Le forze conservative g P2 P1 U= energia potenziale Una forza si dice conservativa se il lavoro eseguito dalla forza sul punto materiale P mentre si sposta dalla posizione P1 alla posizione P2 dipende soltanto dalla posizione iniziale e dalla posizione finale e non dal percorso effettuato, dalla traiettoria seguita per andare da P1 a P2, ne da alcun altro parametro come la velocità, il tempo impiegato, ecc. P1 g q P2 Allora esiste una funzione U della posizione del punto materiale P, U(P) = U(x,y,z), tale che il lavoro fatto dalla forza conservativa quando il punto materiale si sposta tra due punti qualsiasi, P1 e P2, è dato dalla differenza tra i valori che la funzione U assume nel punto iniziale P1 meno quello che assume nel punto finale P2. U= energia potenziale

La forza peso Verifichiamo che la forza peso è conservativa: Dobbiamo far vedere che per qualunque percorso il lavoro fatto dalla forza per andare da P1 a P2 è sempre lo stesso indipendente dal percorso. Prendiamo il percorso P1A P2. Prendiamo ora il percorso P1B P2.

La forza peso L’energia potenziale potrebbe essere Prendiamo un qualsiasi percorso tra P1 e P2. L’energia potenziale potrebbe essere

La forza elastica x1 x2 Valutiamo il lavoro fatto dalla forza elastica per spostare il corpo dalla posizione x1 a x2. Lo spostamento è rettilineo ma la forza non è costante Utilizziamo la definizione più generale Il lavoro dipende solo dai punti iniziali e finali: la forza elastica è conservativa! La sua energia potenziale:

L’energia potenziale E’ un’altra forma di energia, legata la posizione di un corpo È possibile cambiare l’energia potenziale di un corpo eseguendo del lavoro (per esempio sollevare un peso U=mgy) le forze conservative Forza peso Forza elastica Forza di gravitazione universale Forza di Coulomb La funzione energia potenziale è determinata a meno di una costante arbitraria h = quota

Determinazione dell’energia potenziale dall’espressione della forza Utilizzando la definizione di energia potenziale: Po P Che può essere riscritta, considerando i punti Po, iniziale, e P, il generico punto dello spazio: Da cui: Non è necessario specificare la traiettoria Per derivare la funzione energia potenziale occorre: Fissare arbitrariamente un punto dello spazio Po. Assegnare un valore arbitrario all’energia potenziale del punto Po. Calcolare il lavoro effettuato dalla forza da Po al generico punto P lungo una qualsiasi traiettoria che connetta Po con P.

L’energia potenziale le forze conservative h = quota Forza peso Il punto di riferimento Po è un punto del piano xz, con y=0 (quota nulla) Ai punti del piano orizzontale y=0 si assegna energia potenziale nulla Forza elastica Il punto di riferimento Po è la posizione dell’estremo libero della molla in condizioni di molla non deformata, x=0. Quando la molla non è deformata, x=0, si assegna energia potenziale nulla Forza di gravitazione universale Forza di Coulomb Il punto di riferimento Po è il punto all’infinto. Al punto all’infinito, si assegna energia potenziale nulla h = quota

Il lavoro effettuato da una forza conservativa su un percorso chiuso è nullo Consideriamo un percorso chiuso P1 g1 p-q P2 g2 Le forze conservative dipendono dalla posizione. P1 g1 q P2

Lavoro della forza di attrito La forza di attrito statico fa lavoro nullo: Nel caso di attrito statico, non c’è spostamento: quindi il lavoro è nullo Se il piano di appoggio si sposta rispetto al SdR utilizzato, si osservi che: il piano e l’oggetto poggiato su di esso subiscono lo stesso spostamento Le forze di attrito sono uguali ed opposte (azione e reazione) Il lavoro complessivo è nullo a La forza di attrito dinamico fa, sempre, un lavoro negativo: Consideriamo un oggetto che viene spostato su di un piano orizzontale scabro.

Lavoro della forza di attrito dinamico Consideriamo un punto materiale che si muove su un piano orizzontale sulla traiettoria g tra P1 e P2. Il modulo della forza di attrito dinamico è P1 g q=p P2 costante Il lavoro effettuato dalla forza di attrito dinamico il lavoro della forza di attrito dinamico non dipende solo dal punto iniziale e da quello finale, ma anche dalla lunghezza della traiettoria scelta Su un percorso chiuso il lavoro è diverso da zero La forza di attrito dinamico non è conservativa

L’energia potenziale in presenza di più forze conservative Il lavoro effettuato da tutte le forze conservative è dato da: L’energia potenziale totale è la somma delle energia potenziali delle singole forze

La conservazione dell’energia Supponiamo di avere un punto materiale che si muove sotto l’azione di forze conservative. Il teorema delle forze vive ci dice che il lavoro della risultante è uguale alla variazione dell’energia cinetica: Poiché tutte le forze sono conservative, il lavoro della risultante può essere messo in relazione con la variazione di energia potenziale Combinando le due relazioni si ottiene: Solo forze conservative: l’energia meccanica totale si conserva!

Relazione lavoro energia Se non tutte le forze sono conservative Il lavoro della risultante sarà la somma del lavoro effettuato Dalle forze conservative Wc Dalle forze non conservative Wnc La variazione dell’energia meccanica totale è uguale al lavoro effettuato dalle forze non conservative. Questa relazione contiene come caso particolare anche la conservazione dell’energia infatti quando non ci sono forze non conservative Wnc=0

L’energia meccanica totale In presenza di forze non conservative l’energia meccanica totale non si conserva La sua variazione è proprio uguale al lavoro delle forze non conservative In realtà non bisogna pensare che dell’energia sia andata distrutta o si sia creata dal nulla, semplicemente c’è stato uno scambio con altre forme di energia. Nel caso di forze dissipative, attrito dinamico, resistenza passiva, il lavoro (negativo) di queste forze è accompagnato da un aumento della temperatura dei corpi interessati L’energia meccanica totale diminuisce mentre aumenta l’energia interna dei corpi (aumento di temperatura) Nel caso in cui si ha un aumento dell’energia meccanica totale (per esempio nelle esplosioni), l’energia interna contenuta nell’esplosivo è stata trasformata in energia meccanica L’esplosivo ha subito una trasformazione chimica.

L’integrale primo del moto La legge di conservazione dell’energia può anche essere usata per determinare la legge oraria quando le forze agenti sono conservative. Con un certo numero di vantaggi sulla seconda legge della dinamica Equazione scalare e non vettoriale Equazione differenziale del primo ordine e non del secondo Come si fa? Consideriamo un moto unidimensionale: l’energia potenziale sarà solo funzione di x, U(x). Che può essere integrata separando le variabili

Il diagramma dell’energia L’energia meccanica totale dell’oscillatore armonico K<0 Punti di inversione del moto La normale N e la forza peso non fanno lavoro Punto di equilibrio stabile P N Fel

La determinazione della forza dall’energia potenziale Nota l’espressione dell’energia potenziale possiamo determinare la forza (direzione verso ed intensità) Superfici equipotenziali Sono il luogo dei punti in cui l’energia potenziale assume lo stesso valore Forza peso: piani orizzontali (h=cost) Forza elastica: piani perpendicolari all’asse x (x=cost) Forza di gravitazione universale e forza di Coulomb: superfici sferiche con centro nell’origine della forza. La forza è perpendicolare alle superfici equipotenziale Consideriamo un qualsiasi spostamento infinitesimo su una superficie equipotenziale (dr tangente alla superficie). Poiché la superficie è equipotenziale dU=0

La determinazione della forza dall’energia potenziale Per uno spostamento che avviene lungo l’asse x: Per uno spostamento che avviene lungo l’asse y: Per uno spostamento che avviene lungo l’asse z:

Il diagramma dell’energia Punti di equilibrio instabile equilibrio indifferente Punti di equilibrio stabile