Cinematica relativistica 1. Costituenti della materia 2. Le forze fondamentali 3. Simmetrie e leggi di conservazione 4. Cinematica relativistica 5. Il modello a Quark statico 6. L’interazione Nucleare Debole 7. Introduzione al Modello Standard e massa del Neutrino 8. Violazione di CP nel Modello Standard

Richiami sulla cinematica relativistica Principi Qualunque esperimento fornisce gli stessi risultati se eseguito in due sistemi di riferimento dei quali uno sia in moto rettilineo uniforme rispetto all’altro. Le leggi della fisica sono le stesse in ogni riferimento inerziale. L’energia, la quantità di moto totale e il momento angolare totale di un sistema fisico sono costanti del tempo. La velocità della luce nel vuoto è la stessa in ogni sistema inerziale c=2.9979108 m/s Il tempo non è invariante relativistico Lo spazio non è invariante relativistico  

Quadrivettore : Ad esempio, per una particella   Metrica di Minkoski (pseudo-euclidea) Prodotto scalare: Trasformazioni di Lorentz Dati 2 sistemi inerziali Oxyz, Ox’y’z’ in moto relativo fra loro, si assume che i loro assi coincidano al tempo t=t’=0 e che il moto traslatorio uniforme sia lungo l’asse x: β=vx/c con vx velocità di O’ rispetto a O e con γ=1/(1-b2)1/2 Applicando una trasformazione di Lorentz L(b) ad un quadrivettore A nel sistema O, si ottiene A’ nel sistema O’:

Il quadriprodotto Lorentziano: Trasformazione di Lorentz:

LAB CM Energia disponibile nel Centro di Massa Massima energia che può essere trasformata in massa

In una situazione a targhetta fissa : Alle alte energie (masse trascurabili) : In una situazione a un collider : Supponiamo che Alle alte energie (masse trascurabili) :

Somma delle masse nello stato finale Soglia di una reazione Esempio 1: produzione di un muone con un fascio di neutrini incidente su e massa del muone Esempio 2: produzione di muoni in urti e+e- (collider) Una coppia di muoni per conservare i numeri leptonici

Particella instabile: decadimento a due corpi in questa parte Possibile solo se Momento univocamente definito

…e le energie delle due particelle e analogamente : Per la conservazione del momento, 1 e 2 vanno in direzioni opposte nel sistema di riferimento in cui M è a riposo Nel caso particolare di 1 e 2 con la stessa massa :

Decadimento a due corpi in volo in questa slide 2-vettori Conservazione del momento nella direzione trasversa : Tra il CM e il laboratorio : Energia cinetica ed energia di massa :

Le variabili di Mandelstam Introduciamo le tre quantità scalari di Lorentz : E vale:

Significato di s: energia disponibile nel centro di massa Nel caso della particella instabile che decade Significato di t: lo vediamo nel CM Θ*< 900 Momento trasferito

Decadimento a tre corpi: il Dalitz plot Masse invarianti dei sottosistemi Le masse invarianti parziali soddisfano: Studiamo i limiti dello spazio delle variabili cinematiche (spazio delle fasi) Nel sistema del CM :

Per trovare il limite inferiore ci mettiamo nel sistema del CM delle particelle 2 ,3: In definitiva vale per ognuna delle s: Un parallelogramma ! In realtà si può dare un limite migliore considerando le correlazioni tra le tre variabili. Allo scopo mettiamoci nel Jackson frame, definito da: In questo sistema di riferimento

Si inverte per trovare il momento Inoltre vale anche: A questo punto consideriamo l’invariante

I momenti di 1,2,3 sono fissati in modulo : Supponendo ora di fissare dipende solo da E’ possibile esprimere le energie di 1 e 3 in funzione di

Ottenendo in questo modo i limiti del Dalitz Plot: Il Dalitz plot rappresenta la transizione tra uno stato iniziale e uno stato finale a tre corpi. E’ costuito da due variabili indipendenti. I limiti del Dalitz Plot (il contorno) sono dati dalla cinematica La densità dei punti nel Dalitz Plot invece ci informa sulla dinamica tra le particelle nello stato finale:

Massa invariante Consideriamo il decadimento in volo di una particella. Supponiamo decada in tre particelle (ma potrebbero essere n) Nel sistema del Laboratorio: Gli stati 1,2,3 vengono osservati nello spettrometro Si misura il momento Si fa una ipotesi di massa in base alla risposta dello spettrometro Ingredienti :

Costruisco la quantità : Che posso scrivere anche : Ma questo è uno scalare di Lorentz. Allora posso valutarlo (ad esempio) nel sistema di riferimento della particella che decade: La ricerca dei picchi negli istogrammi di massa invariante: ??? ???

Tipi di Collisione : il caso Elastico L’identità delle particelle non cambia tra stato iniziale e stato finale Quanti invarianti possiamo costruire per caratterizzare l’urto ? In linea di principio sono 16 …..ma quattro sono invarianti banali: I rimanenti 12 sono in realtà solo sei perché abbiamo che I rimanenti sei sono solo due perché abbiamo 4 condizioni Possiamo scegliere le 3 variabili di Mandelstam s,t,u con

Tipi di Collisione : il caso Inelastico ... Naturalmente Nel sistema di riferimento del laboratorio, a targhetta fissa (1 incide su 2 a riposo) Si può calcolare nel CM

Energia di soglia nel centro di massa : ….e nel laboratorio : Oppure utilizzando l’energia cinetica nel sistema del laboratorio: Esercizio: calcolare l’energia cinetica di soglia per la reazione:

Wave-Optical description of Hadron Scattering Propagation of a wave packet: superposition of particle waves of a number of different frequencies: The wavepacket impinges on a scattering (diffusion) center Neglecting an exp(-iωt) term Neglecting the structure of the wave-packet Range of Nuclear Forces

Fascio di particelle che si propaga lungo l’asse z Rappresentato come onda piana indipendente da t Centro diffusore senza spin z Sviluppo dell’onda incidente in armoniche sferiche nell’approssimazione kr>>1 entrante e uscente Se ora introduciamo l’effetto del centro diffusore, avremo uno sfasamento e una riduzione di ampiezza dell’onda uscente

Forma asintotica dell’onda globale L’onda diffusa sarà la differenza tra quella incidente e la totale : Ampiezza di scattering Diffusione di tipo elastico, con k che rimane invariato (ma sempre valida nel centro di massa)

Significato fisico dell’ampiezza di scattering In una situazione del tipo: Possiamo riferirci a un flusso incidente pari al numero di particelle incidenti per cross sectional area del centro diffusore. Questo è dato dalla probabilità di densità per la velocità: E abbiamo invece un flusso diffuso dato da: La sezione d’urto di diffusione è definita come numero di particelle diffuse per unità di tempo per flusso incidente nell’area sottesa da un angolo solido dΩ:

Integrando sull’angolo solido: In generale quindi Ortogonalità polinomi di Legendre Integrando sull’angolo solido: Sezione d’urto elastica totale Nessun assorbimento e diffusione solo dovuta agli shift di fase

Nel caso generale (η<1) possiamo distinguere la sezione d’urto in una parte di reazione e una elastica La sezione d’urto totale: Assorbimento non nullo Sfasamento (con o senza assorbimento) Costuita sulla perdità di probabilità Costuita sull’effetto sull’onda uscente

Teorema Ottico : Si consideri l’ampiezza di scattering in avanti Relazione tra la sezione d’urto totale e l’ampiezza di scattering in avanti

Limite sulla sezione d’urto imposto dalla conservazione della probabilità Unitarietà Ad esempio partendo dal caso pienamente elastico: Si vede che la sezione d’urto massima per l’onda l avviene quando Invece la massima sezione d’urto di assorbimento si ottiene per Interpretazione semiclassica: momento angolare e parametro di impatto

Ruolo delle varie componenti di momento angolare: un certo momento angolare corrisponde a un parametro di impatto : p b Particelle tra l e l+1 vengono assorbite da un anello di area

L’ampiezza di scattering per l’onda l Im f Unitarity Circle 1/2 2δ f(η=1) Re f η=1: f descrive un cerchio di raggio ½ e centrato su i/2, con phase shift tra o e π/2 Il massimo del modulo a π/2 è la risonanza dell’ampiezza di scattering η<1 : f ha un raggio inferiore all’Unitarity Circle Il vettore non può eccedere l’Unitarity Circle  limite alla sezione d’urto

Risonanze e formula di Breit e Wigner Scopo: esprimere l’andamento della sezione d’urto nelle vicinanze di una risonanza. Ovvero quando l’ampiezza di scattering passa attraverso π/2 In risonanza δ = π/2 attorno a cui sviluppiamo Energia risonanza Avendo Formula di Breit e Wigner Otteniamo così

Utilizzando la formula di Breit e Wigner si ottiene, ad esempio nel caso in cui domini un certo l : Questa è una dipendenza quantistica dall’energia, corrispondente a una dipendenza temporale di uno stato del tipo Legge di decadimento di una particella La trasformata di Fourier della legge di decadimento ci da la dipendenza da E

Nel caso della risonanza elastica la sezione d’urto è proporzionale al modulo al quadrato di questa ampiezza Tutto questo vale per l’urto elastico tra particelle senza spin. Più in generale se formiamo una risonanza con spin J con la collisione di particelle con spin Sa ed Sb si ha