a cura di Concetta ed Emanuela Richichi dellIPSIA Enrico Medi di Palermo

In un acquario vivono pesci tropicali di due specie diverse. I pesci della prima specie mangiano 2 grammi di mangime ciascuno ogni giorno. I pesci della seconda specie mangiano ciascuno 3 grammi di mangime ogni giorno. Il consumo settimanale di mangime dellacquario è di 560 grammi. Quanti pesci di ciascuna specie ci sono nellacquario?

RICORDA CHE PER LA RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA OCCORRE INDIVIDUARE: OBIETTIVO Quali risultati dobbiamo ottenere? DATI Quali informazioni ci fornisce il testo del problema? INCOGNITE Quali sono le grandezze di cui non conosciamo il valore? DOMINIO Con quale insieme numerico sono rappresentabili le grandezze indicate dalle incognite? RELAZIONI Di quali "risorse, conoscenze teoriche e strumenti di calcolo disponiamo per formalizzare le informazioni?

NEL NOSTRO PROBLEMA: OBIETTIVO Quanti pesci di ciascuna specie ci sono nellacquario? DETERMINARE LA QUANTITA DI PESCI DI CIASCUNA SPECIE

NEL NOSTRO PROBLEMA: DATI Quantità di mangime, espressa in grammi, mangiata ogni giorno da ciascun pesce della prima specie : 2 Quantità di mangime, espressa in grammi, mangiata ogni giorno da ciascun pesce della seconda specie : 3 Consumo settimanale, espresso in grammi, di mangime dellacquario: 560

NEL NOSTRO PROBLEMA: INCOGNITE QUANTITA DI PESCI DELLA PRIMA SPECIE: x QUANTITA DI PESCI DELLA SECONDA SPECIE: y

NEL NOSTRO PROBLEMA: DOMINIO LE QUANTITA DI PESCI SONO RAPPRESENTABILI CON UN NUMERO NATURALE DIVERSO DA ZERO, QUINDI X N-{0}, Y N-{0}

In un acquario vivono pesci tropicali di due specie diverse. I pesci della prima specie mangiano 2 grammi di mangime ciascuno ogni giorno. I pesci della seconda specie mangiano ciascuno 3 grammi di mangime ogni giorno. Il consumo settimanale di mangime dellacquario è di 560 grammi. 2x x,y 3y 7(2x+3y) = LINGUAGGIO NATURALE LINGUAGGIO FORMALE 560 FORMALIZZAZIONE

Essa è una equazione di primo grado in due incognite LA RELAZIONE : 7(2x+3y)=560 costituisce il MODELLO MATEMATICO del problema.

Una coppia ordinata di numeri reali è soluzione di unequazione a due incognite se, sostituendo il primo numero alla prima incognita (di solito x) e il secondo numero alla seconda incognita (di solito y), lequazione si trasforma in uneguaglianza vera. Sono soluzioni dellequazione 7(2x+3y)=560,ad esempio, le coppie ordinate Essa ha infinite soluzioni e quindi è (1;26) (7;22) (10;20)ecc. INDETERMINATA.

Ciò significa che il problema proposto ha infinite soluzioni: LE INFORMAZIONI IN NOSTRO POSSESSO SONO INSUFFICIENTI PER RISOLVERLO. Occorre qualche ulteriore informazione, ad esempio la seguente Nellacquario vivono complessivamente 35 pesci tropicali di due specie diverse. Lequazione 7(2x+3y)=560 ha infinite soluzioni.

LINGUAGGIO NATURALELINGUAGGIO FORMALE Nellacquario vivono complessivamente 35 pesci tropicali di due specie diverse. x+y=35 Anche questa equazione è indeterminata e, quindi, neppure essa, presa da sola, ci consente di risolvere il problema. Ma le cose cambiano se …

… se consideriamo 7(2x+3y)=560 e x+y=35 La coppia (25;10), infatti, è soluzione comune alle due equazioni, come si può facilmente verificare sostituendo tali valori nelle equazioni. Perciò, poichè x=25 e y=10 appartengono al dominio, la soluzione del nostro problema è S = {(25;10)} contemporaneamente.

Si dice SISTEMA di due equazioni in due incognite un insieme formato da due equazioni che devono essere verificate contemporaneamente e avere dunque soluzioni comuni. Ogni soluzione comune a tutte le equazioni di un sistema, si chiama soluzione del sistema. Risolvere un sistema, significa trovarne tutte le eventuali soluzioni.

Un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite x, y, a coefficienti numerici, si dice ridotto a forma normale, se è del tipo: Dove indicano numeri noti. I numeri si chiamano coefficienti delle incognite, mentre si chiamano termini noti.

Un sistema costituito solo da equazioni di primo grado si dice SISTEMA LINEARE Nel nostro caso il sistema che rappresenta il modello del problema è:

Per ridurre a forma normale il sistema dividiamo ambo i membri della prima equazione per 7 ottenendo il sistema equivalente: dove:

Un metodo per risolvere un sistema lineare di due equazioni in due incognite: METODO DI CRAMER …

MATRICE DEI COEFFICIENTI. Dato il sistema il simbolo si chiama DETERMINANTE DELLA MATRICE

diagonale principalediagonale secondaria Il DETERMINANTE DEL SISTEMA lo indicheremo con ed esso è dato da: == -

Adesso indichiamo con x y = == = - - abbiamo sostituito nel a, a con c, c abbiamo sostituito nel b, b con c, c

VALE LA SEGUENTE REGOLA: SE 0 la soluzione del sistema èsoluzione del sistema

= NEL NOSTRO CASO, DOVE SI HA: = = X = == -25 Y === -10 PERTANTO …

… LA SOLUZIONE DEL NOSTRO SISTEMA E: ;