, uno o entrambi, oppure entrambi non nulli. Cosa puoi affermare sulle relative soluzioni nei vari casi ? Come risolvere un’equazione di 2° grado a. metodo algebrico b. metodo grafico Applicazione dell’equazione di 2° grado alla risoluzione di problemi Relazioni tra coefficienti e soluzioni a. relazione di somma b. relazione di prodotto Problema 1 Scrivere l’equazione che ha come soluzione due numeri reali Problema 2 Trovare due numeri reali conoscendone la loro somma e il loro prodotto Problema 3 Scomporre in fattori un trinomio di 2° grado Regola di Cartesio

PROCEDIMENTO Fase 1  (ore 0,5) La classe si divide in gruppi di 6/7 alunni Fase 2  (ore 0,5) I capigruppo prendono visione del webquest in modo da organizzare la divisione dei ruoli dei loro compagni all’interno di ogni gruppo Fase 3 (ore 3) Lavoro nei sottogruppi ( due alunni per gruppo) I sottogruppo individua alcuni problemi aventi come modello algebrico un’equazione di 2° grado Raccoglie informazioni riguardanti le equazioni di 2° grado e la loro classificazione in relazione ai coefficienti; studia i metodi di risoluzione delle equazioni mediante fattorizzazione; II sottogruppo studia i metodi di risoluzione grafica delle equazioni di 2° grado; III sottogruppo studia il metodo di risoluzione mediante completamento del quadrato; studia inoltre la formula risolutiva delle equazioni di 2° grado Fase 4 ( ore 2) I componenti del gruppo si riuniscono ed illustrano ai compagni i risultati delle loro ricerche. Confronto dei vari metodi risolutivi e scelta motivata di uno tra i metodi studiati per la risoluzione delle equazioni. Fase 5 (ore 2) Esposizione delle attività del gruppo all’intera classe mediante la smart board; Tutti i componenti del gruppo saranno coinvolti nell’esposizione del lavoro svolto.

Fase 6  (ore 2) Ogni componente del gruppo risolve indipendentemente le equazioni proposte; usa per ogni equazione un metodo differente ed indica il metodo scelto. Risolve inoltre i problemi proposti dai vari gruppi. Dopo avere risolto le equazioni, ogni elemento del gruppo paragona la sua risoluzione con quella dei compagni. Se le soluzioni a cui siete pervenuti non sono uguali riguardate i metodi scelti, i procedimenti seguiti e scegliete la soluzione che ritenete corretta. Giustificare i motivi per la scelta del metodo che avete usato per risolvere le equazioni.  Usando le conoscenze recentemente acquisite, siete ora in grado di affrontare l’ultima parte dei compiti. Osservate le soluzioni trovate per le equazioni studiate, riuscite a trovare un legame tra la somma e il prodotto delle soluzioni e i coefficienti dell’equazione? Fase 7 (ore 2) Lavoro nei sottogruppi (tre alunni per gruppo) I sottogruppo raccoglie informazioni riguardanti le relazione tra i coefficienti e la somma e il prodotto delle soluzioni e come scomporre un trinomio di secondo grado. II sottogruppo studia la regola di Cartesio; Fase 8 ( ore 2) I componenti del gruppo si riuniscono ed illustrano ai compagni i risultati delle loro ricerche. Ogni componente del gruppo risolve indipendentemente i problemi proposti dall’insegnante. Confrontate le soluzioni trovate. Fase 9 (ore 2) Esposizione delle attività del gruppo all’intera classe mediante la smart board;

APPROFONDIMENTI Sezione aurea: Dividiamo un segmento in due parti tali che la maggiore sia media proporzionale fra l’intero segmento e la parte rimanente. La parte maggiore è la sezione aurea del segmento dato. Riesci a costruire una equazione per determinare tale parte ? Clicca sul disegno per la costruzione geometrica della sezione aurea di un segmento. Il modulo della sezione aurea fu utilizzato a partire dalle piramidi di Gizah. Il rapporto base/altezza della grande piramide di Cheope ha come costante fissa, nel rapporto tra l'altezza e il lato di base, esattamente il numero 1,618, ossia le prime quattro cifre del numero aureo. La denominazione aureo è dovuta a ragioni che risalgono all’antichità. Già i Greci ritenevano che il rettangolo aureo fosse quello più bello dal punto di vista estetico. Teste e busti di statue erano inscritti in rettangoli aurei e i rapporti tra le dimensioni del corpo corrispondevano al rapporto aureo Famosa è la rappresentazione di Leonardo dell'uomo di Vitruvio in cui una persona è inscritta in un quadrato e in un cerchio. Nel quadrato, l'altezza  dell 'uomo è pari alla distanza tra le estremità delle mani con le braccia distese . La retta orizzontale passante per l'ombelico divide i lati del quadrato esattamente in rapporto aureo tra loro.

LINK E RISORSE Usare i seguenti collegamenti per la vostra ricerca: Ripasso sui metodi di scomposizione Risoluzione di un’equazione mediante scomposizione Completamento del quadrato1, completamento del quadrato2        Risoluzione delle equazioni mediante formula risolutiva  Risoluzione delle equazioni mediante formula ridotta      Risoluzione algebrica                                Significato geometrico di un’equazione di 2° grado Risoluzione grafica   Relazione tra i coefficienti e le soluzioni Regola di Cartesio Esercizi guidati Note storiche: nota1, nota2, nota3

VALUTAZIONE Punteggio totale ___________/80 Valutazione ___________/10 Grado di sicurezza nel calcolo Fa tanti errori di calcolo Fa qualche errore di calcolo Esegue esattamente i calcoli O-4 Obiettivo non raggiunto 5-6 Obiettivo parzialmente raggiunto 7-10 Obiettivo raggiunto Chiarezza grafica Scrive e impagina in modo disordinato Un po’ disordinata Ordinata Proprietà di linguaggio Non usa il linguaggio appropriato E’ incerto nell’uso dei termini specifici Usa bene il linguaggio matematico Quantità del lavoro svolto Non svolge nulla del lavoro assegnato Esegue parzialmente quanto richiesto Esegue tutto il lavoro assegnato Qualità del lavoro svolto Difficoltà ad interpretare il testo e impostare il lavoro Non sempre riesce ad essere autonomo Imposta correttamente il lavoro Lavoro di gruppo Non collabora e disturba i compagni Vuole imporsi e non sempre accetta le proposte degli altri Il suo apporto è costruttivo Impegno personale Non lavora mai da solo Saltuario Costante Ragionamento Non è in grado di giustificare i procedimenti Sa giustificare i procedimenti, ma deve essere guidato Sa spiegare in modo logico le proprie scelte

CONCLUSIONE CERTIFICAZIONI DELLE MINIME COMPETENZE   Al termine dell’unità didattica lo studente deve: Saper risolvere le equazioni di 2° grado pure, spurie, complete con la formula generale e quella ridotta; Studiare il segno del discriminante ed individuare graficamente le radici; Interpretare la parabola come rappresentazione di una funzione di 2° grado; Saper risolvere equazioni razionali intere, fratte, letterali di 2° grado; Sapere applicare le relazioni tra le soluzioni ed i coefficienti di un’equazione di 2° grado; Saper scomporre, se possibile, un trinomio di 2° grado in fattori; Saper applicare la regola di Cartesio; Saper applicare le equazioni di 2° grado alla risoluzione di problemi;

Esercizi proposti Risolvi le seguenti equazioni: Ritorna alla pagina precedente

Problemi proposti Problema 1 Scrivere l’equazione che ha come soluzione i seguenti numeri reali: Problema 2 Trovare due numeri reali conoscendone la loro somma e il loro prodotto Problema 3 Scomporre in fattori un trinomio di 2° grado Ritorna alla pagina precedente