Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone Il ponte di Wheatstone è utilizzato per la misura di resistenze con elevata precisione; è adeguato per misure di R nell’intervallo 10-105 W Strumentazione: Generatore di f.e.m. in corrente continua Tester digitale Cassetta di resistenze variabili tra 0.1 W e 9999.9 W,regolabile con 5 manopole 2 resistenze da 200 W con tolleranza 1% 1 resistenza da 100 W con tolleranza 1% 1 resistenza da 20 W con tolleranza 1% 2 resistenze di valore nominale 120 W 5% e 18 5% kW di cui si deve determinare il valore effettivo Si applicheranno 3 metodi che utilizzano il ponte di Weathstone per la misura di 2 resistenze incognite e si confronteranno i risultati: metodo classico; metodo della doppia pesata; metodo del confronto o di sostituzione

Variando opportunamente le Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone Variando opportunamente le resistenze R1, R2 e R0  condizione di “ponte bilanciato”: quando la corrente nel galvanometro è nulla iG = 0 ovvero VB = VD In tali condizioni: Metodo classico: iX C e io i1 G RG Rx R2 R1 Ro Re A B D iG i io = iX i1 = i2 VAB = VAD  RXiX = R1i1 VBC = VCD  Roio = R2i2 i2 RX = (R1/R2) R0

Errore relativo e precisione del metodo: ln RX = ln R1 - lnR2 + lnR0  Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone RX = (R1/R2) R0 Conviene fissare il rapporto R1/R2 e variare R0 (cassetta di resistenze) per ricercare la condizione di bilanciamento del ponte. La scelta del valore di R1/R2 è determinata dal valore della resistenza incognita RX, dall’intervallo di variabilità di R0 e dalla sensibilità che si vuole ottenere nella misura Errore relativo e precisione del metodo: ln RX = ln R1 - lnR2 + lnR0  La miglior stima dell’errore relativo su RX è dove eP è l’errore sul bilanciamento del ponte che dipende dalla sensibilità del tester

Per stimare l’errore eP è necessario considerare le equazioni di Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone Per stimare l’errore eP è necessario considerare le equazioni di Kirchoff del circuito quando il sistema e’ sbilanciato: G io iX i1 i2 RG Rx R2 R1 Re C A B D iG i i0 = iX + iG Nodo B i = i1 + iX Nodo A = R1i1+ Rei + R2i2 Maglia AHKC 0 = RXiX- R1i1 - RGiG Maglia ABD 0 = R0i0+ RGiG - R2i2 Maglia BCD Ro iG = e (RXR2 – R0R1)/A con A = RGRe (R0+R1+R2+RX)+ +RG(R0+RX)(R1+R2)+ +Re(R1+RX)(R2+R0)+ +R1R2(RX+R0)+RXR0(R1+R2) H e K

iG è massima  se A è minimo  ovvero se RG= 0 e Re= 0 Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone iG è massima  se A è minimo  ovvero se RG= 0 e Re= 0 A=R1R2(RX+R0)+RXR0(R1+R2) Se il ponte è bilanciato: RX = R1/R2* R0 A = R1R2(R1/R2 +1) R0+ R1/R2* R02 (R1+R2)= =R1/R2* R0 (R1R2 + R22 + R1R0 + R2R0) = RX (R1+R2)(R0+R2) Quindi in condizioni prossime all’equilibrio: A = B RX con B = (R1+R2)(R0+R2) e iG = e*(RXR2 – R0R1)/BRX = =e R2/B – e R0R1/BRX Quindi la sensibilità del metodo è: con C = R0R1/ [(R1+R2)(R0+R2)]

e(RX) = 4 ·10-6 Minima variazione di Rx che produce Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone Minima variazione di Rx che produce sbilanciamenti del ponte Si dimostra che la sensibilità è massima quando RX=R1=R2=R0 C=1/4  l’errore relativo su RX è e(RX)=4RX/e * D(iG) Esempio: RX = 100 W, e = 10 V e DiG = 10-7 A e C = 1/4  e(RX) = 4 ·10-6 Nel nostro caso, i 3 metodi sono limitati dalla sensibilità del tester digitale che è 0.1 mA per f.s. 200 mA. L’errore su RX nel metodo classico dipende principalmente dalle tolleranze di R1, R2 e R0 Se RX è compreso nell’intervallo di valori che può assumere la cassetta delle resistenze conviene scegliere R1 = R2 per massimizzare la sensibilità del circuito Per misurare resistenze di valore superiore a 9999.9 W si scelgono R1 e R2 in modo che R1/R2 >1

Metodo classico in pratica: Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone Metodo classico in pratica: si realizza il circuito in figura sostituendo al galvanometro un multimetro digitale adoperato inizialmente in modalità di voltmetro (elevata resistenza di ingresso = 10 MW) cosicché è possibile evitare di utilizzare la resistenza di protezione RG senza rischiare di danneggiarlo fissato il valore della tensione di alimentazione e, si diminuisce R0 a partire dal suo valore massimo agendo sulle manopole della cassetta di resistenze, fino a raggiungere la condizione di ponte bilanciato (Vmultimetro = 0) La regolazione della cassetta si effettua mediante 5 manopole ciascuna corrispondente a una posizione decimale del valore della resistenza. Errore di lettura della resistenza della cassetta = 0.1 W, ma si utilizzi 0.2W (in quanto un po’ usurate) G io iX i1 i2 RG Rx R2 R1 Re C A B D iG i

Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone Al fine di aumentare la sensibilità dello strumento (senza rischiare di danneggiarlo in quanto la corrente che percorre lo strumento è piccola una volta bilanciato col voltmetro) si utilizza successivamente la modalità amperometro del multimetro (sensibilità di 0.1 mA per fondo scala 200 mA) al fine di verificare che la corrente nel tester è iG = 0 Si registri il valore di R0 quando questa condizione è verificata Utilizzare le resistenze di tolleranza 1% (2 da 200 W, 1 da 20 W) come R1 e R2, scegliendo il valore R1/R2 in base al valore presunto di RX rispetto al massimo valore della cassetta di resistenze e cercando di massimizzare, laddove possibile, la sensibilità (R1 = R2) Inoltre si eseguano 3 misure (solo per il metodo classico) con 3 valori delle tensioni di alimentazione (es. e~3, 6, 9 V) almeno per la prima delle 2 resistenze da misurare

Tabella di dati ed errori per il metodo classico: Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone Tabella di dati ed errori per il metodo classico: e (Volt) R1 (W) R2 (W) R0 (W) RX (W) s0 (W) s1 (W) s2 (W) DRx (W) eRX Eseguendo la misura per diversi valori di e si osserva che la sensibilità aumenta con e Si faccia la media pesata dei risultati Metodo della doppia pesata Il nome deriva dall’analogia con il metodo di misura di masse mediante la doppia pesata che consente di rendere la misura indipendente dalla lunghezza dei bracci della bilancia e quindi di eliminare errori sistematici legati alla loro diversa lunghezza spostando la massa da un piatto all’altro

Il metodo della doppia pesata in pratica: Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone Il metodo della doppia pesata in pratica: si bilancia il ponte e si annota il valore di R0 si scambia la posizione di R1 con R2 si bilancia nuovamente il ponte annotando il valore di R’0 Infatti: RX = (R1/R2) R0 RX = (R2/R1) R’0 Quindi l’errore relativo è: 2ln RX = ln R0 + ln R’0  dove 2eP deriva dall’aver bilanciato il ponte per 2 volte. L’errore su RX è principalmente determinato dalle tolleranze di R0 e R’0 V (Volt) R0 (W) R’0 (W) RX (W) s0 (W) s’0 (W) DRx (W) eRX

Metodo del confronto o di sostituzione Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone Metodo del confronto o di sostituzione Si esegue la misura di RX col metodo classico Si sostituisce RX con la resistenza di confronto RC di valore noto e scelta dello stesso ordine di grandezza di RX Si misura RC bilanciando il ponte RX = (R1/R2) R0 RC = (R1/R2) R’’0 L’errore su RX è principalmente determinato dalle tolleranze di R0, R’’0 e RC I 3 metodi vanno impiegati solo laddove i valori delle resistenze lo rendono possibile! RX = RC(R0/R’’0) V (Volt) R0 (W) R’’0 (W) RX (W) RC (W) s0 (W) s’’0 (W) sC (W) DRx (W) eRX