Esperienza n. 12 Filtro passa-banda Il filtro passa-banda è un filtro elettrico ideale che trasmette un segnale di ingresso in un intervallo di frequenze: |A(w)| = 1 per w1 < w < w2 |A(w)| = 0 altrove con w1 e w2 pulsazioni di taglio o critiche del filtro. Realizzeremo il seguente circuito: 1 A(w) w w2 w1 C1 R2 V1 R1 C2 Il circuito è composto da un passa-alto di funzione di trasferimento A1 e da un passa-basso di funzione di trasferimento A2. Si potrebbe pensare che la funzione di trasferimento del passa-banda sia: A = Vu/Vi = Vu/V1*V1/Vi = A2*A1 dove A1(w) = 1/[1+ Z1/Z2] = 1/[1+ 1/(jwR1C1)]=1/ [1- j w1/w] e A2(w) = 1/[1+ Z’1/Z’2] = 1/[1+ jwR2C2] = 1/ [1+ j w/w2]

Esperienza n. 12 Filtro passa-banda A(w) = A2*A1= 1/ [(1- j w1/w)(1+ j w/w2)] = 1/[(1+ w1/w2)+j(w/w2 - w1/w)] Per avere un filtro passa-banda la frequenza di taglio del passa-alto w1 deve essere < di quella del passa-basso w2 ovvero R1C1>R2C2 Il diagramma di Bode del guadagno G = 20*log10|A| per il passa-banda pensato come composto dal passa-alto e dal passa-basso con w1 <w2 è: w1 w2 logw G Se avessi un circuito analogo ma i valori di resistenze e capacità fossero tali che w2 <w1 otterrei un circuito che attenua sempre: w2 w1 logw G

Esperienza n. 12 Filtro passa-banda Un filtro con comportamento ‘complementare’ a quello del passa-banda è il filtro arresta-banda con opportuni valori di resistenze e capacità: wp1 wz1 wz2 wp2 logw L’assunzione fatta che A(w) = A2*A1 con A2 funzione di trasferimento di un passa-basso e A1 di un passa-alto con carico aperto non è corretta per il passa-alto: ai capi di R1 non si preleva direttamente l’uscita bensì segue il passa-basso e quindi la corrente non scorre interamente in R1, ma anche in R2 e C2. i i1 i2 C1 R2 R1 C2 A B

Esperienza n. 12 Filtro passa-banda Rianalizziamo il circuito usando il teorema di Thevenin: a circuito aperto in A e B determino eTh = R1i = R1*Vi /[R1+1/(jwC1)] =jwR1C1/[1+ jwR1C1]*Vi Cortocircuitando l’ingresso si determina ZTh = ZC1//R1= (R1/jwC1)/[R1+1/(jwC1)] =R1/(1+jwR1C1) Vu ZTh eTh R2 C2 Considerato il circuito equivalente si ha: Vu= ZC2 /[ZTh +R2+ ZC2 ] eTh Vu = 1/(jwC2)/[R1/(1+jwR1C1)+R2+ 1/(jwC2)] * jwR1C1/[1+ jwR1C1]*Vi A(w) = Vu/Vi = jwR1C1/[jwR1C2+(1+jwR1C1)(1+jwR2C2)] = =jw/w1/[jwR1C2+(1+ jw/w1)(1+ jw/w2)] = = jw/w1/{[1-jw2/(w1w2)] + j[(w/w1)+(w/w2)+wR1C2]}* (w1/jw)/(-jw1/w)= =1/[(1+w1/w2+ w1R1C2) - j(w1/w- w/w2)]= =1/[(1+w1/w2+ C2/C1) +j(w/w2- w1/w)]

Esperienza n. 12 Filtro passa-banda Quindi modulo e fase sono: Le formule derivate esattamente differiscono da quelle derivate considerando passa-alto+ passa-basso per il termine C2/C1 che rende il Denominatore più grande in banda passante A0 < 1 e A0 è tanto minore quanto più C2 > C1 R1 = 15kW R2 = 1.5 kW C1 = 22 nF C2 = 0.47 nF R1 = 15kW R2 = 33W C1 = C2 = 22 nF

Esperienza n. 12 Filtro passa-banda Strumentazione: oscilloscopio, generatore di forme d’onda (utilizzato con onde sinusoidali), 2 sonde, basetta, componenti R,C Componenti dei circuiti da realizzare: C1 = 22 nF ; C2 = 22 nF (±10%) C1 = 22 nF ; C2 = 0.47 nF (±10%) R1 = 15 kW ; R2 = 33 W (±5%) R1 = 15 kW ; R2 = 1.5 kW (±5%) Misure da effettuare: Visualizzare il segnale di ingresso e di uscita (ai capi di C2) sui canali A e B Si mantenga la tensione di alimentazione al valore picco-picco e = 1 V (Rint = 50 W). Attenzione non superare questi valori quando si collega il circuito per via di R2 che ha valore basso! Si verifichi che l’andamento qualitativo del segnale di uscita sia quello atteso prima di cominciare a prendere le misure. Il valore atteso della pulsazione di taglio inferiore è w1 = 1/(R1C1) = 3030.3 rad/sec n1 = 1/(2pR1C1) = 482.3 Hz w2 = 1/(R2C2) = 1.38 Mrad/sec (1.42 Mrad/sec) n2 = 1/(2pR2C2) = 219.2 kHz (225.7 kHz) L’errore è determinato dalle tolleranze di R e C:

Esperienza n. 12 Filtro passa-banda Tabella dei dati (in rosso sono indicate le quantità da misurare, in verde da calcolare): Vi (V) f.s. (V) T (s) f.s.(s) n (Hz) w (rad/s) w/w0 s(w/w0) Vo (V) A=Vo/Vi  s(V/V0) Dt (s) f.s. (s) f  s(f)= 360°*DT/T (deg) Intervallo di frequenze in cui effettuare le misure: ~50 Hz – ~2 MHz Si calcolino gli errori su : |A| e f Si effettui il test del c2 per |A| e f calcolando la probabilità che i dati siano compatibili con le predizioni relative alle risposte dei circuiti. Si calcoli il c2 per la trattazione esatta del circuito e quella approssimata (CR+RC)

Esperienza n. 12 Filtro passa-banda Le misure sono state effettuate con R1 = 10kW R2 = 3.3 kW (5%) C1 = 15 nF C2 = 150 pF (10%) Poiché C2 <<C1 il discostamento da A0 = 1 è piccolo in banda passante