Risoluzione algebrica di sistemi lineari di due equazioni in due incognite di Maria Di Iulio I.T. Nautico di Termoli

Impareremo: Il metodo del confronto Il metodo di sostituzione Il metodo di addizione o sottrazione

Il metodo del confronto Consideriamo il seguente sistema: Le due espressioni a destra del segno di uguaglianza sono entrambe uguali ad y e quindi uguali tra loro: Abbiamo ottenuto un’equazione nella sola incognita x …

e risolvendola otteniamo Sostituiamo ora il valore di x in una qualsiasi delle due equazioni del sistema per determinare il valore di y

Sostituendo, ad esempio, nella prima equazione del sistema si ha: La soluzione del sistema è la coppia ordinata (2;5)

N.B. Sostituendo nella seconda equazione del sistema si ottiene lo stesso risultato: La soluzione del sistema è sempre la coppia ordinata (2;5)

Risolviamo il sistema: Esplicitiamo entrambi le equazioni rispetto ad y: Confrontiamo le due espressioni a destra dell’uguale: Sostituiamo il valore di x nella prima equazione: La soluzione del sistema è la coppia ordinata:

Il metodo di sostituzione Esplicitiamo una delle due equazioni rispetto all’incognita che è più semplice ricavare; sia ad esempio y Sostituiamo l’espressione trovata, al posto di y, nell’altra equazione Risolviamo l’equazione così ottenuta nella sola incognita x Sostituiamo il valore trovato per x nell’equazione che avevamo esplicitato rispetto ad y

Risolviamo il sistema: Esplicitiamo la seconda equazione rispetto ad y: Sostituiamo l’espressione trovata, al posto di y, nella prima equazione: Risolviamo l’equazione così ottenuta nella sola incognita x: Sostituiamo il valore trovato per x nella seconda equazione, che è esplicitata rispetto ad y:

Risolviamo il sistema: Esplicitiamo la prima equazione rispetto ad x e sostituiamo l’espressione trovata nella seconda equazione:

Il metodo di addizione o sottrazione Questo metodo si basa sul principio che partendo da due uguaglianze si ottengono altre due uguaglianze addizionando o sottraendo membro a membro le prime due: A = B C = D A+C=B+D A-C=B-D

Risolviamo il sistema: Addizionando membro a membro le due equazioni otteniamo: Sostituendo in una delle due equazioni, ad esempio nella prima, il valore trovato per x, si ottiene il valore di y: La soluzione del sistema è la coppia ordinata (1;1)

Addizionando tra loro i termini a sinistra e quelli a destra delle due equazioni, abbiamo ottenuto un’equazione in una sola incognita

Risolviamo il sistema: Questa volta, se addizioniamo o sottraiamo le due equazioni così come si presentano, non otteniamo un’equazione in una sola incognita.

Proviamo a fare qualche modifica … Moltiplichiamo la prima equazione per -3 -3 E ora addizioniamo membro a membro

Sostituendo il valore trovato per y in una delle due equazioni del sistema, possiamo ottenere il valore di x. Nel nostro caso è conveniente sostituire ad y il valore 1 nella prima equazione, così come si presenta prima della moltiplicazione per -3. La soluzione del sistema è (-1;1)

Risolviamo il sistema: Moltiplichiamo la prima equazione per 3 e la seconda per -2 3 -2 Addizionando membro a membro otteniamo:

Possiamo determinare il valore di x procedendo in modo analogo a quanto fatto per y Moltiplichiamo la prima equazione per 2 e la seconda per 5 2 5 Addizionando membro a membro otteniamo: La soluzione del sistema è