Introduzione alla Meccanica Quantistica II Fedele Lizzi Università di Napoli Federico II

Riassunto della puntata precedente Abbiamo visto come all’inizio del secolo scorso una serie di esperimenti mettevano in crisi le convinzioni consolidate della fisica classica che aveva funzionato tanto bene per tre secoli La fisica Newtoniana che descriveva le particelle e le equazioni di Maxwell che descrivevano l’andamento dei campi elettromagnetici sembrano totalmente inadeguati alla descrizione dei nuovi fenomeni

Corpo Nero La fisica classica ne da una descrizione lontanissima dai dati sperimentali, e per giunta internamente inconsistente La teoria si sposa perfettamente con id ati se si ipotizza che gli scambi di energia ad una certa frequenza avvengano in multipli di  = h

Effetto fotoelettrico e effetto Compton La fisica classica non riesce a spiegarli con la natura ondulatoria della luce Entrambi i fenomeni si spiegano perfettamente assumendo che la radiazione elettromagnetica sia composta da “quanti”, unità discrete proporzionali alla frequenza e di energia  = h

Gli elettroni Gli elettroni sono delle particelle, nel senso che hanno una carica ed una massa ben definite, e si comportano come particelle a tutti gli effetti Ma si comportano anche come onde, formando figure di interferenza del tutto simili a quelle formate dala luce, a parte la differente lunghezza d’onda

In effetti ancor prima dell’esperimento della diffrazione degli elettroni: Nel 1924 il giovane aristocratico francese Louis-Victor-Pierre-Raymond, 7eme duc de Broglie ha una buona idea… Ipotizza che se la luce ha una natura corpuscolare allora anche le particelle possono avere una natura ondulatoria Con una lunghezza d’onda: λ = h/q = h/mv

Un successo della fisica teorica L’ipotesi di de Broglie viene fatta prima degli esperimenti di Thomson e Davisson-Germer che provano la diffrazione degli elettroni Quella che inizia a farsi strada e’ l’ipotesi che la materia e la radiazione a piccole distanze si comporti in maniera non descrivibile dalla fisica classica Il parametro h gioca un ruolo simile (ma non identico) a quello che in relativita’ speciale gioca 1/c, l’inverso della velocita’ della luce.

Il posto in cui guardare sono gli atomi Da non molto tempo si era iniziato a guardare “dentro” gli atomi attraverso gli esperimenti di Rutherford Gli atomi sembravano quindi composti da un nucleo centrale che conteneva una carica positiva e praticamente tutta la massa dell’atomo

Modello atomico di Rutherford

Il modello planetario Il modello sembra riprodurre in piccolo le caratteristiche di un sistema solare, ma ci sono anche molte differenze I pianeti non sono tutti uguali, gli elettroni si’ I pianeti si attraggono fra di loro, gli elettroni si respingono

Il rapporto fra la massa del nucleo e la massa dell’elettrone e’ di circa 2000 volte il numero atomico, il rapporto fra la massa del sole e la massa di Giove e’ circa mille, ma Sole/Plutone e’ dieci milioni e Sole/Terra e’ un milione Il rapporto fra raggio del sole e orbita di Plutone e’ circa 10000, simile al rapporto fra raggio del nucleo e raggio dell’atomo

La differenza fondamentale e’ quella fra forza elettromagnetica e forza gravitazionale C’è un fondamentale differenza fra la forza gravitazionale e la forza elettromagnetica Una carica in movimento irraggia, ovvero emette radiazione. Questo e’ dovuto al fatto che non esiste solo la forza elettrostatica, ma anche la componente magnetica Emettendo radiazione perde energia, rallenta, l’orbita si fa più stretta… Cade sul nucleo! In miliardesimi di miliardesimi di secondo!

Le righe spettrali In effetti gli elettroni all’interno degli atomi possono emettere radiazione e cambiare la loro orbita Ma non lo fanno in maniera continua (rallentando progressivamente), invece saltano da una orbita all’altra emettendo un “quanto” di energia. Quello che si vede sono le righe spettrali

Per un atomo di idrogeno si ha:

Chi non salta un elettrone non è Se un gas è riscaldato, emetterà radiazione con un certo “spettro” D’altro canto, se mandiamo della radiazione contenente tutte le frequenze su un gas, dall’altra parte vedremo che certe frequenze mancano, sono state assorbite Dato che le frequenze sono le stesse, la spiegazione è che gli elettroni saltano da un orbita discreta all’altra.

Gli spettri buoni Le righe spettrali identificano in maniera univoca gli elementi Le frequenze presenti seguono una certa regolarità, ovvero Con

L’atomo di Bohr La struttura di atomo proposta da Bohr è simile a quella del suo professore Rutherford Ma con una differenza cruciale: Le orbite degli elettroni sono quantizzate: il loro momento della quantità di moto deve essere un multiplo di… h/2π

La quantizzazione delle onde Bohr in effetti stava usando i principi della meccanica ondulatoria dei de Broglie per delle onde che non si propagano ma sono stazionarie Se io ho una corda tesa con le estremita’ fisse (come una corda di chitarra) solo certe frequenze sono possibili

Gli elettroni “vibrano” Quelle delle corde vibranti e’ solo una analogia, che serve a capire come gli elettroni, che sono al tempo stesso onde e particelle, all’interno dell’atomo possano avere solo delle ben determinate frequenze e lunghezze d’onda In particolare l’ ipotesi di Bohr porta, con un semplice calcolo, a spiegare gli spettri delle particelle

Stiamo iniziando a capire qualcosa Il fatto che la quantita’ Sia composta tutta da grandezze altrimenti note ci permette di calcolare la costante RH con un ottimo accordo con i dati

Ma abbiamo ancora della strada da fare Bohr introdusse il principio di complementarieta’ secondo il quale gli aspettti ondulatori e quelli particellari sono complentari, ovvero quendo ne riveliamo uno necessariamente nascondiamo l’altro Questa visione e’ in qualche modo superata, gli elettroni si comportano come elettroni il 100% delle volte, obbedendo le loro leggi quantiche Siamo noi che per spiegarli talvolta li equipariamo alle palline da tennis e talvolta alle onde del mare o alle onde luminose

Ma che onde sono le particelle? Intorno al 1925 si fa un grande passo in avanti con la descrizione dell’equazione che descrive l’andamento ondulatorio della materia L’equazione di Schrödinger descrive il comportamento quantistico della materia

Equazioni delle onde Una equazione delle onde descrive l’andamento nello spazio e nel tempo di una funzione d’onda Ψ(x,t). Se prendiamo le onde su una corda di chitarra la Ψ rappresenta l’altezza della corda rispetto al punto di equilibrio Mentre per una particella ci basta dare una posizione (un vettore) ad un istante ben definito Per un onda dobbiamo dare una funzione ad un certo istante

Funzione d’onda Per esempio l’onda della corda di chitarra e’ descritta dalla funzione Ψ =A Sen(n x/L) Cos(ω t) Mentre un’onda che si propaga e’ descritta da Ψ =A Sen(x/λ + v/λ t)

Equazioni differenziali L’equazione che la Ψ della corda di chitarra deve soddisfare e’: E i seni e i coseni hanno la caratteristica che la loro derivata seconda e’ uguale a – la funzione originale

Equazione di Schrödinger L’andamento delle onde di materia descritte da questa equazione ha alcune caratteristiche in comune con le onde di prima, ma anche molte differenze

Onde di materia Tanto per cominciare la presenza della unita’ immaginaria implica che la funzione di onda Ψ e’ necessariamente una quantita’ complessa La presenza della funzione V(x) descrive le forze classiche che agiscono sulla particella/onda Anche senza forze la forma delle onde si deforma

La Meccanica quantistica Con l’equazione di Schrödinger la meccanica quantistica raggiunge la maturita’ di una teoria compiuta In breve tempo si riescono a calcolare gli spettri di vari atomi e di molte molecole Si descrivono le interferenze, la diffrazione e i vari esperimenti Ci sono ancora alcuni problemi con la radiazione elettromagnetica (particelle senza massa) e la realtivita’, ma i passi in avanti sono clamorosi

Resta da capire una cosa: Onde di che? Cosa oscilla nell’equazione delle onde di materia?