FLUSSO DI UN VETTORE Φ(V)= S·V Si dice flusso di un vettore V attraverso una superficie S, perpendicolare a tale vettore, il prodotto della superficie per il modulo del vettore Φ(V)= S·V

FLUSSO DI UN VETTORE Φ(V)= S·V ·cosα Se il vettore non è perpendicolare alla superficie si inserisce anche il coseno dell’angolo compreso tra il vettore e la normale alla superficie Φ(V)= S·V ·cosα

FLUSSO DI UN VETTORE Se la superficie è irregolare o il vettore non ha valore costante su tutta la superficie: - Si suddivide la superficie in tanti piccolissimi pezzettini

FLUSSO DI UN VETTORE Φi = Si ·Vi ·cosαi - Si calcola il flusso su ogni singolo pezzettino Φi = Si ·Vi ·cosαi

FLUSSO DI UN VETTORE Poi si sommano tutti i flussi elementari su ogni pezzettino E si fa tendere all’infinito il numero di pezzettini: questa è la definizione generale di flusso di un vettore

FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO L’operazione matematica di flusso permette di formulare in modo generale le leggi dell’elettromagnetismo. Ad esempio, se consideriamo il campo elettrico E e una superficie chiusa che contiene un dato numero di cariche…

FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO …la legge di Coulomb può essere sostituita da questa, detta teorema di Gauss

FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO Ovvero, il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale alla somma delle cariche in essa contenuta divisa per la costante dielettrica

FLUSSO DEL CAMPO MAGNETICO Se invece applichiamo il flusso attraverso una superficie chiusa al campo magnetico B, troviamo che questo è sempre uguale a zero

FLUSSO DEL CAMPO MAGNETICO Questo è dovuto al fatto che le linee di forza di B sono sempre chiuse, ovvero non esistono poli magnetici isolati, in cui le linee possano avere origine o fine.

FLUSSO DEL CAMPO MAGNETICO Questo fa sì che per ogni elemento di superficie in cui il flusso è entrante (negativo) ve ne sia uno in cui è uscente (positivo) portando ad una cancellazione dei due flussi

CONSERVATIVITA’ DI E B ΔV=10 v A ΔV=10 v A queste leggi si può aggiungere quella secondo la quale la differenza di potenziale tra due punti è indipendente dal percorso; questo si esprime dicendo che il campo elettrico è conservativo B ΔV=10 v A ΔV=10 v

CONSERVATIVITA’ DI E A 2 1 B Si può anche dire che la differenza di potenziale in una linea chiusa (in cui non siano inseriti generatori) è nulla. Infatti, poiché le ddp sui percorsi 1 e 2 sono uguali, quella nell’intero percorso ABA è nulla A 2 1 B

E α S DDP E CIRCUITAZIONE La differenza di potenziale tra due punti è uguale al prodotto del campo elettrico per la distanza per il coseno dell’angolo compreso tra il vettore E e il segmento che unisce i due estremi: questo se il percorso è rettilineo e Il campo uniforme A E α S B

DDP E CIRCUITAZIONE In altri casi si divide il percorso in tanti pezzetti e poi si sommano le ddp sui singoli pezzi A 1 2 3 4 Si Ei αi B

DDP E CIRCUITAZIONE Naturalmente, poi si passa al limite facendo tendere il numero dei pezzetti all’infinito A 1 2 3 4 Si Ei αi B

DDP E CIRCUITAZIONE Se il percorso è chiuso questa operazione prende anche il nome di circuitazione del vettore E sulla linea L l

DDP E CIRCUITAZIONE La legge secondo cui la differenza di potenziale su un percorso chiuso è nulla può anche essere espressa dicendo che la circuitazione del vettore campo elettrico è nulla l

CIRCUITAZIONE E CAMPO MAGNETICO In realtà possiamo definire la circuitazione di un vettore qualsiasi, per esempio del campo magnetico B. B l

TEOREMA DI AMPÈRE Per mezzo della circuitazione è possibile formulare in modo più generale la legge di Biot-Savart. Supponiamo che la linea L sia attraversata da un filo percorso da una corrente i (corrente concatenata alla linea) i l

TEOREMA DI AMPÈRE Allora la circuitazione del vettore campo magnetico B prodotto da tale corrente è uguale all’intensità i per la costante μo. In formule: i l

LEGGI DELL’ELETTROMAGNE-TISMO NEL CASO STATICO Per riassumere, abbiamo queste quattro leggi:

INDUZIONE ELETTROMAGNETICA Questo però vale solo in condizioni statiche. Faraday scoprì che se una bobina elettrica viene sottoposta a un campo magnetico variabile in essa nasce una differenza di potenziale, e quindi una corrente indotta.

INDUZIONE ELETTROMAGNETICA Nel primo esperimento di Faraday la variazione del campo magnetico era ottenuta avvicinando e allontanando una calamita alla bobina. Il fenomeno prese il nome di induzione elettromagnetica

INDUZIONE ELETTROMAGNETICA Diversi altri esperimenti dimostrarono che ogni volta che in un circuito avviene una variazione di campo magnetico in questo circuito nasce una differenza di potenziale elettrico. Questo provò che campo elettrico e magnetico non sono due campi distinti, ma due aspetti dello stesso campo, detto campo elettromagnetico

INDUZIONE ELETTROMAGNETICA La legge matematica dell’induzione e.m. fu formulata da Neumann e Lenz. Se una linea L, che racchiude una superficie S, è interessata da un campo magnetico B il cui flusso attraverso S varia in un intervallo di tempo Δt… L B S

INDUZIONE ELETTROMAGNETICA …allora la ddp indotta è pari alla variazione di flusso diviso il tempo, cambiata di segno. (Legge di Faraday-Neumann-Lenz) L B S

INDUZIONE ELETTROMAGNETICA Il segno “-” indica il fatto che il verso della corrente indotta è sempre tale da opporsi alla variazione di flusso magnetico che l’ha prodotta. Se la calamita viene allonta-nata dalla bobina, il campo magnetico prodotto dalla corrente indotta tenderà ad attrarla verso la bobina, rallentandone il movimento S N S N

INDUZIONE ELETTROMAGNETICA Viceversa, se la calamita è avvicinata alla calamita, il campo prodotto dalla corrente indotta tenderà a respingerla, rallentandone anche in questo caso il moto. L’energia meccanica persa dal moto della calamita è uguale all’energia elettrica della corrente indotta: così il principio di conservazione dell’energia è rispettato S N N S

ALTERNATORE L’esperimento di Faraday è, in pratica, l’invenzione dell’alternatore, in cui la variazione di flusso di B è ottenuta facendo ruotare una serie di bobine all’interno di un campo magnetico

ALTERNATORE E’ da notare che l’alternatore non produce energia dal nulla, ma converte in elettrica l’energia meccanica sviluppata generalmente da moto di una turbina, a sua volta azionata o dall’acqua o dal vapore

DINAMO Nella dinamo la bobina è invece fissa, mentre sono dei magneti permanenti a ruotare

TRASFORMATORE Nel trasformatore una corrente alternata in una bobina (inducente) produce una variazione di flusso magnetico in una seconda bobina (indotta) e quindi una ddp, ovvero una corrente indotta, con intensità e tensione diverse dalla corrente originaria

INDUZIONE ELETTROMAGNETICA Ricordando che la ddp calcolata su una linea chiusa equivale matematicamente alla circuitazione del vettore campo elettrico possiamo anche scrivere così la legge di Faraday-Neumann-Lenz L B S

IPOTESI DI MAXWELL Seguendo le idee di Faraday, secondo il quale esiste una profonda unità tra campo elettrico e magnetico, Maxwell propose che, così come una variazione di flusso magnetico produce un campo elettrico, una variazione di flusso elettrico possa produrre un campo magnetico

IPOTESI DI MAXWELL Secondo questa ipotesi, nel processo di scarica di un condensatore, tra le armature che si stanno scaricando (provocando una brusca riduzione del campo elettrico) è come se circolasse una corrente, detta corrente di spostamento + - Corrente di spostamento E Corrente elettrica

IPOTESI DI MAXWELL B Questa corrente di spostamento produce tra le armature del condensatore un campo magnetico del tutto analogo a quello che produce la corrente elettrica nel filo che unisce le armature, secondo il teorema di Ampère + - Corrente di spostamento E Corrente elettrica

CORRENTE DI SPOSTAMENTO Maxwell propose per la corrente di spostamento una formula analoga a quella di Faraday: Se la superficie S è interessata da una variazione di flusso del campo elettrico E in un tempo Δt allora… L E S

CORRENTE DI SPOSTAMENTO …è come se attraverso S passasse un filo percorso da una corrente, is, la cui intensità è pari al rapporto tra la variazione di flusso elettrico e il tempo, moltiplicata per la costante dielettrica L is S

CORRENTE DI SPOSTAMENTO O, più esattamente, considerando un tempo infinitamente piccolo: L is S

EQUAZIONI DI MAXWELL Nella teoria di Maxwell quindi campo elettrico e magnetico cessano di essere enti distinti, ma diventano solo le due componenti di un unico ente fisico, detto campo elettromagnetico, governato da leggi unitarie. La distinzione in componente elettrica e magnetica resta solo per comodità di calcolo, specie nelle applicazioni tecniche.

EQUAZIONI DI MAXWELL Secondo Maxwell le leggi fondamentali del campo elettromagnetico sono: Per la componente elettrica - Il teorema di Gauss - La legge di Faraday-Neumann-Lenz

EQUAZIONI DI MAXWELL Per la componente magnetica - Il teorema di Gauss - Il teorema di Ampère, in cui assieme alle correnti elettriche vanno considerate le correnti di spostamento

EQUAZIONI DI MAXWELL Una delle conseguenze più notevoli delle equazioni di Maxwell è che, anche in assenza di cariche elettriche e di correnti elettriche può svilupparsi un campo elettromagnetico che si propaga sotto forma di onde

ONDE ELETTROMAGNETICHE Infatti, le due equazioni della circuitazione: Ammettono sì la soluzione E=0, B=0, ma questa non è l’unica possibile: esiste infatti anche una soluzione in cui sia campo elettrico che magnetico sono onde sinusoidali, sempre in fase tra loro e in propagazione nella stessa direzione

ONDE ELETTROMAGNETICHE Si tratta in effetti di un’unica onda, detta onda elettromagnetica, con due componenti, una elettrica e l’altra magnetica, sempre perpendicolari tra di loro

ONDE ELETTROMAGNETICHE La velocità di propagazione dell’onda è prevista anch’essa dalle equazioni di Maxwell e nel vuoto vale. Il valore di tale velocità risultò essere molto simile a quello della luce nel vuoto, il che fece supporre che la luce fosse una manifestazione delle onde elettromagnetiche ipotizzate da Maxwell

ESPERIENZE DI HERTZ Il lavoro di Maxwell era puramente teorico. Fu Hertz, con una serie di esperimenti, a provare sperimentalmente l’esistenza delle onde elettromagnetiche, riuscendo a produrle e rilevarle in laboratorio

LA RADIO La teoria di Maxwell e le esperienze di Hertz portarono all’invenzione della radio, da parte di Guglielmo Marconi, negli ultimi anni dell’800.