L’Universo Meraviglioso e la Relatività Generale Una passeggiata tra Stelle, Particelle e Geometria

Le Tappe del nostro Viaggio Prima Tappa: La gerarchia delle scale di lunghezza. Seconda Tappa: il contenuto dell’Universo e gli strumenti per esplorarlo Terza Tappa: l’espansione dell’Universo ed il Big Bang Quarta Tappa: Le quattro interazioni e due Modelli Standard Il modello standard delle Particelle Elementari Il modello standard Cosmologico Quinta Tappa: uno sguardo alla Relatività Generale, il linguaggio per descrivere l’Universo e capire la gravitazione Sesta Tappa: soltanto i primi geometri entrano nella scuola di Circino La metrica: una regola per calcolare le distanze........ Stranezze metriche.....

Prima Tappa: Le Scale

La gerarchia delle scale I fenomeni fisici sono legati alle scale caratteristiche di distanze e quindi di energia a cui avvengono. Più piccola é la distanza che si considera più grande é l’energia necessaria per esplorarla. Relatività ristretta Meccanica Quantistica Le costanti fondamentali legano massa e lunghezza una passeggiate per le scale da 1028 a 10-33 cm Facciamo ora

Professor, qual’è la distanza Da dove cominciare ? Professor, qual’è la distanza più grande di tutte É la dimensione del nostro Universo, chiaramente! E’ dalla più remota antichità che l’uomo si interroga sulla struttura dell’Universo Fisico in cui vive e sulle Leggi che governano il suo essere ovvero il suo divenire. Il progresso sulla strada di tale comprensione che è stato compiuto nel XX secolo è strabiliante e non ha paragone rispetto ai progressi compiuti in tutti i secoli precedenti. Con un po’ di presunzione possiamo anche ipotizzare che probabilmente esso rimarrà straordinario anche rispetto ai progressi che verranno compiuti nei secoli successivi. Basti pensare che è soltanto dagli anni tra il 1920 ed il 1930 che si conoscono le reali dimensioni dell’Universo e la sua costante espansione, che la Relatività e la Meccanica Quantistica sono state scoperte nei primi trent’anni del secolo e che è soltanto in questo secolo che la struttura dell’atomo, del nucleo atomico e dei suoi componenti subnucleari sono state svelate. La straordinario successo del secolo XX si può però misurare facilmente sulla base di questa considerazione. Oggi noi sappiamo con ragionevole certezza che l’intero edificio dell’Universo è determinato da e si regge su quattro interazioni, o forze fondamentali. Di queste quattro interazioni soltanto due erano note all’inizio di questo secolo, ed una sola era stata sufficientemente compresa all’inizio del secolo decimottavo.

Domande e Risposte ingenue..... Se qualcuno vi dicesse che l’Universo é vecchio di Tu = 14 miliardi di anni, quanto pensereste che esso possa essere grande? 1 anno = 365 £ 24 £ 60 £ 60 sec ¼ 107 sec Velocità della luce c = 300.000 km/sec = 3 £ 1010 cm /sec Penseremmo che il raggio dell’Universo debba essere qualcosa come c £ Tu ¼ 1028 cm . Questa infatti è la distanza massima che un fotone emesso al primo istante di vita dell’Universo può aver percorso da allora ad oggi. Alternativamente se riuscissimo a misurare la distanza degli oggetti più lontani e vedessimo che essi sono a 1028 cm da noi, concluderemmo che l’Universo ha almeno 14 miliardi di anni di età

Bravi! Risposta quasi esatta! Dunque partiamo da 1028 cm, ma dove terminiamo? É quella per esplorare la quale ci vuole la energia più grande! é fissata dalla costante di Newton!!!! Papà, qual’è la distanza più piccola di tutte

1028 cm 104 Mpc Hubble = età dell’universo 1026 cm 100 Mpc Scala alla quale l’Universo é omogeneo 1024 cm 1 Mpc Estensione di un ammasso galattico ¼ 103 galassie 1022 cm 104 pc Estensione di una Galassia Modellizzazione dell’Universo La Via Lattea

Distanza dalle stelle visibili 1019 cm ¼ 10 anni luce Distanza dalle stelle più vicine 1015 cm 3 giorni luce Distanza del Sole da Plutone, il pianeta più lontano 1013 cm 108 km Distanza Terra Sole

109 cm 106 cm 104 cm 102 cm 1-2 metri Raggio della Terra Altezza delle montagne più elevate 104 cm Altezza di un grattacielo 102 cm 1-2 metri Dimensione di un essere umano

10-2 cm 10-5 cm 10-8 cm 10-13 cm 1 fermi Dimensione di un virus Dimensione dell’atomo 10-13 cm 1 fermi Dimensione del nucleo atomico

10-15 cm 1 GeV .................... 10-33 cm lunghezza di Planck Massa della particella W mediatrice delle interazioni deboli .................... 10-33 cm lunghezza di Planck Un evento di produzione di W al CERN Il grande deserto: uno dei problemi della fisica fondamentale

Seconda Tappa: Ilcontenuto dell’Universo

Il contenuto dell’Universo: LeGalassie 10 milioni anni luce =1022 cm M82 ad 11 milioni di anni luce da noi è una starbust galaxy dove stelle supermassive si formano e muoiono ad una velocità 10 volte superiore a quella media della Via Lattea. La fotografia mostra una sovvrapposizione dell’immagine ottica (azzurra) e di quella a raggi X.

Le Galassie si scontrano, talvolta NGC 4038 and NGC 4039, sono due galassie a 60 milioni di anni luce da noi nella costellazione del Corvo. Sono incastrate in una titanica collisione che ha creato una zona di intensa creazione di stelle. Il sistema è chiamato Antennae Galaxies. Nella zona di scontro vi sono migliaia di supernovae ..... 1022 cm = 10 milioni di anni luce

La Via Lattea è la nostra Galassia Le galassie sono raggruppate in ammassi, gli ammassi in ammassi di ammassi, ma alla scala di 1028 cm l’Universo appare isotropo ed omogeneo La nostra galassia ha una dimensione radiale di circa 1022 cm.

La nostra Galassia, la Via Lattea ne contiene qualcosa come Ed ora le stelle....... La nostra Galassia, la Via Lattea ne contiene qualcosa come 1011 cioè 100 miliardi.

Il Contenuto dell’Universo: Le Stelle A molte stelle piace la compagnia: fanno coppia e formano sistemi binari Sirius A. Nel visibile é la stella più luminosa della notte. Dista circa 8 anni luce dalla Terra. E’ parte di un sistema binario. La compagna, piccolissima è: Sirius B, la nana bianca a noi più vicina

Stelle giovani: le Pleiadi per esempio Ad un parsec = 3 anni luce da noi, ci sono le Pleiadi. E’ un cluster di circa 500 stelle, piuttosto giovani: 70 milioni di anni rispetto ai 4.5 miliardi di anni del nostro Sole. Molte di queste giovani stelle blu, sono potenti sorgenti di raggi X.

Stelle morte: le stelle di neutroni o pulsars sono remnants delle supernovae Nel 1054 gli astronomi Cinesi osservarono ad occhio nudo una stella nuova luminosissima che poi sparì. Era l’esplosione di una supernova nella Nebulosa del Granchio. Oggi con i telescopi a raggi X possiamo osservare il remnant di quella esplosione: una pulsar in Crab Nebula.

In realtà la pulsar del 1054 ha una compagna, un’altra pulsar, Geminga Questa immagine ai raggi X ce le rileva entrambe: 1054 remnant

Che cos’è una pulsar? Una pulsar è una stella di neutroni. E’ costituita da circa una massa stellare, cioè 1033 gm, di materia nucleare concentrata in una sfera di soli 3-4 km di raggio. Ha un momento magnetico enorme, tipicamente non allineato con il momento angolare e per questo diventa una sorgente di onde radio. Può anche essere una sorgente di raggi X attraverso le interazioni del plasma circostante con il suo campo magnetico.

Le stelle con una massa di 10 MS finiscono la loro vita con una esplosione spettacolare, nota come supernova. L’esplosione avviene quando la stella ha esaurito il combustibile nucleare nella sua parte più interna. Quando l’energia prodotta nella fusione nucleare non riesce più a controbilanciare l’attrazione gravitazionale la stella dapprima collassa su stessa e poi esplode quando tutta l’energia gravitazionale è rilasciata. L’esplosione proietta nello spazio gli strati esterni della stella. Essi sono composti di carbonio, ossigeno, neon e silicio, prodotti dalle reazioni termonucleari quando la stella era in equilibrio. Si produce anche una onda d’urto che accellera tutto questo materiale e lo riscalda a circa 10 milioni di gradi. La temperatura è così alta che non produce luce visibile, ma raggi X. Dopo l’esplosione il nucleo privo di energia collassa definitivamente su stesso e costituisce od una stella di neutroni od un buco nero, se la masssa iniziale era ancora più alta 20 MS

Esplosione di una supernova Poi esplosione Prima implosione Si è formato il remnant, una pulsar od un buco nero

Il diagramma di Herzsprung Russel Osservare la popolazione stellare è come osservare una popolazione umana ad un certo istante di tempo. Troviamo vari tipi di persone, più vecchie, più giovani, mature. Con un pò di riflessione scopriamo che i vari tipi sono le fasi di una vita tipica. Le stelle della sequenza principale rappresentano le fasi di vita di una stella media come il nostro sole. Nel diagramma di H R si pone in ascissa il tipo spettrale (= la temperatura) ed in ordinata la magnitudine (=la luminosità) Infatti possiamo anche .......

fare un diagramma della popolazione stellare con la temperatura in ascissa e la luminosità (o massa) in ordinata ottenendo la stessa figura. Le nane bianche sono anormalmente piccole e caldissime, perché? Lo capiremo dopo aver dato uno sguardo al principio di Pauli. Non possiamo capire le Stelle senza capire le Particelle Elementari...... Abbiate pazienza!!!

Il telescopio extraterrestre Hubble Per indagare il cielo disponiamo oggi di un gigantesco telescopio posto in orbita attorno al Pianeta

Terza Tappa: l’espansione dell’Universo ed il Big Bang

Riconsideriamo:.............. La Via Lattea 10.000 anni luce L’Universo appare granulare alle scale più basse. La Via Lattea 10.000 anni luce 10 milioni di anni luce 100 milioni di anni luce Ma a 1028 cm = 1 miliardo di anni luce appare omogeneo

Nel 1929 Hubble scopre la recessione universale delle Galassie Le Galassie si allontano tutte radialmente da noi (dal Sole) e si allontanano tanto più velocemente, quanto più sono lontane. Velocità di recessione Costante di Hubble Distanza

La legge di Hubble si verifica attraverso la misura del redshift Le righe spettrali delle galassie lontane appaiono spostate verso il rosso

Come capire la legge di Hubble? Risposta: L’Universo si espande! Andando a ritroso nel tempo torniamo ad un istante in cui l’Universo era piccolissimo e tutta la materia era concentrata in una regione infinitesima di spazio. La densità di energia era infinita. Le galassie sono come palle disposte e su di un telo. Esse sono ferme ma è il telo che si dilata.

Immaginate la superficie di una sfera I puntini sulla superficie rappresentano le galassie. se la sfera si espande ogni puntino si troverà più distante da ogni altro puntino di quanto esso lo fosse l’istante precedente FATTORE di SCALA: rAB A B C rAC Le distanze sono funzioni del tempo dAB = a(t) rAB dAC = a(t) rAC

La velocità é.....la derivata della distanza rispetto al tempo quindi La costante di Hubble è in realtà una funzione del tempo è il suo valore al tempo attuale

Espansione dell’Universo L’Universo può avere tre diverse geometrie nelle sue sezioni a tempo costante, ma in ogni caso si espande. L’espansione è semplicemente una dilatazione dello spazio tridimensionale Universo sferico (k=1) Universo iperbolico (k= - 1) Universo Piatto (k=0)

L’Universo piatto Nella geometria euclidea lo spazio è diviso in cubi ed un osservatore ha la sensazione dell’ordinaria, familiare prosepettiva: l’apparente dimensione angolare degli oggetti è inversamente proporzionale alla loro distanza

L’Universo sferico Lo spazio sferico mostrato qui é tessellato da dodecaedri regolari. La geometria dell spazio sferico è simile a quella della superficie della Terra. Siamo su una sfera tridimensionale anziché bidimensionale. La prospettiva in uno spazio sferico é peculiare. Oggetti sempre più lontani dapprima diventano più piccoli in dimensione angolare, ma raggiunta una dimensione minima crescono di nuovo in dimensione apparente al crescere della loro distanza. Questo é dovuto alla focalizzazione dei raggi luminosi

L’Universo iperbolico Lo spazio iperbolico mostrato qui è tessellato di dodecaedri regolari, cosa impossibile nello spazio Euclideo. La taglia delle celle é dell’ordine di grandezza della curvatura. Per oggetti vicini la prospettiva nello spazio iperbolico é molto simile a quella dello spazio Euclideo, ma la dimensione angolare apparente decresce molto più rapidamente con la distanza. Infatti decresce in modo esponenziale.

L’evoluzione del raggio di curvatura con il tempo cosmico Universo aperto di curvatura negativa o nulla Universo chiuso di curvatura positiva

Chi lo dice? Lo dice un’equazione differenziale, l’equazione di Freedman: per la materia per la radiazione Da dove nasce l’equazione di Freedman? Dalla Relatività Generale. E’ l’equazione di Einstein per il fattore di scala a(t) !!

Quarta Tappa: Le quattro interazioni e due Modelli Standard

Le Quattro Interazioni Fondamentali La gravità è universale. Tutte le masse la subiscono. L’interazione elettromagnetica è trasmessa dai fotoni L’interazione debole è trasmessa dai W e Z. Fa decadere il neutrone. L’interazione forte è trasmessa dai gluoni. Incolla insieme i nucleoni da Le quattro interazioni fondamentali sono: l’interazione gravitazionale l’interazione elettromagnetica l’interazione debole l’interazione forte. L’interazione gravitazionale è la più famigliare a tutti: essa è responsabile della caduta dei gravi, del moto dei pianeti attorno al Sole e della struttura su grande scala dell’Universo. Quest’interazione è universale perché è subita da tutti i corpi dotati di massa. In realtà dopo Einstein noi sappiamo che essa è ancora più universale: siccome massa ed energia sono la stessa cosa, anche le particelle di massa nulla come il fotone, cioe’ la luce stessa, subiscono l’attrazione gravitazionale. L’interazione eletromagnetica è responsabile di tutti i fenomeni elettrici e magnetici, della propagazione della luce e della struttura degli atomi e delle molecole. Essa è trasmessa dai quanti di luce, i fotoni. L’interazione debole, piu’ elusiva è responsabile di certi decadimenti nucleari come il decadimento beta che trasforma un neutrone in protone piu’ elettrone, piu’ neutrino. Fu scoperta negli anni trenta. La prima teoria di tale interazione fu fatta da Enrico Fermi. L’interazione forte è la colla nucleare che rende conto dell’esistenza dei nuclei e dei nucleoni.

Oggi abbiamo una buona teoria delle interazioni fondamentali….. Il Modello Standard C Y SU(3) x SU(2) W x U(1) La gravità di Einstein spiega la legge di Newton, il moto dei pianeti, la struttura dell’Universo a grande scala Descrive le interazioni elettrodeboli e spiega la struttura dell’atomo e del nucleo atomico. Il Modello Standard contiene i mattoni fondamentali che costituiscono la materia La situazione intellettuale di uno studente in Fisica degli anni ‘ 90 è molto diversa da quella di un suo omologo degli anni ‘ 60 od anche dei primi anni ‘ 70. Allo studente contemporaneo ciò che il Corso di Laurea può presentare è una visione ancora imperfetta, ma coerente ed esauriente delle leggi fondamentali dell’Universo fisico. La Relatività Generale spiega la gravitazione ed è l’ambito in cui si può studiare la cosmologia. Ponendo insieme la cromodinamica quantistica che spiega le interazioni forti con la teoria unficata elettrodebole si ottiene il modello standard che spiega le interazioni non gravitazionali. L’intero edificio della Natura è ricondotto a pochi costituenti elementari che interagiscono tramite forze la cui legge è nota. Trent’anni fa, invece, non vi era alcuna teoria certa delle interazioni forti: l’universo subnucleare appariva ancora un indecifrabile rebus popolato da migliaia di particelle instabili sulla cui natura si discuteva. Nemmeno i principi su cui la teoria di questi fenomeni doveva fondarsi erano chiari ed universalmente accettati. Circolavano al contrario idee molto differenti tra di loro e contrapposte.

I mattoni sono particelle elementari caratterizzate da: Quanto gravita Quanto ruota Come subisce le interazioni forti Come subisce le interazioni deboli Tutto si ripete tre volte Massa Spin Colore Sapore Numero di famiglia Chi sono dunque i mattoni elementari di cui è costituita la materia? Sono particelle elementari e quest’ultime, per dirla in modo semplice benchè impreciso, sono caratterizzate dai loro attributi essenziali: la massa lo spin il colore il sapore ed il numero della famiglia a cui la particella appartiene. Così come la carica elettrica ci dice quanto una particella subisce l’interazione elettrica, così la massa ci dice quanto essa gravita, cioè qual’e’ il suo contenuto di energia quando essa è a riposo. Lo spin ci dice quanto essa ruota attorno ad un suo asse intrinseco. Il colore è la carica della particella rispetto alle interazioni forti, mentre il sapore, che generalizza il concetto di carica elettrica è la carica elettrodebole. Le cose sono più complicate di quanto esse siano nel caso elettromagnetico perché di colori e di sapori ce ne sono piu’ di uno. Nel caso elettromagnetico possiamo solo dire quante unità di carica una particella trasporta. Nel caso forte dobbiamo dire quante unità di carica rossa, di carica blu e di carica bianca essa trasporti. I colori infatti sono tre. Similmente per i sapori che sono due. Un fatto peculiare è poi che particelle con gli stessi attributi di spin, colore e sapore e sapore sono ripetute tre volte a masse ogni volta più elevata. Le repliche di gruppi di particelle con le stesse proprietà si chiamano famiglie ed oggi sappiamo di avere esattamente tre famiglie nell’Universo. Le particelle appartengono a due grandi classi: i bosoni ed i fermioni

Fermioni e bosoni si differenziano per il tipo di spin Lo spin é il momento angolare intrinseco delle particelle elementari Valore dello spin =numero intero BOSONE Valore dello spin = numero semi intero FERMIONE Un’altra distinzione fondamentale tra particelle elementari è il tipo del loro spin, cioè il loro momento angolare intrinseco. Per profonde, ma semplici ragioni matematiche, lo spin può essere soltanto un numero intero, uno, due, tre e così via oppure un numero seminitero, un mezzo, tre mezzi, cinque mezzi e così via. Quando lo spin è intero diciamo che la particella corrispondente è un bosone dal nome del fisico indiano Bose. Quando lo spin è semintero diciamo che la corrispondente particella è un fermione dal nome del nostro grande padre Enrico Fermi. Bosoni e Fermioni hanno comportamenti molto diversi tra di loro ed universali. Quali sono dunque le semplici, ma profonde ragioni matematiche che presiedono a questa distinzione? Quale struttura concettuale presiede a questa strana distinzione?

Avete studiato i gruppi a scuola? Questi gruppi, dalle elementari all’Università, che barba! Voglio andare al Cinema In molte scuole medie e perfino elementari la nozione di gruppo viene ora introdotta. Agli allievi potrà talvolta sembrare che questa sia un inutile esercizio di formalizzazione di concetti che essi hanno già appreso nell’aritmetica e nella geometria elementare e padroneggiano senza problemi. Non è così. La fisica moderna non può fare a meno della teoria dei gruppi e senza di essa un formulazione delle leggi fondamentali della natura non sarebbe nemmeno concepibile. Il punto di vista che deve essere recepito è il seguente. Nella vita comune prima vengono gli oggetti, poi le loro eventuali simmetrie. Dato un oggetto, per esempio un solido regolare ci si può chiedere quali sono le rotazioni rispetto alle quali esso resta invariante. Nell’ordine razionale delle cose che il fisico ed il matematico inseguono con caparbia determinazione si procede invece al contrario. Prima ci si chiede quali sono sono le possibili simmetrie e successivamente quali sono gli oggetti o le teorie che possono realizzarle. Così, ad esempio, prima si scopre che esistono tre possibili gruppi finiti di rotazioni nello spazio a tre dimensioni e poi si deduce l’esistenza di quattro solidi platonici: il tetraedro, l’ottaedro, il dodecaedro e l’icosaedro, gli ultimi due essendo due diverse realizzazioni dello stesso gruppo. La Teoria dei Gruppi è l’essenza del concetto di Simmetria. Le simmetrie sono la linfa vitale delle Teorie Fisiche.

GRUPPO delle ROTAZIONI Rotazione Le rotazioni, a tutti famigliari forniscono infatti il prototipo di cosa sia un gruppo. E’ un insieme i cui elementi sono trasformazioni attive su qualche cosa. Un gruppo é un insieme i cui elementi sono operazioni di trasformazione che possono essere eseguite in sequenza

Il prodotto di due elementi del gruppo é...... La sequenza delle due trasformazioni: A R1 A R2 R3=R2R1 Che cosa si fa in un Dipartimento di Fisica Teorica? Si lavora con carta e matita, gesso e lavagna, alla costruzione di teorie fisiche. Viene prima la Teoria oppure l’Esperimento? Dipende. Oggi la specializzazione è grande in tutti i campi ed anche la fisica teorica è divisa in varie aree. Vi è una divisione in aree di interesse secondo il tipo di fenomeni a cui si dedicano i propri studi: la fisica teorica nucleare studia il nucleo atomico, la fisica teorica delle particelle elementari studia i costituenti subnucleari, l’astrofisica teorica studia la struttura delle stelle e delle galassie e così via. Ma vi è anche un’altra divisione che riguarda invece il metodo di indagine ed il rapporto con la fisica sperimentale. Da una parte vi sono i teorici fenomenologici il cui impegno è confrontare i dati forniti dagli esperimenti con le predizioni fornite dalla teoria. Da questo confronto essi deducono i vincoli a cui una teoria deve soddisfare e distinguono tra varie possibili modellizzazioni nell’ambito di quadri teorici generali. Dall’altra parte ci sono i teorici teorici. Questi ultimi non si curano direttamente del confronto con l’esperimento, ma studiano la struttura delle teorie, ne analizzano i principi di base e mirano alla costruzione di un unico quadro teorico complessivo che abbracci tutte le leggi della fisica dall’infinitamente grande all’infinitamente piccolo: la Teoria del Tutto. Il linguaggio, la metodologia e le idee di questi teorici sono tutti profondamente radicati in una visione matematica dell’Universo. A . In genere il prodotto non é commutativo

I mattoni elementari del Modello Standard I Bosoni sono i mediatori delle forze che “incollano” la materia I Fermioni sono i costituenti della materia: Leptoni s=1/2 Quarks s=1/2 Gravità gravitone : s=2 m=0 up down strange charm bottom top Interazioni forti gluoni: s=1 m=0 elettrone mu tau neutrini Fatte queste premesse, quali sono dunque I mattoni elementari previsti dal modello standard? Essi si dividono in due classi: I costituenti elementari della materia ed i mediatori delle forz. I costituenti sono fermioni di spin 1/2 mentre i mediatori sono bosoni. La materia fermionica si divide ulteriormente in due sottoclassi. La prima classe é data dai leptoni che si distinguono per avere sapore, ma non colore. Dunque essi subiscono l’interazione debole, ma non quella forte. Come si é detto ogni cosa é replicata tre volte corrispondentemente all’esistenza di tre famiglie. I leptoni della prima famiglia sono l’elettrone ed il suo neutrino che formano un doppietto di sapore. Nella seconda famiglia abbiamo il doppietto del mu e del suo neutrino e nella terza il doppietto del tau e del suo neutrino. La seconda classe di materia fermionica é data dai quarks. Essi si distinguono per avere sia sapore che colore. Essi sono dei doppietti di sapore esattamente come i leptoni ma ciascun doppietto é replicato in tre colori diversi che formano un tripletto di colore. Inoltre vi é un doppietto di tripletti per ciascuna delle tre famiglie. La prima famiglia contiene il doppietto dei quark up and down. La seconda famiglia il doppietto dei quark strange and charm. La terza famiglia il doppietto bottom and top. Il mediatore della forza gravitazionale é il gravitone che ha massa zero e spin 2. I mediatori dell’interazione forte sono gli otto gluoni con massa zero e spin 1. Le interazioni elettrodeboli sono mediate da quattro bosoni di spin 1. Di essi solo il fotone ha massa zero. Le particelle W e Z che mediano l’interazione debole sono massive. Questo non é casuale, ma si comprende in termini generali attraverso un meccanismo di rottura spontanea della simmetria. E’ nuovamente l’intima relazione tra dinamica e teoria dei gruppi Interazioni elettro-deboli fotone: s=1 m=0 W,Z: s=1, m>0

Il modello standard é stato verificato al CERN a Ginevra L’anello di LEP é in un profondo tunnel sotto Terra Il rivelatore Delphi I fasci collidono nelle zone di interazione

UA1 rivelò la particella W, (1983) mediatrice delle interazioni deboli Questa é la ricostruzione di un evento di produzione del W I laboratori sono sopra la zona di interazione

La distinzione più importante tra bosoni e fermioni é.................. La statistica. I BOSONI ubbidiscono la statistica di BOSE EINSTEIN I FERMIONI ubbidiscono la statistica di FERMI-DIRAC Come conseguenza di quest’ultima per i fermioni vige IL PRINCIPIO di ESCLUSIONE di PAULI E’ sopratutto a causa di quest’ultimo che la materia é dura e come la conosciamo La distinzione più importante tra bosoni e fermioni é dovuta al loro radicalmente opposto modo di comportarsi quando vengono costretti a vivere insieme in grosse compagnie. Tale distinzione si ricollega a ciò che in fisica si chiama la statistica delle particelle e che conduce, per I fermioni al fondamentale principio di esclusione di Pauli. Il principio di pauli é la base per la spiegazione di tutta la tavola periodica degli elementi chimici ed in definitiva per la spiegazione del comportamento macroscopico della materia.

Non ho ancora spiegato lo spin, ma la statistica.................. é un concetto più facile da illustrare. Consideriamo un insieme di N particelle (qualunque cosa ciò significhi). In meccanica classica descriviamo lo stato del sistema dicendo, di ciascuna particella, in quale stato di moto ella si trova. la particella Pino si trova costì ed ha la velocità tale, la particella Giovanni si trova colà ed ha la velocità tal altra e così via. nel mondo quantico tale dovizia di particolari è priva di senso, poichè le particelle sono indistinguibili. Lo stato del sistema si descrive enumerando prima gli stati disponibili e dicendo poi quante particelle si trovano in ciascuno di essi Di qui nasce il concetto di NUMERO di OCCUPAZIONE

Precisamente LA STATISTICA vuol dire: La funzione d’onda deve essere, per i fermioni completamente antisimmetrica, per i bosoni completamente simmetrica Spiegazione: In Meccanica quantistica la funzione d’onda ....,n), é un numero complesso il cui modulo dà la probabilità che le n-particelle siano negli stati ....,n rispettivamente. La statistica richiede che sotto un qualunque scambio: i j j i

La funzione d’onda si comporti come segue B.E. + F.D. - Uno scambio La scelta di questo segno distingue le due statistiche. Per quella di Bose Einstein (simmetrica), la funzione può essere diversa da zero anche con due o più argomenti uguali. Per quella di Fermi Dirac invece essa si annulla ogni volta che ha due argomenti uguali. Quindi la probabilità che due fermioni siano nello stesso stato é zero!

All’ albergo Fermioni chi arriva tardi deve alloggiare ai piani superiori, più costosi, energeticamente.....! Mi dispiace, signor elettrone, ma abbiamo solo camere singole. La prima libera é al quarto piano

All’ albergo Bosoni c’é sempre posto All’ albergo Bosoni c’é sempre posto. E la camerata (lo stato fondamentale) é aperta a tutti i poveretti Non c’è problema, signore. Abbiamo sempre posto. Se vuole spendere poco, abbiamo la camerata

Il sistema periodico degli elementi é una conseguenza del Principio di Esclusione. Due elettroni non possono stare nello stesso STATO dinamico, perché sono fermioni. Perciò si dispongono via via nelle caselle disponibili e...........

Un esempio spettacolare di conseguenza del Principio di Pauli é dato dalle stelle Nane Bianche Una stella comincia la sua vita come una grande massa fredda di gas, parte di una nebula come la grande Nebula in Orione (foto di sinistra). Sotto effetto della gravità si contrae e si scalda fino a che si innescano le reazioni termonucleari e l’idrogeno viene fuso in elio. In questo stato (sequenza principale) una stella media, come il nostro sole, brilla e dura circa 10 miliardi di anni. (foto al centro). Quando tutto il combustibile é bruciato stelle come il sole finiscono la loro esistenza come nane bianche: stelle densissime, caldissime che emettono pochissima luce, molto bianca. Stelle più grandi finiscono invece esplodendo come supernovae. Una é mostrata nella Grande Nube di Magellano (foto a sinistra)

La risposta é il Principio di Esclusione Le nane bianche sono anormalmente piccole e caldissime, perché? La risposta é il Principio di Esclusione Bruciato tutto il suo combustibile la stella è un ammasso di elio spento e nulla più può contrastare la gravità che forza la stella a contrarsi. Contraendosi la stella diventa così densa che ad un certo punto gli elettroni di tutti gli atomi di elio sono così vicini l’uno all’altro da formare un unico gas. La stella aveva la massa del sole e quindi gli elettroni sono in numero enorme. La stella non ha più energia da regalare agli elettroni ed essi vorrebbero stare tutti allo stato energetico più basso possibile. Ma l’albergo dei fermioni ha solo camere singole. Così gli elettroni riempono tutti gli stati energetici a partire dal più basso a salire fino ad accomodarsi tutti senza lasciare buchi. La gravità vorrebbe comprimere ancora, ma più di così non si può, data la regola delle camere singole. La stella si comporta come un gas allo zero assoluto, ma la sua temperatura é milioni di gradi, perché? Perchè essendo tanti gli elettroni, per sistemarli tutti ce n’è un numero apprezzabile in stati energetici molto elevati.

Per chi sa un briciolino di matematica Per chi sa un briciolino di matematica. Alla base ci sono i concetti di: Gruppo delle rotazioni Rappresentazioni del medesimo Le particelle elementari si classificano in base a molte proprietà di simmetria. Ogni simmetria é un gruppo. Il gruppo delle rotazioni ha due speci diverse di rappresentazioni, intere e semintere. A questa distinzione geometrica corrisponde una distinzione di ruolo dinamico Per chi ha un po’ di educazione matematica che potrebbe aver ricevuto anche in una classe liceale, il concetto basilare è quello di gruppo di trasformazioni e nell’ambito della teoria dei gruppi quello di rappresentazioni. Si parla molto in fisica ed anche nel linguaggio comune di simmetrie. Al concetto di simmetria corrisponde una precisa nozione matematica che è quella di gruppo. Un gruppo è una struttura algebrica astratta. Data una tale struttura esistono molti (in genere infiniti) modi di realizzarla esplicitamente come insieme di operazioni di trasformazione su oggetti. Tali realizzazioni si chiamano rappresentazioni. Il famigliare gruppo delle rotazioni spaziali ha due classi infinite di rappresentazioni quelle intere e quelle semintere. Le rappresentazioni del primo tipo corrispondono ai possibili bosoni, le seconde ai possibili fermioni. A questa distinzione geometrica corrisponde una distinzione di ruolo dinamico.

Due Modelli Standard Modello Standard delle interazioni elettrodeboli e forti Modello Standard Cosmologico E’ basato sulla Teoria di Gauge del gruppo SU(3) £ SU(2) £ U(1) e descrive accuratamente la fisica alle energie disponibili agli acceleratori. E’ basato sulla Relatività Generale e sull’ipotesi di omogeneità ed isotropia dell’Universo. Spiega molto bene la struttura attuale dell’Universo e la sua dinamica a partire da un BIG BANG Il modello standard però non spiega i suoi molti parametri e presenta un problema (la gerarchia delle scale) di consistenza logica alle alte energie. Deve essere dedotto da una teoria superiore unificata. Lo standard Big Bang model, però non spiega soddisfacentemente la piattezza e l’omogeneità ed altre caratteristiche salienti dell’Universo prese come ipotesi. Bisogna introdurre lo scenario inflazionistico che può derivare solo da una teoria superiore unificata

Quinta Tappa: Uno sguardo alla Relatività Generale Che cos’è e che cosa predice Einstein nel 1915 scopre la teoria della gravitazione che sostituisce ed estende la Teoria di Newton e la rende compatibile con il principio di equivalenza e covarianza generale….

Che cos’è è più difficile da spiegare, ma alcune delle sue predizioni sono semplici da riassumere.. Le orbite dei pianeti non sono ellissi chiuse ma curve di questo tipo: Questo angolo è l’avanzamento del periastro Per il pianeta Mercurio vale

PREDIZIONI più significative La luce è deflessa dai campi gravitazionali, dalla massa solare, per esempio. (= Lenti gravitazionali) C’è uno spostamento verso il rosso delle frequenze luminose in presenza di campi gravitazionali Esistono le onde gravitazionali Esistono i buchi neri, regioni di spazio dove la forza gravitazionale è così intensa che nemmeno la luce può sfuggire (dunque non possiamo vedere dentro…!) L’universo non può essere statico. Si espande. Dunque ha avuto origine da un’esplosione iniziale=il Big Bang (Ne abbiamo già parlato) Le stelle hanno un limite superiore di massa oltre il quale,al momento in cui hanno finito il carburante collassano necessariamente in buchi neri

L’interferometro VIRGO Costruito vicino a Pisa da una collaborazione Italo Francese sta entrando in funzione in questi mesi: dovrebbe rivelare le onde gravitazionali: 90 dopo la scoperta di Einstein E’ un esperimento di Michelson Morley: l’onda gravitazionale entrante deforma lo spazio--tempo e contrae i bracci del rivelatore I bracci sono lunghi 6 Km.

L’interferometro Americano Ligo ad Hanford Lo schema dell’esperimento di interferometria

Da dove vengono le onde gravitazionali Ad esempio dalla collisione e poi dalla fusione di due stelle di neutroni o di buchi neri che formano un sistema binario. Questi fenomeni sono estremamente complessi, ma le Equazioni di Einstein possono essere risolte numericamente al computer e si ottengono delle simulazioni come queste.

Implicazioni Cosmologiche della Relatività Generale Universo in Espansione e Big Bang iniziale La radiazione fossile a tre gradi Kelvin Il collasso gravitazionale e la formazione dei buchi neri L’età dell’Universo

Storia Termica dell’Universo Al trascorrere del tempo, dopo il Big Bang, l’Universo si espande e si raffredda. La radiazione di fondo cosmica rimane isotropa e sempre più spostata verso il rosso ( = fredda). Essa può definirsi l’eco dell’esplosione iniziale.

Sesta Tappa: soltanto i primi geometri entrano nella scuola di Circino....... Questi argomenti sono sicuro che sono per voi affascinanti ………ma per farli diventare qualcosa di più che un semplice racconto di fantascienza bisogna digerire i concetti e le strutture matematiche che si celano dietro le parole usate.

Proviamo insieme a capire che cosa significhi asserire che lo spazio tempo è curvo… Questa nozione è la chiave d’accesso al cuore della Relatività Generale ed ai suoi affascinanti segreti. Proveremo con un piccolo esempio in 2 dimensioni, dove possiamo disegnare….

Un esempio di spazio curvo in 2 dimensioni è fornito dall’iperboloide Un esempio di spazio curvo in 2 dimensioni è fornito dall’iperboloide. I punti di questa superficie sono tutti quelli che soddisfano la seguente equazione quadratica Possiamo parametrizzare tutti i punti di questo spazio con due coordinate: Scrivendo:

La metrica: una regola per calcolare la lunghezza delle curve!! Una curva sulla superficie è descritta dando le coordinate come funzioni di un solo parametro t Quanto è lunga questa curva? A B Questo integrale è una regola ! Ogni regola di questo tipo è un Campo Gravitazionale!!!!

Che cosa fanno le particelle in un campo gravitazionale? Risposta: Vanno diritte come nello spazio libero!!!! Ma è il concetto di linea retta che è modificato dalla presenza di gravità!!!! La metafora del telo di Eddington riassume tutta la Relatività Generale. Nello spazio curvo le linee dritte sono diverse dallo spazio piatto!! La linea rossa seguita dalla palla che cade nella gola è una linea dritta (geodetica). D’altra parte lo spazio si incurva sotto il peso della materia che vi risiede e vi si muove!

Che cosa sono le curve diritte? Sono le geodetiche cioè le curve che se deformate un pochino non cambiano quasi di lunghezza. Sono le curve sulle quali si trasportano parallelamente i vettori! Su una sfera le geodetiche sono i cerchi massimi Nel trasporto parallelo l’angolo tra un vettore e la tangente alla curva si mantiene costante. Sulle geodetiche il vettore tangente si trasporta parallelamente a se stesso.

Vediamo quali sono le linee dritte (=geodetiche) sull’iperboloide dl2 >0 geodetica di tipo spazio:non può essere percorsa da nessuna particella (viaggerebbe più veloce della luce) dl2<0 geodetica di tipo tempo. E’ una possibile linea di mondo per una particella con massa! dl2 = 0 geodetica di tipo luce. E’ una possibile linea di mondo per i fotoni e le altre particelle di massa nulla Tre tipi diversi di curve e quindi di geodetiche Relatività = segnatura di Lorentz - , + tempo spazio

Tipo spazio Queste curve giacciono sull’iperboloide e sono di tipo spazio. Esse si estendono dall’infinità negativa nella falda inferiore all’infinità positiva in quella superiore. Si attorcigliano un po’ attorno alla gola ma non fanno mai un giro completo. Sono caratterizzate dalla costante p=pendenza. La forma delle geodetiche è una conseguenza della metrica, la nostra regola per misurare le lunghezze

Tipo tempo Queste curve giacciono sull’iperboloide e sono di tipo tempo. Esse hanno un’estensione limitata in “altezza “ e si attorcigliano completamente attorno alla gola facendo più di un giro completo. Sono caratterizzate dalla costante E=energia La forma delle geodetiche è una conseguenza della metrica, la nostra regola per misurare le lunghezze

Tipo luce Queste curve giacciono sull’iperboloide e sono di tipo luce. Esse hanno un’estensione infinita in “altezza “ e non si attorcigliano attorno alla gola Sono caratterizzate dalla costante a =energia La forma delle geodetiche è una conseguenza della metrica, la nostra regola per misurare le lunghezze

Paragoniamo due metriche in tre dimensioni E’ sufficiente scrivere il quadrato dell’integrando della regola per calcolare le lunghezze A) Metrica piatta B) Metrica di Bianchi 2 Come sono le geodetiche, cioé le linee dritte nelle due metriche? Per la metrica A) la risposta é facile. Le linee dritte sono proprio diritte, sono cioé delle rette. Per la metrica B) esse sono invece delle....spirali circolari...!

Geodetiche nella metrica A Sono le famigliari rette nello spazio tridimensionale

Geodetiche della metrica B Visione tridimensionale Proiezione nel piano xy Sono spirali con proiezione circolare sul piano xy

La Curvatura che cos’é Consideriamo il semipiano superiore con la seguente regola per le distanze (metrica di Poincaré) Le Geodetiche sono cerchi di raggio arbitario con il centro sull’asse reale In un triangolo geodetico qui la somma degli angoli interni è sempre minore di 180°. Questo deficit angolare è la curvatura negativa.

Caduta in un buco nero Questa regola per le distanze si chiama metrica di Schwarzschild ed è la soluzione delle equazioni di Einstein che descrive una stella sferica t=tempo r = coordinata radiale

Che cosa capita ai fotoni? Per le geodetiche di tipo luce si ha: Visto dall’osservatore all’esterno il fotone impiega un tempo infinito a raggiungere l’orizzonte r=m. Nel suo tempo proprio, pero’ esso lo raggiunge in un tempo finito e poi cade dentro. All’interno dell’orizzonte i coni luce sono sempre orientati verso la singolarità r=0

Effetti gravitazionali nella metrica di Schwarzschild Deflessione di un raggio laser Avvicinandosi all’orizzonte l’immagine della compagna (stella blu) è sdoppiata dall’effetto di lente gravitazionale

Caduta nella singolarità Il raggio di Schwarzschild di una stella di massa stellare (1033 gm) é rs ¼ 3 km. L’ultima orbita circolare possibile (ma instabile) è a 3 rS Chi si avvicina a meno di tale distanza cadrà fatalmente dentro l’orizzonte e poi nella singolarità. Sarà stritolato dalle forze di marea

Prolungamento di Kruskal oltre l’orizzonte Si può capire che cosa succede veramente se si fa un cambio di coordinate opportuno e si usano nuovi parametri per descrivere i punti dello spazio tempo Singolarità r=0 Orizzonte r=m Geodetiche di tipo tempo per r>m Geodetiche di tipo tempo per r<0

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