Corso di biomatematica Lezione 3: Distribuzioni di probabilità continue Davide Grandi

Sommario Distribuzioni di probabilità continue: Definizioni Funzione distribuzione cumulativa Densità di probabilità Continue - esempi La distribuzione di gauss-introduzione

Distribuzioni continue Funzione di distribuzione cumulativa La funzione di distribuzione cumulativa per una variabile aleatoria continua X è definita come la probabilità che la variabile X assuma un valore minore di un determinato valore x: P(X<x) = F(X) E’ caratteristica di una variabile aleatoria ed esiste sia per quelle continue che per quelle discrete. Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni continue Funzione di distribuzione cumulativa Le sue proprietà fondamentali sono: F(X) è una funzione non decrescente, cioè per x2 > x1 si ha F(x2)  F(x1) Quando l’argomento della funzione tende a  la funzione di distribuzione tende a zero, F( )= 0 Quando invece l’argomento tende a + la funzione di distribuzione tende a uno, F(+ )= 1 Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni continue Funzione di distribuzione cumulativa :esempio Supponiamo di avere una variabile aleatoria discreta che assume solo cinque valori: le probabilità di ottenere i singoli valori siano: Andiamo ora a costruire la funzione di distribuzione cumulativa, ovvero F(X)= P(X<x) = S xi <x P(X=xi ) Dove la disuguaglianza xi <x significa che la sommatoria è estesa a tutti gli xi minori di x Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni continue Funzione di distribuzione cumulativa :esempio Otteniamo dunque: E il grafico di tale funzione è: Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni continue Funzione di distribuzione cumulativa :esempio Ovvero la funzione di distribuzione cumulativa è sempre una funzione a gradino (per distribuzioni discrete di probabilità) i cui salti sono ovviamente in corrispondenza dei valori possibili della variabile, la somma di tutti i salti è uno (assioma probabilità). Per una distribuzione continua aumentano i valori possibili e diminuiscono gli intervalli, per cui la funzione di distribuziuone cumulativa diventa una funzione continua (sempre crescente) caratteristica delle variabili aleatorie continue. Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni continue Funzione densità di probabilità Definita la funzione di distribuzione cumulativa, vediamo di considerare la probabilità che la mia variabile aleatoria assuma valori in un intervallo con estremi per x1 e x2 : P(x1  X < x2 ) = F(x2 ) – F(x1) Esprimo la probabilità di questo evento attraverso i seguenti 3 eventi: Evento A corrispondente a X< x2 Evento B corrispondente a X< x1 Evento C corrispondente a x1  X < x2 Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni continue Funzione densità di probabilità Avremo che l’evento A si può esprimere come come la somme degli altri due, cioè A=B+C e per il teorema di addizione delle probabilità avremo: P(X < x2 ) = P(X < x1 ) + P(x1  X < x2 ) d a cui ricavo la formula P(x1  X < x2 ) = F(x2 ) – F(x1) Facendo tendere Dx 0 Calcoliamo il rapporto tra la differenza della funzione di distribuzione cumulativa e l’intervallo stesso (derivata) ovvero… Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni continue Funzione densità di probabilità Abbiamo si definisce quindi funzione di distribuzione o densità di probabilità: La funzione p(x) caratterizza la densità di probabilità dei valori in un punto x (esprimo la legge della distribuzione) Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni continue Condizione di normalizzazione la condizione di normalizzazione è la generalizzazione al caso continuo del terzo assioma della probabilità, e dal fatto che F(+ )= 1 abbiamo: Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni continue Distribuzione uniforme Variabili aleatorie di cui è noto a priori che i loro valori possibili appartengono ad un dato intervallo e all’interno di questo intervallo tutti i valori sono equiprobabili si dicono uniformemente distribuite. Considero la variabile aleatoria X soggetta ad una legge di distribuzione uniforme nell’intervallo (a,b) e scrivo la densità di probabilità p(X), che deve essere costante nell’intervallo e nulla al di fuori, cioè p(X)= c per a <x <b p(X)= 0 altrove Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni continue Distribuzione uniforme Per la condizione di normalizzazione avremo che l’area delimitata dalla curva sarà uguale all’unità, ovvero: c(b-a) =1 Da cui risulta c=1/(b-a) Ovvero la distribuzione di probabilità sarà: p(X)= 1/(b-a) per a <x <b p(X)= 0 altrove Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni continue Proprietà della distribuzione uniforme Le caratteristiche fondamentali della distribuzione aleatoria sono: Il valor medio vale La deviazione standard vale: Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni continue Distribuzioni limite Posso parlare di distribuzioni limite se il numero di eventi tende all’infinito (o comunque è sufficientemente grande….). Dopo un certo numero di eventi i risultati ottenuti si disporranno secondo una determinata distribuzione, che diventerà sempre più evidente al crescere del numero di eventi.. Ad esempio vediamo i seguenti istogrammi nel caso in cui si siano effettuate 10, 100 e 1000 misure della stessa grandezza Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni continue Distribuzioni limite Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni continue Esempio come ottenere la distribuzione di Gauss Lanciamo un dado e calcoliamo la frequenza con cui escono i numeri da 1 a 6, dopo un numero abbastanza grande di ripetizioni. Ora lanciamo due dadi, facciamo la somma e vediamo con che frequenza escono i numeri da 2 a 12, dopo un numero abbastanza grande di ripetizioni. Ora lanciamo 3 dadi, facciamo la somma e vediamo con che frequenza escono i numeri da 3 a 18 Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Distribuzioni continue Esempio come ottenere la distribuzione di Gauss Lanciamo N dadi e vediamo con che frequenza escono i numeri da N a 6N. Rappresentiamo il tutto su dei grafici. Al limite di infinite misure la frequenza più probabile sarà……. N, 6N,6N/2? Davide Grandi - Dottorato in Biologia