Radioattività La radioattività naturale è dovuta ai decadimenti a, b e g Decadimento a: viene emesso un nucleo 42He Decadimento b: vengono prodotti un elettrone e- o un positrone e+ b- Definition of nuclear physics Areas of study and the applications b+ cattura elettronica Neutrino n: massa  0, carica = 0, spin 1/2 interagisce debolmente con la materia (abs  10-48 cm2)

Decadimento g: nuclei aventi stati eccitati possono decadere emettendo un g fotoni emessi stato fondamentale DE l Atomo Nucleo ottico raggi X raggi g Conversione interna: si verifica quando l’energia di eccitazione nucleare è persa tramite l’espulsione di un e- atomico (di solito dalla shell K) La vacanza lasciata dall’emissione di un e- porta all’emissione di raggi X o di e- Auger quando l’atomo torna al suo stato neutro. Un e- Auger è un e- atomico che riceve abbastanza energia cinetica da essere espulso, di solito dalla shell L, quando un altro e- cade dalla stessa shell per riempire la vacanza nella shell K Definition of nuclear physics Areas of study and the applications L K

La legge del decadimento Supponiamo di avere N0 nuclei al tempo t = 0. La probabilità che un nucleo decada nell’intervallo di tempo t, t + dt è l dt l è la costante di decadimento (dipende solo dal nuclide e dal modo di decadimento) Sia P(t) la probabilità che un nucleo non sia decaduto dopo un tempo t. La probabilità che un nucleo non sia decaduto dopo t + dt è probabilità che il nucleo non decada fino a t probabilità che il nucleo non decada in t, t + dt Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Poichè P(t + dt) – P(t)  dP, abbiamo Il numero di nuclei N(t) non decaduti dopo un tempo t è quindi

l può quindi essere estratta dal plot di ln A(t) in funzione di t. L’attività A(t) al tempo t è il numero di decadimenti per unità di tempo l può quindi essere estratta dal plot di ln A(t) in funzione di t. Unità della radioattività: sono definite come il numero di decadimenti per unità di tempo - Becquerel (Bq) 1 Bq = 1 decadimento per secondo - Curie (Ci) 1 Ci = 3.7 x 1010 decadimenti per secondo Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Vita media e tempo di dimezzamento La vita media di un nucleo è Il tempo di dimezzamento t1/2 è il tempo dopo il quale il 50% dei nuclei sono decaduti Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Esistono nuclei soggetti a più di un modo di decadimento La probabilità dell’i-esimo modo di decadimento è li dt La probabilità totale di decadimento è Quindi Sia che contiamo la radiazione nel modo di decadimento 1 o nel modo di decadimento 2, osserviamo solo la costante di decadimento totale l. Le costanti l1, l2 determinano la probabilità di decadere in 1 o in 2, Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Esempio: decadimenti del 40K Energia Esempio: decadimenti del 40K

Connessione con la teoria quantistica Nel processo di decadimento abbiamo la transizione fra due stati causata da un potenziale V (più piccolo del potenziale nucleare). La probabilità di transizione è data dalla regola d’oro di Fermi In assenza della perturbazione abbiamo uno stato stazionario descritto dalla funzione d’onda La probabilità di trovare il sistema nello stato a è |a(t)|2 e non dipende dal tempo per uno stato stazionario. Definition of nuclear physics Areas of study and the applications La probabilità di trovare il sistema in uno stato di energia E è legata alla trasformata di Fourier

La funzione d’onda dello stato a è quindi In presenza della perturbazione, per essere consistenti con la legge del decadimento radioattivo dobbiamo avere La funzione d’onda dello stato a è quindi L’esponenziale implica che non possiamo più sapere con esattezza l’energia Ea dello stato. La trasformata di Fourier è ora Definition of nuclear physics Areas of study and the applications quindi

Quindi lo stato finale è sempre ben definito  stati pseudo-stazionari  la probabilità di osservare il sistema nell’intervallo di energia (E,E+dE) è Funzione di Breit-Wigner La larghezza G è una misura dalla nostra incapacità di misurare l’energia. Vediamo che - + E0=m0c2 Malgrado questa incertezza possiamo sempre parlare di transizioni fra livelli distinti. Vite medie maggiori di 10-12 s corrispondono a G < 10-10 MeV, mentre tipiche separazioni fra i livelli sono  10-3 MeV o più. Quindi lo stato finale è sempre ben definito  stati pseudo-stazionari Densità di stati Poichè un solo stato finale può essere raggiunto, alla densità di stati contribuisce solo il campo di radiazione emesso (ad es. direzione e/o stato di polarizzazione) Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Catene di decadimento l1 l2 N1  N2  N3  ... L’attività di N2 è l2 N2(t). Il tasso di variazione della popolazione di N2 è Abbiamo sempre N1(t) = N1(0) exp(-l1t). Ricerchiamo una soluzione del tipo La condizione N2(0) = 0 dà A = - B. Sostituendo sopra abbiamo Definition of nuclear physics Areas of study and the applications da cui ricaviamo

(i) Se l2 >> l1 allora exp(- l1 t)  1 e Quindi (i) Se l2 >> l1 allora exp(- l1 t)  1 e L’attività l2 N2 tende a l1 N1 per t grande, cioè alla stessa attività del nucleo 1. Quindi le due specie di nuclei tendono a decadere allo stesso rate (equilibrio secolare). (ii) Se l2 > l1 allora il rapporto delle attività è Definition of nuclear physics Areas of study and the applications al crescere di t il rapporto tende al valore costante l2 / (l2 – l1). I nuclei 2 in effetti decadono con la costante di decadimento del tipo 1 (equilibrio transiente). Se l2 < l1 allora il nucleo 1 decade rapidamente. L’attività del nucleo figlio sale a un valore massimo e poi decade con la sua costante di tempo. Per t grande exp(- l1 t)  0 e

Radioattività naturale n = intero Alcuni tempi di dimezzamento grandi rispetto all’età della Terra Z serie 4n Definition of nuclear physics Areas of study and the applications N

Radio-datazione Consideriamo un campione di nuclei “genitori” (P) che decadono in nuclei “figli” (D): Ipotesi: tP è nota da studi precedenti - P furono intrappolati al momento della formazione del campione - Nè P nè D sono entrati o sfuggiti dal campione tramite qualche altro meccanismo - A t = 0 ND = 0 Abbiamo da cui Definition of nuclear physics Areas of study and the applications l’età è quindi Contiamo NP(t) e ND(t) chimicamente ad esempio.

Abbiamo una complicazione quando ND(0) non è nullo. Allora Supponiamo che esista un altro isotopo di D, diciamo D’, per il quale ND’(t) = ND’(0) = ND’ (cioè D’ è stabile). Possiamo scrivere Riarrangiando Definition of nuclear physics Areas of study and the applications minerali che cristallizzano da un’origine comune dovrebbero avere - Stessa età Dt - Stesso ND(0) / ND’(0) - Diverso NP(0) (a causa delle diverse composizioni chimiche)

Grafichiamo quindi ND(t) / ND’ in funzione di NP(t) / ND’ La pendenza sarà e l’intercetta Esempio. Usiamo il decadimeno b- 87Rb  87Sr (t1/2 = 4.8 x 1010 anni) D’ = 86Sr (stabile)  Età della Terra stimata dalla pendenza = 4.5 x 109 anni Minerali terrestri, lunari, meteoriti 87Sr / 86Sr Definition of nuclear physics Areas of study and the applications 87Rb / 86Sr

Datazione col radio-carbonio Per datare campioni più recenti di materia organica si usa il 14C Il 14C è continuamente prodotto nell’atmosfera terrestre dal bombardamento di raggi cosmici Il rate di produzione di 14C è approssimativamente costante (verificato ad esempio analizzando gli anelli degli alberi) protone di raggi cosmici nucleo CO2 fa entrare 14C nel ciclo del cibo 14C è presente in tutti gli organismi viventi Definition of nuclear physics Areas of study and the applications CO2 entra nel ciclo del cibo 14CO2 Il carbonio negli organismi viventi è continuamente scambiato col carbonio atmosferico (all’equilibrio  1 atomo di 14C per 1012 atomi di altri isotopi del carbonio (98.9% 12C, 1.1% 13C)

Negli animali morti il 14C non viene più assorbito e quello presente decade La misura dell’attività di decadimento beta di un campione di legno sepolto, ad esempio, fornisce una misura del lasso di tempo trascorso dalla morte dell’organismo (quando questo era in equilibrio con l’atmosfera) 100% 50% 25% 12.5% Definition of nuclear physics Areas of study and the applications età(anni) 0 5730 11460 127190 Complicazioni derivanti dall’utilizzo di combustibili fossili, test di armi nucleari, ecc.

Decadimento a Il decadimento a è dovuto all’emissione di un nucleo 42He (doppiamente magico e fortemente legato) Cinematica Conservazione dell’energia Dove T è l’energia cinetica. L’energia rilasciata è Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Solo se Q > 0 il decadimento è energeticamente possibile

Possiamo quindi scrivere Se il nucleo genitore è a riposo, Y e a si muovono con momenti uguali e opposti Nel decadimento a l’energia liberata è tipicamente 4-9 MeV. Quindi T << m e possiamo usare l’approssimazione non relativistica Possiamo quindi scrivere Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Possiamo porre ma / mY  4 / (A – 4) per cui Tipicamente a porta via il 98% di Q, mentre il frammento nucleare ha un piccolo rinculo (sebbene maggiore delle energie di legame reticolari!)

Perchè si verifica il decadimento a? E non p o 12C? Consideriamo l’energia rilasciata (Q) in vari possibili decadimenti di 232U Possiamo calcolare Q da = difetto di massa Le altre reazioni hanno un Q negativo: non possono avvenire spontaneamente. a è facile da formare dentro un nucleo (pari-pari in particolare perchè a = 2p2n) (Il punto fino a cui a esiste dentro il nucleo non è ancora noto) Molti nuclei con 150 < A < 190 e molti con A > 190 sono a instabili (dal punto di vista energetico), ma solo la metà presenta vite medie < 1016 anni Il decadimento in 12C è energeticamente possibile, ma ha una vita media enorme (rispetto al processo a). Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Dipendenza di t1/2 da Q log10 t1/2 (sec) Q(MeV) Una caratteristica veramente notevole del decadimento a è la forte dipendenza della vita media da Q Ad es. 232Th Q = 4.08 MeV t1/2 = 1.4x1010 anni 218Th Q = 9.85 MeV t1/2 = 1.0x10-7 s Un fattore  2.5 in Q determina un fattore 1024 in t1/2 ! N pari, Z pari dipendenza liscia a Z fissato log10 t1/2 (sec) Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Q(MeV)

Barriera di potenziale repulsiva e distanza di minimo approccio L’energia di una particella a è paradossalmente piccola rispetto all’energia necessaria per riportarla a contatto nucleare col nucleo figlio. L’energia potenziale elettrostatica implica una barriera di potenziale Esempio 1: 238U  234Th Poichè il raggio nucleare è R = 1.2 x A1/3 fm, se la particella a e il nucleo figlio fossero a contatto sarebbero separati da Inoltre, moltiplicando e dividendo per ħc e nelle unità in cui ħ = c = 1 Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Quindi a questa distanza l’energia potenziale (barriera di potenziale) è

Q può quindi essere espresso come la differenza dei difetti di massa Esempio 2: 212Po  208Pb. I difetti di massa D = m – A di 212Po, 208Pb e 4He sono –10.381, -21.759, e 2.4249 risp. Q può quindi essere espresso come la differenza dei difetti di massa L’energia cinetica della particella a è Partendo da una particella a libera di circa 9 MeV possiamo calcolare la distanza di minimo approccio al nucleo figlio che si ha per Q = V=2Ze2/4pr Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Tunneling quanto-meccanico Pensiamo la particella a all’interno di un nucleo come un’entità ben definita intrappolata entro i confini del nucleo (è in qualche modo “pre-formata”) La dinamica è determinata dal potenziale di interazione V(r) fra la particella a e il nucleo figlio Il potenziale è prodotto collettivamente dai nucleoni del nucleo figlio: - per 0 < r < R V(r) deve produrre una forza attrattiva affinchè la particella a sia quasi legata - per r >> 1 fm l’effetto dell’interazione forte è molto minore dell’interazione elettrostatica - Esiste una regione intermedia in cui i due tipi di interazione sono comparabili e la forma di V(r) è determinata da questo bilanciamento. Poichè V va come 1 / r a grande r, V ha quindi la forma di una barriera di potenziale in questa regione intermedia Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Forza nucleare forte Regione intermedia Interazione elettrostatica Dentro la buca barriera All’esterno

Classicamente la particella a non può entrare o sfuggire. E’ principalmente questa barriera che determina la probabilità di decadimento (o cattura) a In prima approssimazione possiamo assumere che entro il nucleo il potenziale sia una buca sfericamente simmetrica: V(r) = - V0 per 0 < r < R. L’effetto dell’interazione nucleare è nullo al di fuori del raggio del nucleo e il potenziale immediatamente fuori e fino all’infinito è il potenziale coulombiano V(r) = 2 Z’ e2 / r. Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Classicamente la particella a non può entrare o sfuggire. Quanto-meccanicamente la particella a può penetrare la barriera  Tunnelling quanto-meccanico

Quando consideriamo il moto della particella a nel potenziale del nucleo figlio abbiamo a che fare con un problema di forza centrale per r > R. L’equazione di Schrodinger può essere ricondotta a un problema unidimensionale dove qui m è la massa ridotta. L’energia E è Abbiamo quindi

Il modello di Gamow Il rate di emissione può essere espresso come frequenza f con cui a arriva sul bordo di un nucleo probabilità T di trasmissione attraverso la barriera v = velocità di a dentro il nucleo R = raggio del nucleo Semi-classicamente Un limite inferiore di v può essere ottenuto dall’energia cinetica della particella a. Dall’equazione di Schroedinger Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Assumiamo V0  35 MeV, Q = 5 MeV. Quindi

Barriera di potenziale rettangolare Regione classicamente proibita Onda riflessa Energia della particella Onda incidente Onda trasmessa Funzione d’onda della particella incidente Funzione d’onda della particella oltre la barriera Nel punto x = a abbiamo le condizioni di frontiera Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Risolvendo rispetto per A e B si ha Dall’altra parte della barriera in x = 0 abbiamo L’altezza massima della barriera è circa 30 MeV. Approssimiamo la barriera reale con una rettangolare di altezza media (V0 - E) / 2  (30 – 5) / 2 =12 MeV. Se E = 5 MeV, la distanza di minimo avvicinamento è  60 fm. assumiamo quindi una larghezza media pari a (b – R) / 2  (60 - 10) / 2 = 25 fm Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Questo ci permette di trascurare A rispetto a B. Si ottiene La soluzione del sistema di condizioni di frontiera quando k2a >> 1 porta quindi a La probabilità di trasmissione è dunque Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Questa è una funzione molto sensibile della larghezza e dell’altezza della barriera

Cerchiamo di essere meno tecnici ... scriviamo In generale la barriera non è rettangolare. Non esiste una soluzione esatta per una barriera irregolare e dovremmo usare l’approssimazione di Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB). Cerchiamo di essere meno tecnici ... scriviamo nella maggior parte dei casi il primo termine domina sul secondo. In questa procedura consideriamo la barriera come una serie di barriere rettangolari Poichè i coefficienti di trasmissione sono moltiplicativi Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Energia (MeV) Separazione dei centri (fm)

Inoltre V(r) deve variare lentamente in r L’approssimazione fatta non è buona vicino ai punti di inversione in cui E = V in quanto allora k2a  0 Inoltre V(r) deve variare lentamente in r Ma per la maggior parte degli scopi l’approssimazione va bene e quindi infine La quantità è detta fattore di Gamow. Adesso utilizzeremo questa formule per calcolare la probabilità di trasmissione nel caso del decadimento a. Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Per r > R La particella a sfugge in r = R’, dove V(R’) = Q  R’ = 2 Z’ e2 / 4 p Q Poniamo r = R’ cos2  Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Quindi Nella maggior parte dei casi pratici R’ >> R. Ad esempio per Z = 90 abbiamo trovato Q  4 MeV  R’  60 fm >> R  10 fm. Allora Definition of nuclear physics Areas of study and the applications e di conseguenza

Arriviamo quindi alla legge di Geiger-Nuttal Se R / R’  0, allora il termine in parentesi è p / 2 e misurando Q in MeV si ha La vita media è data da da cui log10l Arriviamo quindi alla legge di Geiger-Nuttal Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Z’Q-1/2

Esempio: Calcoliamo il rate di emissione e la vita media di 238U. Abbiamo Quindi Il fattore di Gamow è Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Il fattore di trasmissione è Il rate di decadimento e il tempo di dimezzamento sono La vita media osservata di 238U è 4.47x109 anni, circa 25 volte maggiore del nostro calcolo. Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

(lo spin di a è zero) Problemi del modello Abbiamo assunto l’esistenza di una particella a nel nucleo e non abbiamo tenuto conto della probabilità di formazione Abbiamo considerato un approccio “semi-classico” per stimare la frequenza dei tentativi di fuga, f = v / 2R, e abbiamo fatto una predizione assoluta del rate di decadimento. Il rate è molto sensibile al valore esatto del raggio. Abbiamo assunto nuclei sferici, ma sappiamo che molti nuclei di alta massa non sono sferici Il modello sviluppato assume che le particelle a abbiano momento angolare orbitale nullo (L = 0). Questo funziona correttamente solo quando sia il nucleo genitore che figlio hanno spin zero, poichè Definition of nuclear physics Areas of study and the applications (lo spin di a è zero) Difatti, il modello va bene per i nuclei pari-pari nei loro stati fondamentali, i quali hanno spin zero. Anche i decadimenti di alcuni nuclei pesanti con A dispari popolano stati eccitati che hanno lo stesso spin del nucleo genitore cosicchè L = 0

allora dobbiamo semplicemente operare la sostituzione Se il decadimento ha luogo da uno stato eccitato o produce uno stato eccitato, ci può essere un certo momento angolare orbitale. La particella a deve passare attraverso una barriera più alta a causa del potenziale centrifugo Possiamo calcolare l’effetto di questo potenziale semplicemente aggiungendolo alla barriera coulombiana. Se definiamo allora dobbiamo semplicemente operare la sostituzione Definition of nuclear physics Areas of study and the applications energia r

L’insieme di stati eccitati che possono essere popolati dal decadimento (assieme a quello fondamentale) è detto la struttura fine del decadimento P E1 E2 D 4+ 2+ 0+ Q maggiore, e L non zero  vite medie per i decadimenti negli stati eccitati maggiori (il decadimento è meno probabilie) Parità. La parità è conservata nel decadimento a. Abbiamo Definition of nuclear physics Areas of study and the applications X, Y parità uguale  L deve essere pari X, Y parità opposta  L deve essere dispari Quindi se X ha JP = 0+, gli stati di Y che possono essere popolati nel decadimento sono

Fattori di ostacolo I nuclei di A dispari hanno vite media sostanzialmente maggiori di quelli pari-pari.  decadimenti “ostacolati” Fattore di ostacolo = t misurata / t calcolata Fattore di ostacolo < 4 La particella a è costruita da coppie di nucleoni su livelli bassi. Il nucleone dispari resta nel suo orbitale iniziale Fattore di ostacolo 4-10 mixing favorevole fra gli stati nucleari iniziale e finale Fattore di ostacolo 10-100 proiezioni di spin parallele ma overlap della funzione d’onda non favorevole Fattore di ostacolo 100-1000 Transizioni con variazioni di parità ma con proiezioni di spin parallele Fattore di ostacolo > 1000 cambiamento di parità e spin-flip (sostanziale riorganizzazione del nucleone del genitore quando a viene emessa) Definition of nuclear physics Areas of study and the applications