G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Funzione Indica una relazione o corrispondenza tra due o più insiemi che soddisfa ad alcune proprietà. Il dominio è linsieme di partenza, il codominio quello di arrivo Ogni elemento del dominio è associato con un solo elemento del codominio. Un elemento del codominio può essere associato a più elementi del dominio della funzione Corrispondenza biunivoca dominio codominio dominio codominio

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Funzione Le funzioni più semplici sono quelle che mettono in relazione due soli insiemi –In genere noi useremo funzioni che mettono in relazioni due insiemi di numeri reali o parti di essi. –Si indica con x la variabile indipendente –Linsieme in cui può variare la variabile indipendente si chiama dominio della funzione –Si indica con y la variabile dipendente –Linsieme in cui può variare la variabile dipendente si chiama codominio della funzione –La funzione si scrive come y=f(x) in cui f rappresenta la legge di corrispondenza tra gli elementi del dominio e quelli del codominio

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Esempi di funzioni La legge di corrispondenza può essere espressa analiticamente –y(x)=4x 2 +6x+20(continua) Il dominio coincide con linsieme dei numeri reali il codominio: reali maggiori di 26.5

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Esempi di funzioni –y(x)=sen(x)(continua) Il dominio coincide con linsieme dei numeri reali Il codominio corrisponde allintervallo dei numeri reali compreso tra -1 e 1

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Esempi di funzioni Oppure può essere espressa a parole –y(x) = allintero immediatamente più piccolo di x (non continua) Il dominio coincide con linsieme dei numeri reali Il codominio coincide con i numeri relativi (interi con segno)

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Esempi di funzioni - lottovolante Il profilo dellottovolante stabilisce la corrispondenza tra la coordinata orizzontale e quella verticale

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il limite Data la funzione f(x) Si definisce il limite di f(x) per x che tende ad x o Se la funzione è continua e definita in x o è uguale a f(x o ) Altrimenti bisogna guardare il comportamento della funzione nei pressi di x o Esempi.

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Calcolo della pendenza La pendenza è data da x y x x+ x y(x) y(x+ x) Rapporto incrementale

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Pendenza in un punto Con un solo punto non posso calcolare il rapporto incrementale ( x=0, rapporto incrementale non è definito) Per calcolare la pendenza in un punto faccio il limite del rapporto incrementale per x che tende a 0. Questo limite si chiama derivata della funzione y(x) in x Corrisponde alla pendenza della retta tangente al grafico nel punto considerato.

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La funzione derivata La derivata della funzione y(x) in x la indicheremo: Il calcolo del limite del rapporto incrementale può essere anche inteso come una legge di corrispondenza –Rappresenta una funzione: la derivata della funzione y(x) –Calcolando il limite del rapporto incrementale per ogni valore di x ottengo la funzione derivata:

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La derivata di una funzione Fornisce una misura della variabilità di una funzione reale di variabile reale allinterno dellintervallo di definizione. Dove la derivata è positiva la funzione è crescente Dove la derivata è negativa la funzione è decrescente Dove la derivata è nulla la funzione è costante Sul grafico della funzione la derivata corrisponde alla pendenza del grafico: ossia al coefficiente angolare della retta tangente al grafico nel punto considerato Nei punti di massimo o di minimo relativo la pendenza è nulla: quindi la derivata è nulla.

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Calcolo della derivata per via analitica Se si conosce lespressione della funzione x(t) x = x o + v o t + 1/2a o t 2 con x o = 7.2 m, v o = 11.4 m, a o = -5.0 m Si può calcolare il valore della derivata allistante di tempo t 1 (=per es 2s) usando la definizione:

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Regole per il calcolo della derivata Naturalmente, non è neppure necessario fare ogni volta il limite del rapporto incrementale, ma occorre applicare alcune regole: Funzione costante Somma di funzioni Prodotto Prodotto di una costante per una funzione Rapporto di funzioni

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La derivata di alcune funzioni m reale

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Derivata di una funzione di funzione A volte ci sono funzioni che dipendono da un variabile attraverso unaltra funzione: x(t)=Acos( t+ ) x=Acos( ) con (t)= t+ numeri reali

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Moto rettilineo del punto materiale Punto materiale –Punto geometrico dotato di massa Traiettoria –Il luogo dei punti via via occupati dal punto materiale Moto rettilineo –Moto con traiettoria rettilinea Moto di caduta di un grave, moto alternativo dei pistoni nei cilindri, moto di una automobile lungo una strada diritta, etc.

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 O Descrizione del moto rettilineo Studio del moto di caduta di un grave lungo la verticale Sulla traiettoria definiamo lasse di riferimento (origine e verso) Usiamo un orologio per trovare la corrispondenza tra listante di tempo e la posizione in cui si trova il punto materiale (t=0s inizio dellosservazione)

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Grafico orario Asse delle ascisse = variabile indipendente (il tempo). –È necessaria una scala, per es. 1cm=0,1s Asse delle ordinate = variabile dipendente (la posizione). –Anche qui è utile una scala, per es 1 cm=0,2 m I punti rappresentano le misure, la curva è linterpolazione. La curva interpolante deve essere continua: il punto materiale passa per tutte le posizioni intermedie. La legge di corrispondenza è una funzione seria, ad ogni istante di tempo corrisponde una sola posizione (il corpo non si può trovare in due luoghi diversi allo stesso istante di tempo). Per lo stesso motivo la funzione è continua

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Legge oraria Il grafico orario può anche essere rappresentato mlediante una espressione matematica (legge oraria) Uso del grafico orario o della legge oraria: voglio conoscere la posizione del punto allistante 0,2 s. Con il grafico orario Con la legge oraria

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Grafico orario di un punto materiale fermo Il grafico orario è una retta parallela allasse delle ascisse (dei tempi) (pendenza = 0) Legge oraria corrispondente: x = x o (x=0,31 m)

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Grafico orario di un moto a velocità costante La retta: x=mt+n n= intercetta asse ordinate m= coefficiente angolare Il grafico orario è una retta Legge oraria corrispondente:

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Moto di unautomobile su un tratto rettilineo Esiste una relazione tra la pendenza del grafico orario e la velocità dellautomobile.

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Spostamento e percorso effettuato Grafico orario di un corpo lanciato verso lalto. Legge oraria corrispondente x = x o + v o t + 1/2a o t 2 x o = 7.2 m v o = 11.4 m a o = -5.0 m Consideriamo gli istanti Spostamento= x =x finale -x iniziale x massimo Percorso effettuato: è la lunghezza del tratto effettivamente percorso Nel caso della figura d=(x massimo -x 1 )+(x massimo -x 2 ) x iniziale –Iniziale: t iniziale x finale –finale: t finale

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il segno dello spostamento x massimo x finale Spostamento x =x finale -x iniziale con t > 0 Nel caso di un moto rettilineo non è necessario far ricorso alla rappresentazione vettoriale –Il verso del moto viene rappresentato dal segno di x –Se x >0 allora vuol dire che x finale >x iniziale : il moto è avvenuto nella direzione positiva dellasse delle x –Se x <0 allora vuol dire che x finale <x iniziale : il moto è avvenuto nella direzione negativa dellasse delle x x iniziale

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Velocità media Velocità scalare –Sempre positiva Velocità vettoriale –Positiva -->x crescenti –Negativa-->x decrescenti

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Alla guida di unautomobile, dopo aver percorso una strata rettilinea per 8,4 km a 70 km/h, siete rimasti senza benzina. Avete quindi proseguito a piedi, sempre nella stessa direzione, per 2.0 km fino al prossimo distributore, dove siete arrivati dopo 30 minuti di cammino. Qual è –Qual è lo spostamento complessivo –Il tempo complessivo impiegato –La velocità media