Simmetrie e leggi di conservazione 1. Costituenti della materia 2. Le forze fondamentali 3. Simmetrie e leggi di conservazione 4. Cinematica relativistica 5. Il modello a Quark statico 6. L’interazione Nucleare Debole 7. Introduzione al Modello Standard e massa del Neutrino 8. Violazione di CP nel Modello Standard “Mandala delle Cinque Divinità” Tibet, dipinto nel XVII secolo La parola è utilizzata, anche, per indicare un diagramma circolare costituito, di base, dall'associazione di diverse figure geometriche], le più usate delle quali sono il punto, il triangolo, il cerchio ed il quadrato. Il disegno riveste un significato spirituale e rituale sia nel Buddhismo che nell'Hinduismo. “Mandala” da it.wikipedia.org

A classification of symmetries in particle physics Invariance Conserved quantity Proper orthochronous Lorentz symmetry translation in time   (homogeneity) energy translation in space   (homogeneity) linear momentum rotation in space   (isotropy) angular momentum Discrete symmetry P, coordinate inversion spatial parity C, charge conjugation charge parity T, time reversal time parity CPT product of parities Internal symmetry (independent of spacetime coordinates) U(1) gauge transformation electric charge lepton generation number hypercharge U(1)Y gauge transformation weak hypercharge U(2) [U(1) × SU(2)] electroweak force SU(2) gauge transformation isospin SU(2)L gauge transformation weak isospin P × SU(2) G-parity SU(3) "winding number" baryon number SU(3) gauge transformation quark color SU(3) (approximate) quark flavor S(U(2) × U(3)) [ U(1) × SU(2) × SU(3)] Standard Model A classification of symmetries in particle physics Wikipedia:

Simmetrie di un sistema fisico: Sistema quantistico Sistema classico Formalismo Lagrangiano Formalismo Lagrangiano Formalismo Hamiltoniano Formalismo Hamiltoniano Invarianza Eq. Dinamica Invarianza relazioni di commutazione (Invarianza della probabilità) Invarianza Equazioni del Moto Il Teorema di E. Noether (teorie di campo lagrangiane, quantistiche e no) stabilisce una relazione tra simmetrie e quantità conservate di un sistema

Un esempio “classico”: Se facciamo una traslazione: Le equazioni del moto sono invarianti per traslazione

Se calcoliamo la forza totale che agisce su 1 e 2: Nel formalismo lagrangiano classico: Invarianza di L rispetto q p conservato

Nel formalismo Hamiltoniano Eventuale conservazione di una quantità dinamica Eventuale simmetria Questo formalismo si trasporta facilmente al caso della Meccanica Quantistica In Meccanica Quantistica si può partire dall’Eq. Di Schroedinger : Evoluzione temporale (unitaria)

Descrizione di Schroedinger e di Heisenberg : Operatori nella descrizione di Heisenberg Derivando: Quantità conservate: commutano con H Nel caso in cui vi sia una dipendenza esplicita dal tempo (sistemi non isolati)

Autoaggiunto: è il generatore delle traslazioni spaziali Invarianza traslazionale: una simmetria continua L’operatore traslazione è naturalmente associato al momento Traslazione finita unitario Autoaggiunto: è il generatore delle traslazioni spaziali Se H non dipende dalle coordinate Il momento si conserva

Autoaggiunto: è il generatore delle rotazioni Invarianza rotazionale: una simmetria continua L’operatore rotazione è naturalmente associato al momento angolare Operatore momento angolare attorno asse z (angolo phi) Autoaggiunto: è il generatore delle rotazioni Rotazione finita unitario Se H non dipende dall’angolo di rotazione φ attorno all’asse z Il momento angolare si conserva

Invarianza temporale continua Si potrebbe anche procedere come prima costruendo il generatore delle traslazioni temporali (l’energia H), ma basta osservare che Se H non dipende da t, l’energia si conserva Le simmetrie continue spaziotemporali: Traslazione spaziale Rotazione spaziale Tempo Momento lineare Momento angolare Energia

Simmetrie continue e gruppi: SU(2) Combinazione di due trasformazioni: dipende dalle regole di commutazione dei generatori del gruppo Algebra commutativa (Abeliana) delle traslazioni Operatore traslazione lungo asse x: (due traslazioni commutano). Inoltre: e ovviamente

Nel caso delle rotazioni: Regole di commutazione per i generatori: Algebra non commutativa Rotazioni attorno ad assi diversi in genere non commutano Nel caso di un sistema quantistico a due livelli, le trasformazioni sono descritte dal gruppo SU(2) (due dimensioni) che ha struttura algebrica simile a SO(3) (rotazioni in 3 dimensioni)

Simmetria di Isospin Si consideri un sistema quantistico a due stati (originariamente il neutrone e il protone, che per quanto riguarda le forze nucleari potevano essere considerati degeneri). Siccome degeneri, potevano essere ridefiniti arbitrariamente: Degenerazione Ridefinizione Doppia degenerazione simile a ciò che avviene nei sistemi a s=1/2. La degenerazione viene rimossa da un campo magnetico Si può allora introdurre lo spinore a due componenti:

La ridefinizione precedente diviene: Simmetria proposta per le interazioni forti (rotta dalla parte elettromagnetica) Gruppo di Lie SU(2) Proprietà determinate dalle trasformazioni infinitesime Può essere scritto nella forma generale: Matrici di Pauli

Isospin Una rotazione infinitesima del doppietto p-n: Una rotazione finita in SU(2): Generalizzazione di una trasformazione globale di fase Tre angoli di fase Operatori non commutanti (Invarianza di fase non abeliana)

Il sistema a due nucleoni Prendiamo una di queste trasformazioni: Uno stato a due nucleoni può essere: In seguito a questa rotazione: Singoletto di isospin Gli altri tre stati si traformano l’uno nell’altro in rotazioni di isospin, come farebbe un vettore nello spazio 3-d per rotazioni ordinarie Invarianza per isospin significa che vi sono due ampiezze, I=0 e I=1 E significa che gli stati con I=1 sono tra loro indistinguibili (interazione forte)

Nucleoni e quark I3 particella antiparticella +1/2 -1/2 Un tripletto di isospin: il pione I I3 Funzione d’onda Q/e 1 -1 o

Costruzione delle particelle a interazione forte (adroni) a partire dai quark costituenti

Lo stato a due nucleoni: Parte di Isospin La funzione d’onda totale: A (scomposizione non relativistica) Nel caso del deutone: spin 1  α simmetrica , φ ha simmetria (-)l ma siccome i due nucleoni sono in stati l=0 o l=2 φ è simmetrica. Quindi deve essere antisimmetrica. Questo perché la ψ tot è antisimmetrica per scambio dei nucleoni Il deutone è un singoletto di Isospin Si considerino allora le due reazioni (il deutone ha I=0 e il pione I=1) Isospin I 1 1 0,1 1 Ma la reazione può procedere solo per I=1

Simmetrie di gauge (globali e locali) Sono simmetrie continue (gruppo continuo) che possono essere locali o globali. Globali: quantità conservate (carica elettrica) Locali: nuovi campi e loro leggi di trasformazione (teorie di gauge) Consideriamo l’Equazione di Schoedinger Consideriamo una trasformazione di fase globale: il cambio di fase è lo stesso in tutti i punti L’equazione di Schroedinger è invariante per tale trasformazione. Tale invarianza è associata (T. di E. Noether) alla conservazione della carica elettrica Ma cosa succede se consideriamo una trasformazione di gauge locale ?

Come si fa a garantire l’invarianza di gauge locale? Non invariante! Il problema deriva dal fatto che: extra termine !

Per risolvere il problema possiamo introdurre un nuovo campo! E la sua legge di trasformazione! Dal momento che l’Eq. Di Schroedinger libera non è invariante per: La modifichiamo introducendo: Campi compensanti Che si trasformano:

In questo modo l’invarianza viene ripristinata Per dare un significato fisico, scegliamo: E si ha l’invarianza: L’invarianza di gauge locale del campo di Schroedinger richiede il campo EM ne stabilisce la legge di trasformazione

Vi sono molti altri esempi del principio di gauge In physics, a gauge principle specifies a procedure for obtaining an interaction term from a free Lagrangian which is symmetric with respect to a continuous symmetry -- the results of localizing (or gauging) the global symmetry group must be accompanied by the inclusion of additional fields (such as the electromagnetic field), with appropriate kinetic and interaction terms in the action, in such a way that the extended Lagrangian is covariant with respect to a new extended group of local transformations. LIBERO INTERAGENTE

L’invarianza di gauge U(1) e il campo di Dirac Equazione di Dirac (1928): una descrizione delle particelle elementari a spin ½ compatibile con la Relatività Speciale e la Meccanica Quantistica Matrici 4x4 (gamma) Spinore a 4 componenti Dirac probability current Spinore coniugato

La Lagrangiana di Dirac: Presenta una proprieta’ di invarianza per trasformazioni globali di gauge: (trasformazioni di fase) Si richiede che questa proprieta’ globale valga anche localmente. L’invarianza diviene principio dinamico. Ora la trasformazione di gauge dipende dal punto dello spaziotempo Vediamo come si comporta la L Dal momento che

E questa lagrangiana non e’ gauge-invariante. Se noi vogliamo una L gauge-invariante occorre introdurre un campo compensante con una legge di trasformazione opportuna: Questa nuova lagrangiana e’ invariante per trasformazione locale di gauge. Per renderlo tale e’ stato necessario introdurre un nuovo campo (il campo e.m.).

Il campo di gauge A deve pero’ comprendere un termine di campo libero. Questo termine di campo libero sara’ quello del campo elettromagnetico.

Simmetrie discrete: P,C,T Le simmetrie discrete descrivono cambiamenti non continui di un sistema (non possono essere ottenute integrando trasformazioni infinitesime). Questi cambiamenti sono associati a gruppi di simmetria discreti Parità P Inversione di tutte le coordinate spaziali: Il determinante di questa trasformazione è -1. Mentre le rotazioni sono +1 Operatore unitario. Autovalori: +1, -1 (se stati a parità definita) Autostati: stati a parità definita

La parità è conservata in un sistema se L’esempio del potenziale centrale: Gli stati legati di un sistema a simmetria centrale hanno parità definita. Ad esempio l’atomo di idrogeno Atomo di idrogeno: autofunzioni senza spin : Parte radiale Armoniche sferiche Transizioni di Dipolo Elettrico ∆l = ± 1

La parità intrinseca è rappresentabile da una fase La parità generale di uno stato quantistico La parità intrinseca è rappresentabile da una fase Intrinseca Spaziale Ad esempio in una rappresentazione come onde piane (autostati del momento) La parità intrinseca ha il significato della parità nel sistema di riferimento p=0

La parità del fotone dall’analogia classica Un campo classico obbedisce a Se facciamo l’operazione P: Ma d’altra parte vale anche, nel vuoto: E per l’operazione di parità abbiamo: E per renderla coerente con la trasformazione del campo elettrico:

Azione della parità su quantità fisiche notevoli Posizione: Tempo: Momento: Momento angolare: Carica: Corrente: Campo E: Campo B: Spin:

Parità di sistemi composti: prodotto delle parità delle parti Parità: spaziale e instrinseca delle particelle: il pione Scambio tra i due n Conservazione del momento angolare: J=1= L+S Simmetria globale n+n

Parità del pione neutro, dalla polarizzazione delle coppie in : Alcune parità intrinseche non sono osservabili (protone, neutrone) e sono convenzionali (+1). Conservazione numero barionico l’effettivo valore di P non è importante: si elide in ogni reazione Parità del pione neutro, dalla polarizzazione delle coppie in : Diverse proprietà di trasformazione per rotazioni e riflessioni spaziali P(particella) = - P (antiparticella) FERMIONI P(particella) = P (antiparticella) BOSONI La parità è violata nelle Interazioni Nucleari Deboli

Inversione temporale T Inverte il flusso temporale Equazioni dinamiche classiche invarianti perché del secondo ordine nel tempo Sistemi microscopici: T invarianza Sistemi macroscopici: direzione del tempo selezionata statisticamente (non diminuzione di entropia) Nel caso quantistico : non è invariante per

Partiamo dall’Equazione di Schroedinger complessa coniugata Definendo l’operatore di inversione temporale: T L’operatore che rappresenta T è un operatore antilineare. Preserva il modulo quadro delle ampiezze di transizione

Una importante conseguenza dell’invarianza per T a livello microscopico. E riguarda le ampiezze di transizione: (bilancio dettagliato) Nota: il bilancio dettagliato NON implica l’uguaglianza dei tassi di reazione: Una prova “classica”, lo studio della reazione T è violata nelle Interazioni Nucleari Deboli Physical Review Letters 109 (2012) 211801. Esperimento BaBar a SLAC Confronto tra le transizioni del tipo

Coniugazione di carica C Una simmetria discreta interna Cambia i segni delle cariche (e dei momenti magnetici) Per uno stato quantistico Gli autostati di C sono gli stati neutri Per il fotone

La C-parità di uno stato può essere calcolata se lo stato è neutro e se conosciamo la funzione d’onda dello stato La coniugazione di carica di una coppia di particelle scambia le particelle dello stato e quindi occorre tenere conto della statistica cui obbediscono E in generale per particelle a spin zero Per una coppia (globalmente neutra) di fermioni invece: Nel decadimento L’analogo decadimento è proibito se C è conservata nelle interazioni elettromagnetiche. Infatti :

Azione di C,P,T C P T CPT

Il Positronio Sistema analogo all’atomo di idrogeno La parte spaziale La parte di spin Tripletto Singoletto Il bilancio di C conjugation:

Il positronio nello stato fondamentale l=0 Singoletto: Tripletto: Antisimmetria per scambio di elettrone e positrone La conservazione della C-parità determina la modalità di decadimento del Ps Singoletto: Tripletto:

Fotoni, spin, elicità Gauge - invarianti Gauge di Coulomb Propagazione libera: Soluzione a onde piane Condizione di trasversalità Ad esempio: Pol. Piana Pol. circolare

Polarizzazione circolare Che si può esprimere anche coi vettori rotanti I vettori di polarizzazione possono essere associati agli stati di spin dei fotoni Se l’onda propaga lungo z: Jz solo dovuto allo spin Eseguiamo una rotazione attorno all’asse z: Autostati di Jz e e Per la trasversalità abbiamo solo: k k Fotoni con Jz=0 sono i fotoni longitudinali. Virtuali: m≠0

Elicità Proiezione dello spin nella direzione del momento Un numero quantico approssimato per particelle con massa Tanto più buono quanto la particella è relativistica Rigorosamente buono per i fotoni La legge di invarianza in azione. Le Interazioni Elettromagnetiche conservano la Parità Ma: Nelle interazioni elettromagnetiche questa quantità deve essere nulla. Nelle interazioni elettromagnetiche i fotoni right e left handed compaiono sempre in pari ampiezze, in modo da compensarsi

Il Neutrino C, P sono violate nelle Interazioni Nucleari Deboli Il neutrino partecipa solo delle Interazioni Nucleari Deboli Peraltro, nell’approssimazione di neutrini senza massa, abbiamo : L’evidenza sperimentale indica che nelle Interazioni Deboli: I neutrini sono sempre sinistrorsi. Gli antineutrini sono sempre destrorsi ! P C CP In buona approssimazione le Int. Deboli conservano CP (non C e non P)

Teorema CPT In una teoria quantistica di campo Lorentz-invariante e locale, l’interazione (Hamiltoniana) è invariante per l’applicazione combinata di C,P,T (Pauli, Luders, Villars, 1957) Alcune conseguenze: La massa di una particella = La massa dell’antiparticella (Momento magnetico di una particella) = -- (Momento magnetico antiparticella) 3) Vita media di una particella = Vita media antiparticella Protone Antiprotone Elettrone Positrone Q +e -e B o L(e) +1 -1 μ σ Protoni ed elettroni : 49

Ricerca di violazioni delle leggi C,P,T Si formano delle quantità che violano una legge di conservazione Si vede se queste quantità esistono per uno stato puro. Ad esempio il momento di dipolo elettrico: Non può esistere in situazioni T, P invarianti Teorema CPT (wikipedia) In quantum field theory the CPT theorem states that any canonical (that is, local and Lorentz-covariant) quantum field theory is invariant under the CPT operation, which is a combination of three discrete transformations: charge conjugation C, parity transformation P, and time reversal T. It was first proved by G.Lüders,[1] W.Pauli[2] and J.Bell[3] in the framework of Lagrangian field theory. At present, CPT is the sole combination of C, P, T observed as an exact symmetry of nature at the fundamental level.[4]

Numeri di particelle: barionico, sapore (flavor) e leptonico Il sapore è il contenuto in quark di un adrone Massa (MeV) Quark U D S C B p uud +2 +1 n udd Λ uds -1 Λc udc π+ u-dbar K- s-ubar D- d-cbar Ds+ c-sbar B- b-ubar Υ b-bbar 938 940 1116 2285 140 494 1869 1970 5279 9460

I numeri quantici di sapore si riferiscono al contenuto in quark degli adroni Sono conservati nelle interazioni elettromagnetiche e forti Sono violati nelle interazioni deboli Stranezza Charm Beauty Top In un processo con interazione forte (o e.m.) tutti i sapori sono conservati: Nelle interazioni deboli invece : Numero barionico:

Numero barionico Il Numero Barionico equivale a: I barioni hanno B=1 mentre gli antibarioni B = -1 I mesoni hanno B = 0 Questa legge riflette la conservazione del numero dei quark. I quark si trasformano in altri quark, spariscono o vengono creati in coppie. I numeri quantici di flavor si riferiscono all’identità dei quark: (Isospin: +1/2 o -1/2 nei doppietti) Stranezza: -1 per il quark s Charm: +1 per il quark c Bottom: -1 per il quark b Top: +1 per il quark t Violati nelle Interazioni Deboli

I numeri leptonici: Numero leptonico elettronico Numero leptonico muonico Numero leptonico tauonico Al meglio delle nostre conoscenze, tutti e tre i numeri leptonici sono conservati in tutte le interazioni. Una conseguenza e’ che il decadimento: non avviene. Anche il numero leptonico totale (somma dei tre) e’ conservato in tutte le interazioni Leggera violazione dei numeri leptonici Oscillazioni del Neutrino Numero Leptonico totale : conservato.