Lavoro ed energia cinetica: introduzione Consideriamo un punto materiale che si muove di moto rettilineo sotto l’azione di una forza costante parallela alla traiettoria (per esempio moto di caduta di un grave) F x O Moto uniformemente accelerato Eliminando il tempo:

Lavoro ed energia cinetica: introduzione Si definisce Energia cinetica della particella Lavoro effettuato dalla forza costante sul percorso tra xo e x Le dimensioni Nel SI: Nm=kgm2s-2=J (joule) Nel SI: kgm2s-2=J (joule)

Generalizzazione della definizione di lavoro Nello studio del moto rettilineo uniformemente accelerato abbiamo ottenuto: La variazione dell’energia cinetica subita dal punto materiale quando si sposta tra xo e x risulta uguale al lavoro compiuto dalla forza lungo il percorso tra xo e x Teorema delle forze vive. Vediamo se è possibile generalizzare questo risultato al caso generale. Se la traiettoria non è rettilinea o se la forza non è parallela allo spostamento, solo la componente tangenziale della forza è responsabile della variazione del modulo della velocità: Occorre fare in modo, nella definizione di lavoro di una forza, che esso dipenda solo dalla componente tangenziale della forza.

Il prodotto scalare tra vettori Dati vettori F e Dr, si definisce prodotto scalare Il risultato di un prodotto scalare è uno scalare q Commutativo Modulo del primo vettore per modulo del secondo vettore per il coseno dell’angolo compreso Che può anche essere interpretato come Il modulo del primo vettore per la proiezione del secondo vettore lungo il primo q Il modulo del secondo vettore per la proiezione del primo sul secondo q

Alcune proprietà del prodotto scalare Vettori paralleli Positivo FDr Vettori antiparalleli Negativo - FDr Vettori ortogonali Uguale a zero Il prodotto scalare di un vettore per sé stesso

Generalizzazione della definizione di lavoro Lavoro fatto da una forza costante su un percorso rettilineo q Il lavoro è una grandezza scalare Se la forza non è costante e/o il percorso non è rettilineo, possiamo sempre dividere il percorso in tratti così piccoli (infinitesimi) da poter considerare il tratto rettilineo e la forza costante su quel tratto, Calcolare il lavoro su ciascuno dei tratti Sommare tutti i lavori calcolati sui singoli tratti i f g

Generalizzazione della definizione di lavoro Calcolo del lavoro utilizzando le componenti cartesiane Calcolo del lavoro utilizzando i moduli della forza e dello spostamento I lavoro della risultante i f g q

Calcolare il lavoro effettuato per spostare la slitta di 10 m. Una donna tira, a velocità costante, una slitta carica di massa m= 75 kg su una superficie orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico tra i pattini e la neve è md=0.10, e l’angolo f è di 42°. Calcolare il lavoro effettuato per spostare la slitta di 10 m. Applicazione La forza applicata dalla donna è uguale alla tensione T (possiamo calcolare il lavoro della tensione T). Il lavoro effettuato dalla donna sarà: f Dr T Forza costante Spostamento rettilineo Bisogna calcolare il modulo di T.

Il lavoro effettuato dalla donna (dalla tensione): Applicazione costante Il lavoro effettuato dalla donna (dalla tensione):

Potenza Data un forza esegue un lavoro W in un intervallo di tempo Dt si definisce potenza media nell’intervallo Dt il rapporto : La Potenza sviluppata dalla forza all’istante t (potenza istantanea), si ottiene facendo il limite per Dt che tende a zero: Le dimensioni [P] = [ML2T-2][T-1] = [ML2T-3] Nel SI si misura in watt (W) Altre unità cavallo vapore (Cv) Kilovattora come unità di misura del lavoro 1kwattora=3.6MJ

Generalizzazione del teorema delle forze vive Consideriamo il generico intervallo di tempo dt La variazione dell’energia cinetica i f g q La relazione vale per tutti gli intervalli infinitesimi: quindi anche quando si somma su tutti gli intervalli. La variazione di energia cinetica è uguale al lavoro della risultante (la somma dei lavori fatto da tutte le forze agenti sul punto materiale)

Determinare il lavoro fatto dalla forza peso durante il sollevamento Applicazione Un sollevatore di pesi solleva un manubrio di massa complessiva m=260kg per un dislivello di 2 m Determinare il lavoro fatto dalla forza peso durante il sollevamento Determinare il lavoro fatto dal sollevatore di peso. Se il sollevatore abbandona l’attrezzo mentre è in alto (h=2m) determinare la velocità con cui arriva sul pavimento. Fs P Osserviamo che l’energia cinetica iniziale è nulla, ma anche quella finale. La variazione di energia cinetica è nulla. Utilizzando il teorema delle forze vive: Per quanto riguarda l’ultima domanda: osserviamo che il moto avviene sotto l’azione della sola forza peso. Il lavoro fatto dalla forza peso in questo caso:

L’energia È una grandezza che caratterizza il punto materiale Dipende dal suo stato (posizione, velocità, temperatura, etc) Esistono varia forme di energia Per es. l’energia cinetica dipende dallo stato di moto del corpo I corpi possono scambiarsi l’energia: Il lavoro rappresenta un modo attraverso cui i corpi si scambiano energia. Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro positivo (forza motrice, concorde con il moto), allora l’energia cinetica del punto materiale aumenta. Si dice che l’ambiente esterno ha compiuto un lavoro sul punto materiale il punto materiale ha acquisito energia cinetica dall’ambiente esterno. Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro negativo (forza resistente, opposta al moto), allora la sua energia cinetica diminuisce. si dice che il punto materiale ha effettuato del lavoro sull’ambiente esterno a spese della sua energia cinetica L’energia cinetica rappresenta la capacità di un corpo a compiere del lavoro Trasferire cioè il movimento ad altri corpi. La corrente del fiume che fa muovere le macine di un mulino

L’energia cinetica e i sistemi di riferimento Il valore dell’energia cinetica, come quella di altre grandezze dipende dal sistema di riferimento usato. Anche le distanze percorse dipendono dal sistema di riferimento usato Ma anche se i valori numerici cambiano, la eguaglianza tra il lavoro fatto dalla risultante e la variazione dell’energia cinetica risulta valida in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

Applicazione Un oggetto di massa m=10 kg viene portato in un treno dalla velocità nulla alla velocità di 2 m/s percorrendo (sul treno) un tratto di 5 m. Il treno si muove con una velocità di 20 m/s rispetto al marciapiede della stazione. Verificare il teorema delle forze vive rispetto al treno e rispetto al marciapiede.