CONCETTO DI DERIVATA COS’E’ UNA TANGENTE? Una retta si dice tangente ad una circonferenza se tocca la circonferenza in uno e in un solo punto

CONCETTO DI DERIVATA COS’E’ UNA TANGENTE? Questa definizione però non va bene per una parabola; infatti le due rette in figura toccano la parabola in uno e in un solo punto, ma solo una di esse è una tangente in senso proprio

CONCETTO DI DERIVATA COS’E’ UNA TANGENTE? D’altra parte la retta in figura è una vera e propria tangente alla curva data in P, anche se tocca la curva in un altro punto Q P Q

CONCETTO DI DERIVATA COS’E’ UNA TANGENTE? Una retta secante in due punti molto vicini tra di loro si avvicina molto alla nostra idea di tangente P Q

CONCETTO DI DERIVATA COS’E’ UNA TANGENTE? Potremmo definire la tangente come una secante in due punti coincidenti P=Q

CONCETTO DI DERIVATA COS’E’ UNA TANGENTE? Ancor meglio, possiamo definire la tangente in P, t, come il caso limite della secante PQ quando l’altro punto di incontro, Q, Q’, Q’’ tende a P P Q’’ Q’ Q

CONCETTO DI DERIVATA PROBLEMA: Data la curva di equazione y=f(x) ed un suo punto P(Xo,f(Xo)) trovare l’equazione della retta t tangente alla curva nel punto dato t P f(Xo) Y=f(X) Xo

CONCETTO DI DERIVATA Equazione del fascio di rette passanti per un punto dato: Il problema si riduce a trovare il valore di m t P Yo Y=f(X) Xo

CONCETTO DI DERIVATA Sia Q un punto vicino a P di ascissa Xo+h e di ordinata f(Xo+h), dove h è un numero che rappresenta la distanza tra le ascisse dei due punti s P f(Xo) Q f(Xo+h) h Xo Xo+h

CONCETTO DI DERIVATA Il coefficiente angolare della secante può essere calcolato facilmente con la nota formula di geometria analitica:

CONCETTO DI DERIVATA Ovvero, nel nostro caso: s P f(Xo) Q f(Xo+h) h Xo

CONCETTO DI DERIVATA Adesso per ottenere la tangente basta far coincidere Q con P, il che si può ottenere facendo tendere h a zero s P f(Xo) Q f(Xo+h) h Xo Xo+h

CONCETTO DI DERIVATA Il coefficiente angolare della secante diventa, al tendere a zero di h, il coefficiente angolare della tangente, e il problema è risolto.

CONCETTO DI DERIVATA Sia f:D→R una funzione reale di variabile reale e sia Xo un punto interno di D: Se: esiste ed è finito, allora la funzione f si dice DERIVABILE IN Xo, e il valore del limite si dice DERIVATA DELLA FUNZIONE f IN Xo

CONCETTO DI DERIVATA Il rapporto: si dice RAPPORTO INCREMENTALE della funzione f nel punto Xo con incremento h. Possiamo anche dire che la derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto incrementale quando l’incremento tende a zero.

CONCETTO DI DERIVATA Se il limite: non esite oppure non è finito La funzione si dice NON DERIVABILE in Xo

CONCETTO DI DERIVATA Simboli che rappresentano la derivata: