Lavoro di una forza costante Consideriamo un punto materiale che si sposta da A a B in linea retta sotto l’azione di una forza costante F Si definisce il lavoro della forza F come: A B F P s θ Il segno di L dipende dall’angolo tra forza e spostamento:

Definizione generale di lavoro Consideriamo un punto materiale soggetto all’azione di una forza F (in generale variabile) che si sposta da A a B lungo una curva γ Lavoro elementare nel tratto ds: Lavoro complessivo: A B γ F θ ds

Potenza Se lo spostamento da A a B avviene in un intervallo di tempo Δt, si definisce la potenza media come rapporto tra il lavoro e l’intervallo di tempo in cui tale lavoro è stato svolto: Potenza istantanea: In base alla definizione di lavoro elementare si ha:

Unità di misura Equazione dimensionale del lavoro: L=[M L2 T -2] Nel sistema MKS il lavoro si misura in Joule (J) 1 J = 1 kg m2 s-2 Nel sistema CGS il lavoro si misura in erg 1 erg = 1g cm2 s-2 1 erg = 10-7 J Equazione dimensionale della potenza: P =[M L2 T -3] Nel sistema MKS la potenza si misura in Watt (W) 1 W = 1J/s = 1 kg m2 s-3 Nel sistema CGS la potenza si misura in erg/s 1 erg/s = 1g cm2 s-3 1 erg/s = 10-7 W Altra unità di misura per la potenza è il cavallo vapore (CV) 1 CV = 735,5W

Energia cinetica Consideriamo il lavoro elementare compiuto da una forza F in uno spostamento ds ed applichiamo la seconda legge di Newton: Integrando lungo l’arco di traiettoria tra A e B: La grandezza K=(1/2)mv2 prende il nome di energia cinetica L’energia cinetica è una grandezza scalare associata allo stato di moto (velocità) di un corpo L’equazione precedente è nota come teorema dell’energia cinetica

Lavoro della forza peso Calcoliamo il lavoro svolto dalla forza peso per uno spostamento di un punto materiale dalla posizione A alla posizione B x y O A B Nel riferimento scelto: γ P

Energia potenziale gravitazionale Il lavoro della forza peso non dipende dalla traiettoria, ma solo dalla quota di partenza yA e da quella di arrivo yB Se il punto materiale percorre una traiettoria chiusa (A=B) il lavoro è nullo (yA=yB e quindi L=0) Introducendo la funzione U(y) = mgy il lavoro è dato da: La funzione U(y) è detta energia potenziale gravitazionale ed è una grandezza scalare associata alla posizione in cui si trova il punto materiale (data da y) La funzione U(y) è definita a meno di una costante: se si pone U(y)=mgy+c vale sempre la relazione L= -ΔU

Lavoro della forza elastica Consideriamo un punto materiale che si muove lungo un asse x sotto l’azione di una forza elastica da A a B Fissando l’origine nella posizione di riposo della molla: F x O

Interpretazione grafica F(x) x O F=-kx Costruiamo un grafico della forza in funzione della posizione xA xB -kxA -kxB A meno del segno, il lavoro della forza elastica è pari all’area del trapezio

Energia potenziale elastica Il lavoro della forza elastica, come quello della forza peso, non dipende dalla traiettoria, ma solo dalla posizione di partenza xA e da quella di arrivo xB Se il punto materiale percorre una traiettoria chiusa (A=B) il lavoro è nullo (xA=xB e quindi L=0) Introducendo la funzione U(x) = (1/2)kx2 il lavoro è dato da: La funzione U(x) è detta energia potenziale elastica ed è una grandezza scalare associata alla posizione in cui si trova il punto materiale (data da x) La funzione U(x) è definita a meno di una costante: se si pone U(x)= (1/2)kx2 +c vale sempre la relazione L= -ΔU

Lavoro della forza di attrito Consideriamo un punto materiale che si sposta su un piano in presenza di una forza di attrito dinamico: s = lunghezza della curva γ Il lavoro della forza di attrito dinamico è sempre negativo perchè la forza di attrito dinamico è sempre diretta in verso opposto rispetto allo spostamento Il lavoro della forza di attrito dinamico dipende dalla traiettoria compiuta dal punto materiale (s è la lunghezza dello spostamento complessivo) La forza di attrito statico non compie lavoro! (se c’è attrito statico, il punto materiale rimane in quiete!)

Forze conservative Sono forze per le quali il lavoro non dipende dal percorso Esempi di forze conservative: forza peso, forza elastica Esempi di forze non conservative (forze dissipative): attrito A B γ1 γ2 γ3 γ4

Lavoro in un percorso chiuso Calcoliamo il lavoro di una forza conservativa quando un punto materiale si sposta su un percorso chiuso γ1+ γ2 A B γ1 γ2

Energia potenziale Poichè il lavoro non dipende dallo spostamento, ma solo dalla posizione iniziale e da quella finale, si può introdurre una funzione di stato U(x,y,z) detta energia potenziale, tale che: La funzione U(x,y,z) è definita a meno di una costante Se si pone U’(x,y,z) = U(x,y,z)+c si ha ancora LAB=-ΔU’ La costante viene fissata scegliendo un punto P0(x0,y0,z0) e assegnando U(P0 )=U0 Forza peso: U(y)=mgy significa U=0 in y=0 Forza elastica: U(x)=(1/2)kx2 significa U=0 in x=0 L’energia potenziale non può essere definita per forze non conservative, per le quali LAB dipende dal percorso da A a B

Energia meccanica Teorema dell’energia cinetica (valido per tutte le forze): Definizione di energia potenziale (solo per forze conservative): Uguagliando le due quantità a secondo membro si ha: La grandezza Emec=U+K si chiama energia meccanica e, in presenza di sole forze conservative, si conserva (da cui deriva il nome di forze conservative):

Forza ed energia potenziale Consideriamo un punto materiale che si muove da A a B in una dimensione (asse x) sotto l’azione di una forza conservativa F(x). A B x Δx Definizione di energia potenziale: Calcolo del lavoro: Mettendo a confronto i secondi membri:

Curve dell’energia potenziale x U(x) C Equilibrio instabile (U massima) A Emec K=Emec-U E Equilibrio indifferente (U costante) Equilibrio stabile (U minima) B D Regione proibita (K<0)

Energia meccanica e forze dissipative Consideriamo un punto materiale che si sposta da A a B sotto l’azione di forze sia di tipo conservativo che dissipativo Teorema dell’energia cinetica: Calcolo del lavoro: Uguagliando i secondi membri: La variazione di energia meccanica è pari al lavoro delle forze non conservative Si può ristabilire la conservazione dell’energia (primo principio della termodinamica) introducendo altre forme di energia (es. energia termica)