elettromagnetica, debole, forte e gravitazionale La forza forte Tutte le interazioni fra particelle possono essere spiegate in termini di 4 forze fondamentali: elettromagnetica, debole, forte e gravitazionale I nucleoni sono soggetti all’interazione forte a piccole distanze (qualche fm) List of important discoveries that led to the development of nuclear physics X-rays ? How are they produced Quantum physics and applications to nuclear models How nuclear physics developed, nuclear chemistry, accelerators, Curie family playing a central role Applications developed, from Szillards first conjecture of making energy from Fission and Weapons, Rutherfords lack of belief in energy Models, inspired by Quantum mechanics

La forza fra i nucleoni I nucleoni sono composti dai quark, particelle puntiformi di spin 1/2 I quark sono tenuti assieme dall’interazione forte derivante dallo scambio di altri quark e gluoni di spin 1 La forza fra i nucleoni (la forza nucleare forte) è un problema a molti corpi in cui i quark non si comportano come se fossero completamente indipendenti all’interno del volume nucleare nè si comportano come se fossero completamente legati in modo da formare protoni e neutroni esempio: interazione pp Definition of nuclear physics Areas of study and the applications La forza nucleare forte perciò non è calcolabile in dettaglio al livello dei quark e può essere solo dedotta empiricamente a partire dai dati nucleari

Caratteristiche generali Il fatto che un nucleo esista implica che la forza nucleare è Forte: più forte della forza elettromagnetica, debole e gravitazionale A corto range: i nuclei sono soggetti all’interazione forte a piccole distanze ( 2 fm) quando cominciano a sovrapporsi Attrattiva Nocciolo repulsivo: Il volume è  A, e il nucleo non collassa verso densità infinita Saturata: B/A costante; in un nucleo i nucleoni sono attratti solo dai nucleoni vicini Indipendente dalla carica: non c’è distinzione fra protoni e neutroni. Si ha evidenza di ciò dalla tendenza dei piccoli nuclei ad avere N=Z e dalla somiglianza dei livelli di bassa energia di coppie di nuclei speculari Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Il deutone e lo scattering nucleone-nucleone Il potenziale nucleone-nucleone Forza = Andamento della parte centrale del potenziale Nocciolo repulsivo Definition of nuclear physics Areas of study and the applications B/A~8 MeV  V0 ~ qualche decina di MeV Studiamo le caratteristiche dettagliate attraverso le interazioni fra due nucleoni: Il deutone e lo scattering nucleone-nucleone

IL DEUTONE

Caratteristiche generali del deutone (2H o 2D) Il deutone è il solo stato legato a due nucleoni (n-p). Non esistono stati legati p-p o n-n. Riassunto delle proprietà: Energia di legame B = 2.23 MeV R = 2.1 fm Non si osservano stati eccitati JP = 1+ Deduzioni sul momento magnetico: stato legato n-p 3S1 (L = 0, S = 1, ): m = mp + mn = 0.88 mN 1S0 (L = 0, S = 0, ): m = mp - mn = 4.71 mN Valore sperimentale m = 0.857 mN n = 1  non ci sono (quasi) contributi orbitali a m (L = 0) Il deutone è uno stato (quasi puro) 3S1 Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Deduzioni sul momento di quadrupolo Q = +2.83x10-31 m2

Sistema di due particelle L’hamiltoniana di un sistema di due particelle è Introduciamo le variabili R = centro di massa r = coordinata relativa Possiamo allora scrivere Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Il momento totale del sistema è =massa totale

L’energia cinetica totale è M=massa totale m = massa ridotta Abbiamo l’equazione di Schrodinger per il moto relativo attorno al centro di massa Eq. Di Schrodinger nel riferimento del centro di massa E Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Consideriamo un potenziale centrale Il sistema è invariante per rotazioni  consideriamo ad esempio una rotazione infinitesima attorno all’asse z

dopo la rotazione la funzione d’onda è Se introduciamo l’operatore Lz componente z del momento angolare Allora possiamo definire lo stato ruotato come Richiedendo che (stesso autovalore dell’energia) troviamo Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Troviamo quindi

L’invarianza per rotazioni rispetto all’asse x e y mostra che tutte le componenti del vettore momento angolare commutano con H dove o, in componenti Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Quindi un autostato dell’hamiltoniana è anche un autostato del momento angolare orbitale. Gli stati del sistema saranno etichettati da numeri quantici del tipo n, l, mz.

Equazione di Schrodinger in coordinate polari Si dimostra da cui Poichè in coordinate polari arriviamo all’equazione Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Funzione d’onda radiale Ponendo Armoniche sferiche si ha

Poniamo R(r) = u(r) / r (r = distanza fra i nucleoni) Abbiamo quindi una separazione delle variabili e arriviamo all’equazione radiale Poniamo R(r) = u(r) / r (r = distanza fra i nucleoni) Probabilità che la particella si trovi fra r e r + dr Si ha Definition of nuclear physics Areas of study and the applications arriviamo al risultato finale

buca quadra Rispetto al caso undimensionale abbiamo due differenze. La prima è che il potenziale è modificato da un termine repulsivo dipendente da L La seconda è che u(r=0) = 0 affinchè R resti finita nell’origine. Questo equivale ad assumere che V = + a sinistra. Consideriamo una buca quadra buca quadra Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Per uno stato legato E < 0 = - energia di legame b = range dell’interazione

Il problema del deutone Ricerchiamo stati legati caratterizzati da un’energia di legame B Per L = 0 la funzione u soddisfa l’equazione Abbiamo due regioni 1) r < b Definition of nuclear physics Areas of study and the applications La soluzione generale è

La soluzione generale è Richiediamo che u(r) = 0 per r = 0  C = 0 vale a dire, non vogliamo una densità infinita |R(r)|2 al centro del nucleo) Quindi 2) r > b La soluzione generale è Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Per r   exp(k’r)   per cui poniamo F = 0 Quindi

Richiediamo che in r = b sia u(r) che du(r)/dr siano continue Continuità di Continuità di Il rapporto ci dà Assumiamo che V0 >> B. Le due incognite sono b e V0 Abbiamo energia minima Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Per b = 2 fm V0 è la profondità minima che dà luogo allo stato legato

può essere risolta graficamente In realtà la soluzione esatta è un pò maggiore di 25 MeV. L’equazione trascendente può essere risolta graficamente La soluzione è data dall’intersezione delle due curve Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

La lunghezza caratteristica La dimensione del deutone è determinata dall’energia di legame non dal range della forza La lunghezza caratteristica Grande probabilità di trovare protone e neutrone separati a una distanza > b u(r) non dipende molto dalla forma esatta di V(r) su cui u(r) diminuisce di 1/e è detta il raggio del deutone. Questo è più del doppio del range b del potenziale. Quindi i nucleoni hanno una considerevole probabilità di trovarsi al di fuori della buca di potenziale  in media si trovano sui suoi bordi Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

SCATTERING NEUTRONE-PROTONE E PROTONE-PROTONE A BASSA ENERGIA

Sezione d’urto s = sezione d’urto di reazione Consideriamo una rezione della forma Trattiamo b come il bersaglio e a come il proiettile – di solito un fascio ben collimato. Il flusso di particelle a è definito come Numero di particelle che attraversano una sezione di area unitaria per unità di tempo va = velocità delle particelle na = densità numero Il numero di interazioni per unità di tempo fra le particelle del fascio e quelle del bersaglio è Nb = numero di centri diffusori nel bersaglio s = sezione d’urto di reazione

In un tipico esperimento viene integrato un certo numero di eventi in un tempo t (secondi, giorni o anche anni). Il numero totale di eventi osservati in un tempo t può essere riscritto come Ninc = numero di particelle del fascio incidenti in un tempo t Nb / DS è il numero di centri diffusori per unità d’area. Ora L = lunghezza del bersaglio D’altra parte

Teoria dello scattering Scattering elastico dal centro di un nucleone Nucleone incidente: onda piana z nucleo La funzione d’onda prima dello scattering è onda piana incidente nel processo di scattering in interagisce con V(r). Dal centro di interazione diverge un’onda sferica della forma r2d d onda sferica scatterata Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Lo stadio finale dell’interazione è dato dalla sovrapposizione di in e di questa onda sferica

Sezione d’urto differenziale Sezione d’urto: numero di neutroni scatterati per unità di tempo nell’angolo compreso fra ϑ e ϑ+dϑ da un protone quando il flusso del fascio è un neutrone per unità d’area e di tempo Assumendo che la densità numero di particelle incidenti sia 1, il flusso è Sia dF il numero di particelle incidenti/sec scatterate sull’area r2d Definition of nuclear physics Areas of study and the applications  da cui

Scattering nucleare a basse energie: dobbiamo considerare solo l=0 Espansione di in in armoniche sferiche Polinomio di Legendre dove Funzione di Bessel sferica Nello studio del processo, ci interessano le particelle lontano dal centro di scattering. Asintoticamente abiamo  soluzione dell’equazione di Schrodinger in coordinate sferiche con V(r)=0 Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Scattering nucleare a basse energie: dobbiamo considerare solo l=0

Scattering neutrone-protone a basse energie Argomento classico. Se p è la quantità di moto e b è il parametro d’impatto (distanza classica di massimo avvicinamento) allora Se le forze nucleari hanno un range finito a, l’interazione ha luogo solo se b < a, cosicchè Quando contribuirà solo l’onda parziale L’energia al di sotto della quale abbiamo solo onda S è Definition of nuclear physics Areas of study and the applications m = massa ridotta = mN/2 a = 2.8 fm Al di sotto di questa energia dl = 0 per ogni l diverso da zero.

Coefficiente |Bl(R)|2 nell’espansione in onde parziali |Bl(R)|2 Definition of nuclear physics Areas of study and the applications kr r = 2 fm

 se L=0 l’espansione in onde parziali si riduce a onda sferica entrante verso l’origine onda sferica uscente dall’origine In presenza del potenziale: per l’onda uscente out Non è modificata per r>range del potenziale (cioè prima che la particella raggiunga il centro di scattering) Scattering elastico: l’ampiezza deve essere come la parte e-ikr  non vengono nè create nè distrutte particelle  spostamento di fase

f(ϑ) V(r) ≠ 0 cambia la fase dell’onda uscente Convenzione: 2d0 spostamento di fase nell’onda parziale uscente d0 spostamento di fase nell’onda scatterata l=0 Probabilità di scattering data da f(ϑ) Poichè dl + np producono lo stesso valore, la fase è determinata nell’intervallo -p/2,+p/2 o 0-p

Formalismo per qualunque momento angolare

Funzione di Bessel sferica L’analisi quantitativa richiede la soluzione dell’equazione di Schrodinger in coordinate sferiche Equazione per una particella di massa ridotta m: stiamo lavorando nel centro di massa. Quando V(r) = 0 la soluzione generale è Polinomio di Legendre dove Funzione di Bessel sferica Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Nello studio del processo, ci interessano le particelle lontano dal centro di scattering. Asintoticamente abiamo onda sferica divergente dal centro di scattering onda sferica convergente verso il centro di scattering

dl(k) è reale ed è detto spostamento di fase Se V(r)≠0, nel processo di scattering compare un’ulteriore onda sferica uscente. Quindi la relazione fra onda convergente e divergente cambia in se non c’è assorbimento, il flusso di particelle nelle due onde non deve cambiare. Quindi dl(k) è reale ed è detto spostamento di fase Abbiamo quindi Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Questa può essere riscritta anche come onda piana Ampiezza dell’onda sferica onda sferica

Poichè out = exp(ikz) + f() exp(ikr)/r otteniamo definendo l’ampiezza di scattering per l’onda parziale L La sezione d’urto totale è data da Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Tenendo conto dell’ortogonalità dei polinomi di Legendre otteniamo la sezione d’urto di scattering elastico

Interpretazione degli spostamenti di fase Il segno della fase è determinato dalla natura della forza Particella libera Attrazione: u(r) è spinta verso la buca attrattiva e la funzione d’onda acquista uno spostamento di fase positivo Repulsione: u(r) è espulsa dal range del potenziale repulsivo e acquista uno spostamento di fase negativo Spostamento di fase Potenziale attrattivo Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Spostamento di fase Potenziale repulsivo

Il segno della fase non influisce sulla sezione d’urto  modulo quadro dell’ampiezza Determinazione del segno della fase interferenza fra scattering nucleare e coulombiano interferenza di due scattering nucleari con diverse orientazioni dello spin

Simmetria sferica dello scattering a bassa energia Al di sotto di 10 MeV (nel sistema del laboratorio) ci aspettiamo quindi che se le forze nucleari sono a corto range, si abbia scattering solo in onda S e la sezione d’urto è Da cui Definition of nuclear physics Areas of study and the applications La sezione d’urto è indipendente dalla direzione  simmetria sferica  confermato dalla osservazioni sperimentali

Esempio di determinazione dello spostamento di fase e della sezione d’urto La dipendenza dello spostamento di fase dall’energia o da k può essere determinata risolvendo l’equazione di Schrodinger nella regione di interazione Questo permette di stabilire una relazione col potenziale di interazione Bisogna congetturare una forma specifica del potenziale. Esempio: buca rettangolare (come nel caso del deutone) Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

L’equazione d’onda radiale per u(r) = r R(r) è La buca ha quindi la stessa profondità della buca del deutone e assumiamo che E ( > 0 ) sia simile all’energia di legame B (quindi abbiamo scattering a bassa energia) L’equazione d’onda radiale per u(r) = r R(r) è Regione I (r < b) V = -V0 Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Regione II (r > b) V = 0

Possiamo ricavare la fase congiungendo la soluzione interna a quella esterna in r = b. La derivata logaritmica della soluzione esterna in r = b è La derivata logaritmica della soluzione interna in r = b è Uguagliando le due derivate troviamo s[barn] Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Utilizziamo i parametri del deutone: V0 ~ 35 MeV e b ~ 2.1 fm Per E < 10 KeV la sezione d’urto è

Scattering a bassissime energie e stati legati A basse energie la sezione d’urto in realtà dipende debolmente dalla forma specifica del potenziale  Analisi dello scattering indipendente dalla forma specifica  lunghezza di scattering La sezione d’urto è Assumiamo che a energie molto basse la sezione d’urto resti finita. Allora per k  0 a = lunghezza di scattering (definita a meno di un segno) Definition of nuclear physics Areas of study and the applications La funzione d’onda asintotica al di fuori del raggio d’azione delle forze nucleari per k piccolo è proporzionale a  Linea retta a definita come l’intercetta di questa funzione d’onda

Potenziale attrattivo (buca poco profonda): a<0 Potenziale repulsivo: a>0 (sempre) b b Potenziale attrattivo (buca profonda): a>0 b Segno meno consistente con la definizione come intercetta della funzione d’onda esterna

Funzione d’onda piatta per r>b e simile a exp(-k’r) ma exp(-k’r): funzione d’onda di uno stato legato con E infinitesimalmente negativa b Funzione d’onda in r<b Ma se E~0 Stato legato E<0 Scattering E>0  stessa funzione d’onda

Funzione d’onda piatta C(r-a) per r>b e simile a exp(-k’r) Stesse funzioni d’onda per r<b: Uguagliamo le derivate logaritmiche della funzione d’onda dello stato legato b<<a  Stima non troppo buona: a= 5.4 fm  b<<a non corretto funzioni d’onda per r<b non uguali

Raggio efficace s[barn] nel limite k0 abbiamo posto Segno meno consistente con la definizione come intercetta della funzione d’onda esterna nel limite k0 abbiamo posto Generalizzazione: per scattering a energie non nulle, introduciamo una funzione a(k) tale che per k  0 a(0) = a r0 = raggio efficace  distanza media fra protone e neutrone durante l’interazione s[barn] Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Per scattering in tripletto di spin i valori misurati di a e r0 sono

Neutroni di energia nulla: stato di tripletto ha at > 0  segno della lunghezza di scattering: informazioni sulla possibilità che si formi uno stato legato. L’equazione Ammette una soluzione k’ reale, a cui corrisponde uno stato legato, solo se a>0 Dalle misure di sezione d’urto totale si ricava solo il valore assoluto della lunghezza di scattering. Tuttavia, è possibile determinare il segno tramite misure di scattering coerente. Neutroni di energia nulla: stato di tripletto ha at > 0  Definition of nuclear physics Areas of study and the applications  buca di potenziale abbastanza profonda quando S=1

Neutroni di energia nulla: stato di singoletto ha as < 0   non si può formare uno stato legato in singoletto di spin  buca di potenziale non abbastanza profonda quando S=0  La funzione d’onda esterna non piega verso il basso Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Raggio efficace: trattazione quantitativa

L’intersezione con k=0 dà la lunghezza di scattering a A basse energie (per scattering in onda S) 1/a(k) è una funzione lineare dell’energia: L’intersezione con k=0 dà la lunghezza di scattering a La pendenza definisce un secondo parametro detto raggio efficace Consideriamo l’equazione d’onda di due stati S di energia E1 ed E2 Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Moltiplicando la prima per u2, la seconda per u1, sottraendo e integrando fra zero e un valore arbitrario R otteniamo

c scelto in modo che =1 nell’origine Consideriamo la forma asintotica delle funzioni u per r grande rispetto al raggio d’azione delle forze nucleari c scelto in modo che =1 nell’origine  sono autofunzioni della particella libera, e possiamo scrivere Assumiamo che R sia maggiore del raggio d’azione delle forze. Allora, sottraendo membro a membro abbiamo Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Per r= R u(R) e (R) coincidono Per r=0 u(0) = 0

Per k2 = k arbitraro e k1  0 ricaviamo Dove abbiamo definito Le funzioni  e u differiscono solo all’interno del raggio d’azione delle forze – Ma qui dipendono molto poco dall’energia poichè l’energia potenziale e molto maggiore di k2 (per lo meno fino a 10 MeV). Quindi Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Costante indipendente dall’energia: raggio efficace r0 = distanza media fra protone e neutrone durante l’interazione

Consideriamo lo stato fondamentale del deutone e poniamo Energia di legame del deutone Funzione d’onda del deutone al di fuori del raggio d’azione delle forze nucleari Allora con k1  0 e Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Nell’approssimazione del raggio efficace r(0,-B) = r0, cosicchè Valido per buche di forma qualsiasi

Confronto con l’esperimento Le misure a basse energie portano a s = 20 barn Sezione d’urto di scattering n-p Energia cinetica del neutrone (eV) s (barn) Poichè abbiamo utilizzato i parametri dei deutone, la sezione d’urto calcolata deve corrispondere a scattering S=1 D’altra parte, la sezione d’urto totale sarà formata da una miscela di interazioni negli S = 0 1S0  -  S = 1 3S1 , ,  +  Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Se le orientazioni dei neutroni nel fascio incidente e dei protoni nel bersaglio sono casuali, allora Per k  0

Possiamo scrivere la dipendenza della sezione d’urto dall’energia Buon accordo con l’esperimento a bassa energia se Bs = 60 keV N.B. Lo stato di singoletto n-p non è uno stato legato reale  stato legato virtuale. Bs non ha un significato fisico particolare Facendo uso della teoria del raggio efficace, i risultati sperimentali sono descritti fino a 10 MeV con Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Conclusione: - Forte dipendenza dallo spin dell’interazione nucleare - Non esiste uno stato legato di singoletto di spin

Scattering di neutroni su orto e para H2 Per separare i contributi di st e ss, consideriamo l’interazione di neutroni di energia molto bassa (E < 1 KeV) con orto- e para-idrogeno (H2) orto-H2 p()p() SH2 = 1 para-H2 p()p() SH2 = 0 Neutroni di bassa energia (E < 1 keV): l >> separazione dei protoni in H2 Abbiamo quindi scattering coerente (nel caso di scattering incoerente avremmo s = S(ampiezza)2 ) Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Gli operatori di spin del neutrone e di ciascun protone sono Dove sn e sn sono le matrici di Pauli.

Studiamo gli autovalori di Studiamo gli autovalori di . Il quadrato dello spin totale del sistema neutrone-protone è Poichè S2, S2n, S2p sono costanti del moto con autovalori S(S+1), Sn(Sn+1), Sp(Sp+1), abbiamo Abbiamo pertanto Definition of nuclear physics Areas of study and the applications A basse energie l’ampiezza di scattering è pari alla lunghezza di scattering. La seguente formula dà il risultato corretto per scattering nello stato di singoletto o tripletto

Nel caso del para-H2 abbiamo Sp1+Sp2 = 0 per cui Quindi nel caso di scattering coerente di un neutrone sui due protoni dell’idrogeno possiamo scrivere Nel caso del para-H2 abbiamo Sp1+Sp2 = 0 per cui Nel caso dell’orto-idrogeno possiamo scrivere Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Arriviamo quindi al risultato para-H2  orto-H2      n o-H2 n o-H2 e ricaviamo Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Se la forza nucleare fosse indipendente dallo spin, st = ss e at = as per cui spara e sorto dovrebbero essere uguali. Le sezioni d’urto misurate sono invece  La forza nucleare è dipendente dallo spin

Come misurare le sezioni d’urto: La grande differenza fra i valori misurati mostra che at  as e che at e as devono avere segni diversi in modo da rendere spara piccola rispetto a sorto  lo stato di singoletto non è legato  lo stato di tripletto è legato Come misurare le sezioni d’urto: Ad alte temperature il rapporto del numero di molecole orto e para è 3:1. A basse temperature (diciamo 20 K) la maggior parte delle molecole sono nel loro stato fondamentale. Lo stato fondamentale di orto-H2 è 0.015 eV più alto di para-H2  Quindi a 20 K H2 è tutto para-idrogeno Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Riassunto A basse energie (< 10 MeV) la meccanica quantistica non relativistica descrive adeguatamente i processi di scattering in onda S introducendo un semplice potenziale La sezione d’urto non dipende sensibilmente dalla forma del potenziale. Possiamo ricavare solo una stima del range dell’interazione ma non la forma dettagliata del potenziale stesso L’interazione nucleare dipende dallo spin (più dettagli in seguito) Possiamo ricavare informazioni sull’esistenza (o non esistenza) di stati legati nucleone-nucleoni in diversi stati di spin e momento angolare orbitale

Scattering protone-protone Poichè non esiste lo stato legato 2He, la forza protone-protone può essere studiata solo attraverso il processo di scattering. Sperimentalmente lo studio è più semplice: è più semplice produrre fasci collimati e monocromatici e inoltre è molto più semplice rivelare i protoni. Oltre alla forza nucleare, è presente anche la forza coulombiana repulsiva. Questo dà luogo a un effetto di interferenza che permette di determinare il segno degli spostamenti di fase dell’interazione nucleare. A basse energie ci aspettiamo che l’interazione nucleare sia dominata dallo stato L=0. D’altra parte, essendo l’interazione coulombiana a lungo range, per questa ci sono contributi anche per L ≠ 0.

Studiamo il processo nel riferimento del centro di massa come nel caso dello scattering neutrone-protone La sezione d’urto differenziale è data ds/d = |f(ϑ)|2. Classicamente le particelle sono distinguibili e la probabilità di osservare o l’una o l’altra è Al contrario, quantisticamente le particelle sono indistinguibili e non possiamo quindi distinguere fra questi due diagrammi, i quali devono essere sommati È presente un effetto d’interferenza

Il sistema di due protoni deve obbedire al principio di esclusione di Pauli, per cui la funzione d’onda totale deve essere antisimmetrica nello scambio delle due particelle. La funzione d’onda ha la forma parte di spin parte spaziale Gli spin 1/2 dei due protoni si combineranno in uno stato di spin totale 1 simmetrico rispetto allo scambio dei due protoni 1 e 2 S=1, Sz = 1 S=1, Sz = 0 S=1, Sz = -1 oppure in uno stato di spin totale zero, antisimmetrico rispetto allo scambio dei due protoni 1 e 2 S=0, Sz = 0

Di conseguenza abbiamo le due possibilità Funzione d’onda spaziale anti-simmetrica Funzione d’onda spaziale simmetrica Protoni in singoletto di spin Protoni in tripletto di spin Scambiare le particelle equivale a operare la trasformazione, per cui In coordinate polari lo scambio implica Corrispondentemente, avremo le ampiezze di scattering scattering in singoletto di spin scattering in tripletto di spin

La sezione d’urto differenziale per scattering in singoletto di spin è La sezione d’urto differenziale per scattering in tripletto di spin è invece Se si utilizzano fasci di protoni non polarizzati, allora gli spin si combineranno in modo da formare una miscela con pesi statistici 3/4 (tripletto) e 1/4 (singoletto)

Calcolo dell’ampiezza di scattering – interazione coulombiana Approssimazione di Born Dove e = momento trasferito = massa ridotta Interazione coulombiana In questo caso abbiamo già calcolato l’integrale sopra nella discussione dello scattering Rutherford

L’ampiezza di scattering coulombiano è dunque Il momento trasferito può essere espresso come Dove vrel è la velocità relativa delle due particelle, vrel = 2v. Arriviamo quindi all’ampiezza di scattering nel referimento del centro di massa

La sezione d’urto differenziale per scattering coulombiano (con fasci non polarizzati) è corrispondentemente Nel riferimento del laboratorio uno dei protoni è fermo, mentre l’altro si muove con velocità vlab = vrel. In questo riferimento l’angolo di scattering è Quindi, ponendo E0 = mNv2lab / 2 (energia cinetica del protone incidente)

La formula di Born è approssimata (ordine più basso di un’espansione perturbativa). D’altra parte una soluzione asintotica dell’equazione di Schrodinger per lo scattering di due protoni nel centro di massa è Onda incidente approssimativamente piana (a causa del lungo range dell’interazione coulombiana) Onda sferica diffusa dove Utilizzando g(ϑ) la sezione d’urto differenziale (nel centro di massa) è

Questa espressione della sezione d’urto si riduce alla precedente quando cioè Questa condizione è soddisfatta per

Inclusione dell’interazione nucleare L’interazione nucleare in onda S è descritta dall’ampiezza L’ampiezza di scattering totale (in approssimazione di Born per la parte coulombiana) è quindi e corrispondentemente (la parte nucleare non ha dipendenza angolare e quindi scompare nell’ampiezza antisimmetrica) Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

La sezione d’urto totale diventa Procedendo come prima La sezione d’urto totale diventa Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Termine di interferenza. Dipendenza lineare: permette di determinare spostamenti di fase molto piccoli Inoltre si può determinare il segno nello stato L = 0 il potenziale è attrattivo Termine che descrive lo scattering se non ci fosse interazione coulombiana Ad alte energie domina a causa di v2

d0 è l’unica incognita (cms) Dalla misura di ds/d ricaviamo il segno e il modulo di d0 L’interferenza permette di determinare il segno ds/d Totale interferenza Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Mott (cms)

Equivalenza delle forze neutrone-protone e protone-protone I dati sperimentali di scattering protone-protone possono essere analizzati col formalismo della lunghezza di scattering e del raggio efficace proprio come nel caso neutrone-protone. I valori ricavati sono affetti dalla presenza dell’interazione coulombiana. Tuttavia è possibile da essi determinare quale valore avrebbero in assenza di interazione coulombiana (cioè se fosse presente la sola forza nucleare). Il risultato è per lo scattering nello stato 1S0 Lunghezza di scattering negativa  non esistono stati legati p-p 1S0. D’altra parte il principio di Pauli esclude lo stato 3S1 analogo del deutone. Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Buon accordo con lo scattering n-p in singoletto In buona approssimazione l’interazione puramente nucleare neutrone-protone è uguale all’interazione protone-protone. Indipendenza dalla carica dell’interazione nucleare

Scattering neutrone-neutrone Lo scattering n-n è difficile poichè non esistono bersagli composti solo da neutroni Usiamo reazioni per creare 2 neutroni a distanza reciproca minore del range nucleare (paragonabili a un esperimento di scattering) termine di interferenza Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Se 2n legato  g monocromatico, stato finale a due corpi Se n-n non legato  energia ripartita fra 3 particelle  La forza nucleare è indipendente dalla carica

L’ISOSPIN

Confronto fra protone e neutrone Trascurando le interazioni elettromagnetiche, protoni e neutroni sono molto simili Hanno masse praticamente identiche: Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Momenti magnetici

Momenti magnetici I momenti di dipolo magnetici derivano da il moto orbitale di particelle cariche - lo spin intrinseco Il momento di dipolo magnetico è la componente misurabile massima dell’operatore momento di dipolo magnetico m Momento magnetico orbitale Classicamente se abbiamo una spira di corrente La meccanica quantistica porta allo stesso risultato Fattore g: gl = 1 particelle cariche . gl = 0 particelle neutre

Momento magnetico intrinseco L’operatore momento magnetico intrinseco dovuto allo spin intrinseco di una particella è La teoria di Dirac (m.q. relativistica) delle particelle di spin 1/2 predice gs=2 Elettrone dove mB=eħ/2me è il magnetone di Bohr Si osservano piccole differenze rispetto a gs=2 a causa di correzioni di ordine superiore di QED Esperimento e teoria sono in accordo entro 1 parte su 108!

Protone e neutrone dove è il magnetone nucleare Ci aspettiamo che p spin 1/2, carica +e, ms = mN . n spin 1/2, carica 0, ms = 0 Si osserva invece p ms = +2.793 mN  gs= +5.586 n ms = -1.913 mN  gs = -3.826 Protoni e neutroni non sono particelle puntiformi: sono stati legati di quark carichi e gluoni

Chiusa parentesi

Confronto fra protone e neutrone Trascurando le interazioni elettromagnetiche, protoni e neutroni sono molto simili Hanno masse praticamente identiche: Il momento magnetico del protone è La componente anomala di questo momento magnetico è Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Il momento magnetico del neutrone è interamente anomalo Quindi

L’isospin Protone e neutrone possono essere considerati come due stati quantici di una stessa entità, il nucleone. Definiamo un numero quantico intrinseco detto isospin Definendo z = 2tz, abbiamo Le altre due componenti dell’isospin sono definite in analogia con lo spin Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

L’operatore di carica deve essere tale che Possiamo definire degli operatori di conversione protone  neutrone (operatori di innalzamento e abbassamento dell’isospin) che sono tali che L’operatore di carica deve essere tale che Definition of nuclear physics Areas of study and the applications In questo formalismo Q può essere espresso come

Sistema di due nucleoni Consideriamo un sistema di due nucleoni i cui stati di isospin sono L’isospin si compone come lo spin Abbiamo quindi un tripletto di isospin T=1 |T=1, Tz = 1> |T=1, Tz = 0> Definition of nuclear physics Areas of study and the applications |T=1, Tz = -1> e un singoletto di isospin T = 0 |T=0, Tz = 0>

stato protone-protone Vediamo che stato protone-protone stato neutrone-neutrone D’altra parte, e sono stati misti protone-neutrone. Lo stato in cui la prima particella è un protone e la seconda è un neutrone è una sovrapposizione degli stati di isospin totale T=1 e T=0 con componente z Tz=0 Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Principio di Pauli generalizzato Nel formalismo di isospin protoni e neutroni sono considerati come stati di una singola particella. La funzione d’onda di una coppia di nucleoni è espressa come un prodotto (corretto se si trascurano nell’hamiltoniana interazioni fra spin e isospin, spin e coordinate, ecc.) funzione d’onda spaziale Funzione (spinore) di isospin Funzione (spinore) di spin Possiamo generalizzare il principio di Pauli in modo da richiedere che la funzione d’onda totale deve essere antisimmetrica rispetto allo scambio di tutte le variabili (coordinate spaziale, spin, isospin) Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Per un sistema p-p o n-n la funzione di isospin è Simmetrica rispetto allo scambio delle due particelle o Antisimmetrica rispetto allo scambio delle coordinate e spin  usuale principio di Pauli per due fermioni identici

Se i due nucleoni sono in uno stato di momento angolare orbitale L, la simmetria dello stato rispetto allo scambio delle particelle è Se due nucleoni formano uno stato legato, è ragionevole assumere che lo stato di energia più bassa abbia L = 0  S + T = dispari. Poichè nel caso del deutone S = 1, questo deve essere un singoletto di isospin T=0. Esistono due nuclei con A = 3 che formano un doppietto di isospin T = 1/2 Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Esiste un solo nucleo con A = 4 (42He) che è un singoletto di isospin ed è una configurazione particolarmente stabile con energia di legame pari a 28.3 MeV

Rotazioni

Rotazioni Consideriamo una rotazione attorno all’asse z axis di un angolo f o, in forma matriciale con la matrice di rotazione Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

dove abbiamo introdotto la matrice È interessante considerare una rotazione “infinitesima”. In questo caso e possiamo scrivere dove abbiamo introdotto la matrice Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Jz è detto il generatore delle rotazioni attorno all’asse z e vediamo che possiamo scrivere

L’ordine con cui eseguiamo due rotazioni è importante. Ad esempio In modo simile, se consideriamo rotazioni attorno all’asse x o y, abbiamo i corrispondenti generatori L’ordine con cui eseguiamo due rotazioni è importante. Ad esempio Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Le rotazioni non commutano: il gruppo delle rotazioni (SO(3)) non è abeliano

e permutazioni cicliche Il fatto che le rotazioni non commutino implica che anche le matrici dei generatori non commutano. Possiamo facilmente verificare che, ad esempio, e permutazioni cicliche Queste sono esattamente le relazioni di commutazione soddisfatte in meccanica quantistica dagli operatori del momento angolare.  gli operatori del momento angolare sono i generatori delle rotazioni Possiamo costruire una rotazione finita a partire da una infinitesima ponendo Allora Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Questo può essere facilmente verificato definendo l’esponenziale di una matrice attraverso la sua espansione in serie di Taylor Una rotazione finita attorno ad un asse n di un angolo f può essere scritta come Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Chiusa parentesi

Indipendenza dalla carica dell’interazione nucleare Una rotazione di un angolo ϑ attorno ad un asse n può essere rappresentata attraverso l’operatore J è il momento angolare. Una rotazione spaziale induce una rotazione sullo stato di un nucleone nello spazio di isospin ponendo J = s / 2, L’esponenziale può essere sviluppato in modo da ottenere Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Ad esempio, una rotazione di 180 gradi attorno all’asse x dà (a parte un fattore i) Questa inverte l’asse z per cui trasforma un protone in un neutrone (e viceversa).

Vogliamo adesso ruotare simultaneamente un sistema di due nucleoni Come abbiamo visto, due nucleoni possono essere in uno dei tre stati di isospin T=1 oppure in singoletto di isospin T = 0. Possiamo ruotare lo stato di isospin |T,Tz> della coppia tramite l’operatore Dove abbiamo posto J=T, essendo T l’isospin totale Dagli esperimenti di scattering abbiamo visto che n-p e p-p in 1S0 interagiscono allo stesso modo. Stato p-p 1S0: antisimmetrico nelle variabili spaziali e di spin,  T=1, Tz=1. Stato p-n 1S0: antisimmetrico nelle variabili spaziali e di spin,  T=1, Tz=0. Definition of nuclear physics Areas of study and the applications  postuliamo che la forza non dipenda da Tz all’interno di un multipletto (ma può dipendere da T)

e il valor medio rispetto agli stati ruotati Possiamo definire l’indipendenza dalla carica nel modo seguente. Consideriamo il valor medio del potenziale nucleare rispetto al dato stato di isopin e il valor medio rispetto agli stati ruotati L’indipendenza dalla carica significa che il valore di aspettazione non cambia se effettuiamo una rotazione. Quindi Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Questo implica che VN commuta con l’operatore rotazione e quindi in definitiva con i generatori delle rotazioni di isospin T

Autostato con la stessa energia Consideriamo l’hamiltoniana completa del sistema di nucleoni , dove K è l’energia cinetica. Poichè K commuta con T, l’intera hamiltoniana commuta Possiamo formare autostati simultanei di H, T2, Tz e denotarli . Abbiamo Autostato con la stessa energia Assumiamo che |n> e D(R)|n> siano distinti  sono stati degeneri In generale Definition of nuclear physics Areas of study and the applications combinazione lineare Tutti gli stati |n,T,Tz> con Tz diverso devono avere la stessa energia

Il valor medio di H rispetto a uno qualunque di essi è lo stesso. Quindi, se consideriamo i tre stati p-p, n-n, e n-p del tripletto di isospin T=1 Il valor medio di H rispetto a uno qualunque di essi è lo stesso. Una coppia n-p d’altra parte può trovarsi anche in singoletto di isospin Questo sarà un autostato dell’hamiltoniana in generale con autovalore dell’energia diverso. Definition of nuclear physics Areas of study and the applications L’interazione non dipende dalla componente z dell’isospin, ma porterà a energia diverse a seconda che T=0 o T=1.

Invariante rispetto a rotazioni L’invarianza di VN rispetto a isorotazioni implica che VN deve essere uno scalare nello spazio dell’isospin- ad esempio Invariante rispetto a rotazioni Poichè abbiamo e Definition of nuclear physics Areas of study and the applications All’interno di un dato multipletto l’energia non dipende da Tz  nuclei speculari membri di un dato multipletto di isospin con ±Tz

L’indipendenza da Tz implica che un livello corrispondente a un certo valore di T si presenta in 2T + 1 isobari corrispondenti a tutti i possibili valori di Tz. Livello fondamentale di 6Li: ha T = 0 per cui è un singoletto Livello eccitato a 3.56 MeV: ha T = 1 e si presenta in tre nuclei 6He, 6Li, 6Be: Chiara corrispondenza fra i livelli. I livelli però non sono esattamente identici. Perchè?

Simmetria di carica protoni neutroni Consideriamo ora l’azione dell’operatore x L’operatore agendo su una funzione d’onda nucleare converte tutti i neutroni in protoni e viceversa Definition of nuclear physics Areas of study and the applications protoni neutroni La simmetria di carica deve implicare Ciò implica che l’interazione n-n è uguale all’interazione p-p. Quindi, l’indipendenza dalla carica è una condizione più forte della simmetria di carica

interazione p-p = interazione n-n Nuclei speculari Esempio 23Na 23Mg Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Illustrano la simmetria di carica (indipendenza da Tz) interazione p-p = interazione n-n Ciò non implica che p-n = p-p o n-n perchè il numero di coppie p-n è lo stesso in entrambi i nuclei

Estensione del concetto di isospin: il pione Il pione esiste in tre stati carichi p+, p-, p0 . Di conseguenza possiamo definire un tripletto di isospin T=1 e la carica è data da L’isospin è conservato nelle interazioni forti. Consideriamo ad esempio le due reazioni 50% T=0 50% T=1 T=1 T=0 T=1 T=0 T=1 Conservazione significa che l’isospin dello stato finale deve essere uguale all’isospin dello stato iniziale.  ciascuna delle due reazioni può procedere solo attraverso il canale T=1. Abbiamo di conseguenza la predizione Definition of nuclear physics Areas of study and the applications In accordo con le misure!

Interazioni coulombiane: rottura della simmetria di isospin In generale l’hamiltoniana completa di un nucleo contiene anche il termine di interazione coulombiana Vc l’interazione coulombiana fra due protoni separati da una distanza r è Poichè la carica di un singolo nucleone è Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Possiamo ragionare in termini di interazione coulombiana fra due nucleoni i e j sostituendo al posto di e2 il prodotto delle cariche QiQj

L’energia potenziale elettrostatica totale è quindi Vediamo quindi che  Vc è invariante rispetto a rotazioni attorno all’asse z. D’altra parte però, poichè Tz non commuta con Tx e Ty, in generale abbiamo Quindi l’interazione coulombiana non è invariante rispetto a qualunque rotazione nello spazio di isospin. Definition of nuclear physics Areas of study and the applications In pratica questo implica che il valore di aspettazione di H rispetto a uno stato |n,T,Tz> acquisterà una dipendenza da Tz che rimuove la degenerazione.

Chiara corrispondenza fra i livelli Chiara corrispondenza fra i livelli. I livelli però non sono esattamente identici. Perchè?  effetto coulombiano che rimuove la degenerazione.

FORZE DIPENDENTI DALLO SPIN E FORZE NON CENTRALI

Forza dipendente dallo spin - 1 Consideriamo un potenziale dipendente dallo spin della forma VS può essere funzione del momento orbitale del sistema e della carica delle particelle Abbiamo Poichè Si = hslashsi/2 Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Diversi potenziali per gli stati di tripletto e singoletto

Interazione tensoriale – considerazioni generali Il deutone ha un piccolo ma non trascurabile momento di quadrupolo elettrico, Q=2.82x10-31 m2. Quindi la funzione d’onda non è sfericamente simmetrica. La distribuzione di carica è fusiforme  forza tensoriale funzione non solo della distanza n-p ma anche dell’angolo formato dal loro spin con la congiungente delle due particelle. r forza attrattiva (configurazione del deutone a forma di sigaro) forza repulsiva (configurazione del deutone a forma di disco) Esempio classico di forza tensoriale: due barrette magnetiche N S r Definition of nuclear physics Areas of study and the applications forza repulsiva forza attrattiva

Il potenziale tensoriale ha la forma forza attrattiva (configurazione del deutone a forma di sigaro) forza repulsiva (configurazione del deutone a forma di disco)

Momenti elettrici

Momenti nucleari Momenti elettrici r-r’ Le proprietà elettromagnetiche statiche dei nuclei sono specificate in termini dei momenti elettromagnetici che danno informazioni sul modo in cui il magnetismo e la carica sono distribuiti all’interno del nucleo. I due momenti più importanti sono Momento di quadrupolo elettrico Q Momento di dipolo magnetico m Momenti elettrici Dipendono dalla distribuzione di carica all’interno del nucleo e sono una misura della forma nucleare (contorni di densità di carica costante). La forma nucleare è parametrizzata tramite un’espansione di multipolo del campo elettrico esterno r-r’

Eseguiamo un’espansione in serie di potenze Possiamo quindi riscrivere il potenziale elettrico come

Nel limite quantistico Supponiamo che r definisca l’asse z Definiamo quindi

Momento di quadrupolo elettrico Le unità sono m2 o barn (un’area) Nel caso di simmetria sferica si ha z2=r2/3 per cui Q=0 In particolare, tutti i nuclei con J=0 hanno Q=0 sferoide prolato Q=+ve a>b=c sigaro sferoide oblato Q=-ve a=b>c dosco o “lenticchia” Ellitticità Sperimentalmente h è tipicamente 10%

Chiusa parentesi

Forma del potenziale dettata da principi di invarianza Se ipotizziamo che l’interazione nucleare sia invariante rispetto a traslazioni, rotazioni e riflessione degli assi, allora la forma più generale è (Wigner) Vi possono essere funzione del momento orbitale del sistema e della carica delle particelle potenziale centrale potenziale tensoriale Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Parità e invarianza sotto riflessioni spaziali Un’interazione della forma è invariante sotto rotazioni. Tuttavia, abbiamo un vincolo addizionale: la conservazione della parità nelle interazioni forti. Una trasformazione di parità è una riflessione rispetto all’origine in cui tutte le coordinate cambiano segno Definition of nuclear physics Areas of study and the applications r è un vettore A questa trasformazione nello spazio ordinario corrisponde un operatore agente nello spazio vettoriale degli stati di un sistema, Come è definita?

La proprietà di invarianza può essere anche riformulata come Ricordando che r in meccanica quantistica diventa un operatore (come il momento angolare), possiamo fare l’ipotesi “plausibile” Poichè, l’operatore quantità di moto ha la medesima proprietà di trasformazione. Abbiamo quindi le proprietà di trasformazione degli operatori posizione e momento angolare r è un vettore L è uno pseudovettore – lo spin ha la stessa proprietà di trasformazione Dire che la parità è conservata significa che l’hamiltoniana del sistema è invariante sotto Up, Definition of nuclear physics Areas of study and the applications La proprietà di invarianza può essere anche riformulata come

Forma del potenziale dettata da principi di invarianza Se ipotizziamo che l’interazione nucleare sia invariante rispetto a traslazioni, rotazioni e riflessione degli assi, allora la forma più generale è (Wigner) Vi possono essere funzione del momento orbitale del sistema e della carica delle particelle potenziale centrale potenziale tensoriale  sr non è invariante sotto riflessioni spaziali  potenze pari sono invarianti (s1r) (s2r) (potenze maggiori della seconda possono essere ridotte alla seconda tramite le relazioni di commutazione per due particelle identiche) Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Potenziale tensoriale e stati del deutone Il potenziale VC(r) + VS(r)s1s2 è invariante rispetto a rotazioni delle coordinate e nello spazio di spin separatamente. Il momento angolare orbitale e di spin totali L, S sono i generatori delle rotazioni  L ed S commutano con H Questo implica che mzL, mzS sono buoni numeri quantici, ossia costanti del moto: un autostato di H è caratterizzato da valori definiti di mzL, mzS Inoltre, anche L2 e S2 commutano con H, oltre che con Lz, Sz. Quindi, complessivamente un autostato di H è anche autostato di L2, S2, Lz e Sz con numeri quantici L,S, mzL, SzL Il potenziale VT(r)S12 è invariante solo rispetto a rotazioni simultanee delle coordinate e nello spazio di spin. J = L + S è il generatore di tali rotazioni, per cui J commuta ancora con H. Tuttavia, si può mostrare che L non commuta più con H Definition of nuclear physics Areas of study and the applications un autostato di H può essere una sovrapposizione di stati di L diverso E per quanto riguarda lo spin?

Ancora sulla parità e parità degli stati nucleari Sotto una trasformazione di parità la funzione d’onda di un sistema si ottiene invertendo tutte le coordinate Supponiamo che f sia una autofunzione di UP. Allora Tuttavia, per cui Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Questo implica Le autofunzioni della parità restano invariate o cambiano segno rispetto allo scambio delle coordinate spaziali.

Applicando di nuovo UP, deve essere anche (rk) = K (-rk) , Torniamo a considerare il deutone e sia ora  un’autofunzione dell’hamiltoniana del sistema p-n Consideriamo l’equazione di Schrodinger per l’autofunzione trasformata sotto parità UP (rk). Poichè H e UP commutano, troviamo poichè H(rk) = E (rk) Quindi anche UP (rk) è un’autofunzione di H con autovalore E. Pertanto deve essere Applicando di nuovo UP, deve essere anche (rk) = K (-rk) , Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Da cui segue che K= ±1. Quindi la funzione d’onda del deutone è anche un’autofunzione della parità.  Proprietà generale: le funzioni d’onda di sistemi nucleari hanno definite proprietà di trasformazione rispetto all’inversione spaziale.

 Le funzioni d’onda di sistemi nucleari hanno definite proprietà di trasformazione rispetto all’inversione spaziale. Questo implica che il momento di dipolo di un nucleo è zero Sotto inversione spaziale  * non cambia segno, mentre z cambia. Quindi E1-E1 per cui E1=0 La condizione di non degenerazione di  è essenziale. Consideriamo ad esempio, l’hamiltoniana di una particella libera H = p2 / 2m. Le autofunzioni (onde piane) f = exp(±ipx/h) sono degeneri poichè hanno lo stesso autovalore E = p2/2m. H commuta con UP, mentre d’altra parte  le onde piane non hanno una parità definita. Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Completamento della discussione sugli stati del deutone Per gli stati del deutone abbiamo trovato che è caratterizzato dai numeri quantici J, mJ e la parità. H ed S non commutano. Tuttavia, l’hamiltoniana corrrispondente al potenziale è simmetrica rispetto allo scambio degli spin. Considerazioni simili a quelle sulla parità: gli stati di spin devono essere simmetrici (corrispondenti a S=1) o antisimmetrici (corrispondenti a S=0) rispetto allo scambio delle coordinate di spin  l’autovalore di S2 è un buon numero quantico  mS non è un buon numero quantico (possiamo avere sovrapposizioni di diversi stati di tripletto con diverso mS) Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Mixing di stati di momento angolare orbitale diverso Poichè H e L non commutano a causa del potenziale tensoriale, lo stato del deutone in generale può essere una sovrapposizione di stati di L diverso. Poichè L e UP commutano, un autostato del momento angolare (L2,Lz) è anche un autostato della parità. Utilizzando coordinate polari sferiche abbiamo visto che la funzione d’onda corrispondente a un definito momento angolare orbitale ha la forma Autostato di L2 e Lz Sotto parità Definition of nuclear physics Areas of study and the applications L’espressione esplicita delle funzioni sferiche è

Abbiamo per m = 0 il caso speciale A seconda del grado L, il polinomio di Legendre è o pari o dispari Vediamo quindi che sotto inversione spaziale Introduciamo gli operatori di innalzamento e abbassamento del momento angolare Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Poichè L communta con UP, anche L commutano con la parità e quindi in generale sotto inversione spaziale

Quindi la parità di uno stato di momento angolare orbitale è Poichè L e UP commutano e poichè UP e H commutano, possiamo avere o sovrapposizione di stati di L pari o sovrapposizione di stati L dispari.  non si possono mescolare stati L pari con stati L dispari. Il deutone ha J=1 e consiste essenzialmente dello stato 3S1 in presenza di forze centrali. In presenza del potenziale tensoriale consideriamo quindi lo stato 3S1+3D1, cioè una sovrapposizione di stati L=0 e L=2. Definition of nuclear physics Areas of study and the applications  consistente col momento magnetico osservato.

Il momento magnetico del deutone Il momento magnetico del deutone riceve un contributo dai momenti magnetici intrinseci del protone e del neutrone, e un contributo dovuto al momento angolare orbitale del protone. La componente intrinseca è Il moto orbitale del protone forma (classicamente) una spira di corrente che dà luogo a un momento magnetico orbitale Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Poichè protone e neutrone hanno sostanzialmente la stessa massa, il momento angolare orbitale del protone Lp è metà del momento angolare orbitale totale

 m e J non sono allineati Il momento magnetico totale è dunque Il momento angolare totale è  m e J non sono allineati Immaginiamo di eseguire misure lungo l’asse z. La misura del momento angolare dà Definition of nuclear physics Areas of study and the applications L’asse z può essere definito ad esempio da un campo magnetico uniforme. In tale campo l’energia dipende da mj

Il momento magnetico misurato è per definizione la sua proiezione massimale sull’asse z definito dalla direzione del campo magnetico con mj=J La misura è fatta in uno stato in cui J è massimalmente allineato con z: assumiamo (classicamente) che mz sia la proiezione di m su J proietta m su J ... ... quindi J su z Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Quindi

Essendo J=1 per il deutone Usiamo e scriviamo l’operatore come Ma gli spin del protone e del neutrone sono allineati (per dare S=1) per cui, Definition of nuclear physics Areas of study and the applications  il secondo termine deve dare zero.

Quindi per il deutone possiamo scrivere effettivamente Trucco per i valori di aspettazione. Poichè Quindi Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Il momento magnetico osservato del deutone è Possiamo scrivere i momenti magnetici corrispondenti a L=0 e L=2 (J=1, S=1) Il momento magnetico osservato del deutone è Assumiamo quindi che la funzione d’onda del deutone sia una combinazione lineare di stati S e D Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Possiamo quindi aggiustare i coefficienti in modo da render conto del momento magnetico osservato  b2=0.04 o una miscela con onda D al 4% spiega il momento magnetico!

Lo stato del deutone può essere L=0 o L=2 Lo stato del deutone può essere L=0 o L=2. In entrambi i casi Stot=1 e Sz=1. Si può mostrare che Il potenziale tende ad allineare r con z modificando la densità del sistema  momento di quadrupolo positivo Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

SATURAZIONE DELLE FORZE NUCLEARI E FORZE DI SCAMBIO

Saturazione Finora abbiamo considerato delle funzione Vi(r) attrattive a tutte le distanze e indipendenti dal momento angolare. Consideriamo un nucleo con A nucleoni. La sua energia totale sarà K + U, dove U = energia potenziale. Per un potenziale attrattivo fra ciascuna coppia di nucleoni f(r) = funzione della distanza media fra i nucleoni K = energia cinetica. Se immaginiamo i nucleoni come un gas di fermioni in una sfera di raggio R Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Per grandi valori di A, E tende ad essere dominata da U per cui ci aspetteremmo che l’energia di legame cresca come A2 (o potenze maggiori). D’altra parte si osserva che l’energia di legame dei nuclei cresce come A. Questo fatto sembra quindi implicare una saturazione della forza nucleare: Una particella interagisce solo con un numero limitato di altre particelle.

raggio d’azione della forze nucleari Inoltre possiamo stimare l’energia dello stato fondamentale col metodo variazionale minimizzando Se usiamo come funzioni d’onda onde piane che si propagano nella sfera di raggio R che rappresenta il nucleo, allora si trova che raggio d’azione della forze nucleari indipendentemente da A. D’altra parte di osserva invece che i raggi nucleari crescono come Questa discrepanza è di nuovo una conseguenza del fatto che il potenziale tende a tenere troppo unite le particelle. E’ invece necessario un potenziale che impedisca alle particelle di avvicinarsi troppo. Abbiamo alcune possibilità: 1. Potenziale repulsivo a piccole distanze (lo investigheremo più avanti). 2. Forze di scambio. Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Forze di scambio Scriviamo la funzione d’onda n-p nella forma (r1,s1,r2,s2)  (1,2). Analogamente il potenziale V(r1,s1,r2,s2)  V(1,2). Il valore di aspettazione è Tuttavia, anzichè V (detto anche potenziale di Wigner) possiamo considerare un operatore dato dal prodotto di V per uno dei seguenti operatori VPH  VH interazione di Heisemberg: scambia le particelle sia le coordinate spaziali che di spin Definition of nuclear physics Areas of study and the applications VPM  VM interazione di Majorana: scambia le coordinate spaziali delle particelle VPB  VB interazione di Bartlett: scambia le coordinate di spin delle particelle

Per cui l’interazione di Majorana è Forza di Majorana. Lo scambio delle coordinate spaziali equivale a r  -r. Ma sotto inversione spaziale Per cui l’interazione di Majorana è Potenziale indipendente dallo spin che cambia segno a seconda che L sia pari o dispari. Forza di Bartlett. Scambio delle coordinate di spin: stato di singoletto di spin antisimmetrico  il segno cambia stato di tripletto di spin simmetrico  il segno non cambia Quindi Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Per cui l’interazione di Bartlett è Potenziale che ha segno opposto per stati S = 0 e S = 1. L’interazione nucleare non può essere di Bartlett pura.

Per due particelle abbiamo Per cui possiamo scrivere l’interazione di Bartlett come Forza di Heisemberg. Poichè in questo caso vengono scambiate sia le coordinate spaziali che quelle di spin, abbiamo Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Potenziale che cambia segno a seconda che L+S sia pari o dispari:

Per due nucleoni abbiamo e possiamo scrivere Infatti questa cambia segno a seconda che lo stato di isospin sia simmetrico o antisimmetrico, che equivale a dire, in base al principio di Pauli generalizzato, a seconda che (r1,s1,r2,s2) sia antisimmetrica o simmetrica rispetto allo scambio delle coordinate spaziali e di spin. Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Forze di scambio e saturazione La differenza fra l’interazione n-p in 3S1 e 1S0 può spiegarsi assumendo - ~ 25% interazione di Heisemberg o Bartlett - ~ 75% interazione di Wigner o Majorana L’interazione di Bartlett non porta a saturazione. Infatti tende ad allineare gli spin e nei nuclei pesanti l’energia di legame sarebbe  A2. Si può mostrare invece che sia l’interazione di Majorana che di Heisemberg, cambiando segno in stati di L pari o dispari, danno entrambe luogo a saturazione. L’interazione di scambio predominante sembra essere quella di Majorana. Fino al nucleo 4He la saturazione non dovrebbe manifestarsi perchè possiamo accomodare tutti i nucleoni in onda S (sia i 2 protoni che i 2 neutroni in singoletto di spin). In effetti, l’energia di legame cresce da D, ad 3H e ad 4He consistente con l’assunzione che in D abbiamo 2 particelle e un legame , in 3H abbiamo 3 particelle e 3 legami, in 4He abbiamo 4 particelle e 6 legami  più legami ci sono maggiore è l’energia di legame. Se aggiungiamo un quinto nucleone, deve essere necessariamente in onda P. Il segno del potenziale cambia per cui non risulta legato agli altri  saturazione. In effetti 5He e 5Li sono entrambi instabili. Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Evidenza sperimentale delle forze di scambio Lo scattering n-p ad alta energia (100 MeV) dimostra l’esistenza delle forze di scambio. L’ampiezza di scattering nell’approssimazione di Born nel centro di massa è m = massa ridotta r = r1 – r2 V(r) a corto range: l’integrale ha un valore non nullo solo per Scattering in avanti: ci aspettiamo di osservare un (solo) massimo a ϑ~0 altrimenti l’esponenziale oscilla così rapidamente da dare mediamente un risultato nullo Definition of nuclear physics Areas of study and the applications d/d

Tuttavia la sezione d’urto osservata presenta un massimo anche per ϑ ~ 180o corrispondente a neutroni che rinculano indietro. d/d Se ci fosse una forza di scambio di Majorana, allora r va scambiato con –r e Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Allora f(ϑ) è grande per ki + kf ~ 0  scattering del neutrone indietro (e di p in avanti)!

ϑ ϑ n p Interazione diretta n p Interazione di scambio La sezione d’urto a 100 MeV (la prima ad essere misurata) presenta due massimi simili. Questo suggerì una miscela di forze ordinarie e di Majorana in parti uguali nota come interazione di Serber, Definition of nuclear physics Areas of study and the applications VSerber è attrattivo per L pari e zero per L dispari. Questo implica che la distribuzione angolare è data da

Poichè PL(cosϑ) è pari per L pari, abbiamo infine, come richiesto dalle osservazioni sperimentali a 100 MeV Tuttavia, misure a energie maggiori mostrano che il massimo a 180o aumenta progressivamente per cui anche il peso delle forze di scambio aumenta rispetto a quello delle forze ordinarie. d/d Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Inoltre, dati di scattering p-p mostrano come anche gli stati L dispari contribuiscano.

SCATTERING AD ALTA ENERGIA: ALTRE CARATTERISTICHE DELL’INTERAZIONE NUCLEARE

Potenziale spin-orbita Una forza dipendente dal momento può essere rappresentata da un termine di spin-orbita nel potenziale Gli elettroni atomici sono soggetti a un accoppiamento spin-orbita derivante dall’interazione degli spin elettronici col campo magnetico dell’atomo I nucleoni sono soggetti ad un accoppiamento spin-orbita derivante dall’interazione del loro spin e del momento angolare orbitale. Si ha evidenza di un termine di spin-orbita dalla polarizzazione dei nucleoni scatterati Polarizzazione: numero di nucleoni con spin up N() diverso dal numero di nucleoni con spin down N() Definition of nuclear physics Areas of study and the applications - P =  1 100 % polarizzazione - P = 0 assenza di polarizzazione

Nucleone 1: L = r x p nel piano V > 0 repulsivo Osserviamo la polarizzazione del nucleone scatterato quando fascio e bersaglio non sono polarizzati Assumiamo Abbiamo 3 possibilità: (i) il nucleone del fascio ha spin , il nucleone bersaglio ha spin , lo spin totale è S = 1 Nucleone 1: L = r x p nel piano V > 0 repulsivo Nucleone 2: L = r x p fuori dal piano V< 0 attrattivo Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Tutti gli spin  incidenti su spin  (bersagli) sono deflessi nella stessa direzione a causa del potenziale spin-orbita

Nucleone 1: L = r x p nel piano V > 0 attrattivo (ii) il nucleone del fascio ha spin , il nucleone bersaglio ha spin , lo spin totale è S = 1 Nucleone 1: L = r x p nel piano V > 0 attrattivo Nucleone 2: L = r x p fuori dal piano V< 0 repulsivo (iii) il nucleone del fascio ha spin  o , il nucleone bersaglio ha spin  o , lo spin totale è S = 0 non c’è deflessione a causa dell’accoppiamento spin-orbita Definition of nuclear physics Areas of study and the applications L’interazione spin-orbita deflette la componente di spin  del fascio incidente a sinistra e la componente di spin  del fascio incidente a destra  Abbiamo polarizzazione

La polarizzazione cresce con l’energia Qualunque singolo nucleone che passa attraverso l’interno di un nucleo incontrerà in media un ugual numero di nucleoni con spin  e spin , per cui l’interazione spin-orbita complessiva è nulla. Tuttavia, un’interazione di spin-orbita non nulla si può avere per quei nucleoni che passano vicino alla superficie del nucleo Definition of nuclear physics Areas of study and the applications L’effetto si osserva soltanto quando l’energia del fascio incidente è abbastanza alta da poter avere L > 0 La polarizzazione cresce con l’energia

Il nocciolo repulsivo l del nucleone incidente  range della forza nucleare A 300 MeV lo spostamento di fase S diventa negativo  forza repulsiva Classicamente Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Per Elab = 300 MeV abbiamo p  1.7 fm-1. Con Lmax  1 troviamo

Riassunto sui potenziali fenomenologici Riassumendo, la forma più generale del potenziale nucleone-nucleone è dove in generale ciascun termine Vi (i = C, LS, ecc.) è funzione delle distanze e velocità relative, del momento angolare orbitale e isospin, parte “isoscalare” parte “isovettoriale” Inoltre abbiamo Definition of nuclear physics Areas of study and the applications operatore quadratico di spin-orbita

TEORIA MESONICA

L’idea della forza mediata dallo scambio di particelle Abbiamo visto che le misure di scattering n-p ad alte energie evidenziano, oltre un massimo a piccoli angoli, anche un massimo pronunciato a 1800. scattering atteso Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Una possibile spiegazione si ha se assumiamo che durante l’urto una particella carica venga scambiata fra protone e neutrone, cosicchè il neutrone incidente diventa un protone e il protone diventa un neutrone.

lunghezza d’onda Compton della particella Poichè il processo spontaneo di creazione di una particella “virtuale” viola la conservazione dell’energia, vale la relazione di indeterminazione dove DE = mc2 è l’energia richiesta per creare la particella (trascurando l’energia cinetica ). Se la particella si muove alla velocità della luce, allora Dt  R / c cosicchè otteniamo il range lunghezza d’onda Compton della particella Per ottenere un range di circa 2 fm la massa deve essere circa 100 MeV (hslashc = 200 MeV fm) Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Scambio di particelle di massa non nulla In elettromagnetismo, i fotoni, particelle di massa nulla, soddisfano l’equazione di campo (equazione di Poisson) La soluzione di questa equazione si ottiene integrando sul volume Possiamo ricavare un’equazione d’onda relativistica per una particella di massa non nulla a partire dall’invariante  Equazione del moto della particella libera Operando le sostituzioni Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Questo porta all’equazione d’onda Equazione di Klein-Gordon

Consideriamo la soluzione in condizioni statiche per cui /t = 0. In elettromagnetismo le cariche elettriche sono le sorgenti del campo elettromagnetico (i fotoni). In analogia con l’elettromagnetismo, supponiamo che un nucleone sia sorgente di queste particelle di massa m possiamo porre Consideriamo un nucleone di massa infinita fisso nell’origine La soluzione di questa equazione è il potenziale di Yukawa Definition of nuclear physics Areas of study and the applications A causa della forma esponenziale, diretta conseguenza della massa non nulla delle particelle, questo potenziale ha il desiderato range finito

propagatore del campo bosonico Questa stima è abbastanza piccola: il pione comincia a dominare proprio oltre questo range. Applicando un fattore 3 o 4 si ottiene una stima più realistica. L’energia di interazione con un secondo nucleone posto nel campo del primo è Possiamo valutare l’ordine di grandezza della costante di accoppiamento forte g, considerando la sezione d’urto di interazione nucleone-nucleone. Abbiamo Definition of nuclear physics Areas of study and the applications L’integrale è propagatore del campo bosonico

Assumiamo che la sezione d’urto totale (a bassa energia q  0) sia D’altra parte L’ordine di grandezza della costante di accoppiamento è dunque Definition of nuclear physics Areas of study and the applications come ci aspetta dal fatto che a r = 1/m l’interazione nucleare fra protoni deve essere molto maggiore della repulsione coulombiana

Mesoni carichi e neutri. Teoria simmetrica Il potenziale che abbiamo ricavato descrive l’emissione e l’assorbimento di un pione neutro. Corrisponde quindi ai processi Le forze di scambio indicano però che si può avere anche emissione e assorbimento di pioni carichi Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

ta sono operatori che agiscono sulla funzione di isospin del nucleone. Dobbiamo includere anche i pioni carichi. Introduciamo quindi tre campi fa e modifichiamo l’equazione di Klein-Gordon (abbiamo un’equazione per ciascun campo) ta sono operatori che agiscono sulla funzione di isospin del nucleone. Quando viene scambiato un pione neutro (campo f3), il nucleone non cambia per cui t3 deve trasformare un protone in un protone o un neutrone in un neutrone: Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Possiamo quindi porre

solo i neutroni emettono p- Con t1 e t2 dobbiamo rappresentare l’emissione (assorbimento) di pioni positivi e negativi nei processi Gli operatore t1 e t2 devono quindi trasformare il neutrone in un protone e viceversa. Poniamo quindi solo i neutroni emettono p- solo i protoni emettono p+ Abbiamo visto già che le combinazioni lineari (tx ± ity)/2 scambiano protoni con neutroni e viceversa, per cui poniamo Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Restano da fissare le costanti c1 e c2. Richiediamo che sia uguale a Poichè Troviamo quindi Questa scelta assicura che i mesoni carichi (che possono essere emessi solo da un tipo di nucleoni per ogni carica) siano legati ai nuclei altrettanto fortemente dei neutri (che possono essere emessi sia da neutroni che da protoni). Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Le soluzioni delle tre equazioni di Klein-Gordon sono L’energia di interazione fra un nucleone b posto nel campo fa di un nucleone a è scalare nello spazio dell’isospin  invarianza di carica rispettata Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Qui è uguale, per come abbiamo fissato le costanti di di normalizzazione a Problema: tatb ha segno positivo in tripletto e negativo in singoletto di isospin. Quindi nello stato fondamentale del deutone, che ha T = 0, avremmo una forza repulsiva!  la teoria non funziona!

La parità intrinseca Consideriamo una reazione come La funzione d’onda dello stato iniziale i e dello stato finale i saranno caratterizzate da una certa parità, La conservazione della parità implica che la parità dello stato finale deve essere uguale alla parità dello stato iniziale Tutto ciò è basato sulla definizione della legge di trasformazione di una funzione d’onda UP(rk) = (-rk). Adesso generalizziamo questa definizione in Definition of nuclear physics Areas of study and the applications dove Prodotto di parità intrinseche di protone e neutrone

La parità dello stato iniziale e finale diventano La condizione di conservazione della parità sopra non viene modificata perchè le parità intrinseche nello stato iniziale e finale sono le stesse e quindi si cancellano. Tuttavia, in fisica delle particelle però possono aver luogo reazioni in cui si ha creazione o distruzione di particelle. Ad esempio In questo caso la condizione di conservazione della parità è Le parità intrinseche del protone e del neutrone si cancellano come prima, ma la parità intrinseca del pione è osservabile e a priori può essere sia +1 che -1. Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Nella reazione di scambio carica Le parità intrinseche dei nucleoni non si cancellano  possiamo assegnare una parità intrinseca a tutte le particelle, ma alcune di queste devono essere fissate per definizione

Si è soliti assumere per definizione Scelta naturale legata alla simmetria di isospin: p ed n diversi stati di carica della stessa particella La parità intrinseca dei pioni (carichi) può essere determinata studiando la reazione Pioni lenti vengono catturati dal deuterio in un orbitale K in onda S (lp = 0). Il momento angolare dello stato iniziale è quindi Definition of nuclear physics Areas of study and the applications La conservazione del momento angolare implica che il momento angolare dello stato finale è Se Ln = 0 allora il principio di Pauli detta che gli spin siano antiparalleli e Jnn non può essere 1. Quindi deve essere Ln = 1.

La parità dello stato iniziale è Poichè nella reazione la parità è conservata, la parità dello stato finale è Concludiamo quindi che, essendo Ln = 1, Il pione ha parità intrinseca negativa! – è una particella pseudoscalare. Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Interazione del mesone pseudoscalare col nucleone L’accoppiamento fra pione pseudoscalare e nucleone può essere descritto correttamente solo con la teoria di Dirac facendo uso dell’operatore g5. Qui svilupperemo un’approssimazione non relativistica basata su un’analogia con l’elettromagnetismo. L’equazione di Poisson di un dipolo elettrico nell’origine è Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Il potenziale viene ottenuto da

Torniamo adesso le equazioni di Klein-Gordon Poichè fa(r) è una quantità pseudoscalare, anche ra deve essere pseudoscalare. Poniamo matrice di spin del nucleone è una quantità pseudoscalare, interpretabile come un dipolo magnetico dall’analogia con l’elettrostatica, che tiene conto del fatto che i nucleoni hanno spin. Sfruttando l’analogia con l’elettrostatica per la soluzione del potenziale, abbiamo la soluzione delle equazioni di Klein-Gordon Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Sostituiamo il campo pionico L’energia di interazione fra un nucleone in r2 nel campo pionico generato da un altro nucleone posto in r1 è Sostituiamo il campo pionico e integriamo su tutto lo spazio. In questo modo arriviamo al potenziale di scambio di un pione Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

stati spazialmente simmetrici (ad. es. L=0) Facendo agire gli operatori gradiente su exp(-mpr)/r arriviamo al risultato finale Il termine Dà luogo a una potenziale centrale di scambio a causa del fattore (t1t2)(s1s2) . Inoltre Definition of nuclear physics Areas of study and the applications stati spazialmente simmetrici (ad. es. L=0) Quindi la forza centrale prevista negli stati 3S e 1S è la stessa ed è attrattiva.

stati spazialmente simmetrici In modo più completo stati spazialmente simmetrici stati spazialmente antisimmetrici La parte centrale di U è attrattiva in stati pari e repulsiva in stati dispari. Il termine Definition of nuclear physics Areas of study and the applications È un interazione tensoriale col segno corretto per spiegare il momento di quadrupolo del deutone. E’ presente anche un termine di contatto d(r). Tuttavia, prima che diventi importante, entrano in gioco altre componenti repulsive dell’interazione.

Mesoni … diamo uno sguardo alla tavola del Particle Data Group (PDG)

Pseudoscalari JP=0- vettoriali JP=1- scalari JP=0+

Mesoni pseudoscalari e vettoriali I mesoni sono stati legati formati da un quark e un antiquark. Consideriamo i flavor di quark più leggeri u (up), d (down), s(strange). Come il protone e il neutrone, i quark up e down formano un doppietto di isospin 1/2 carica elettrica Gli antiquark anti-up e anti-down formano un altro doppietto di isospin Definition of nuclear physics Areas of study and the applications carica elettrica Il quark s ha isospin zero, ma possiede un numero quantico detto stranezza

Combinando un quark (up o down) con un antiquark (anti-up o anti-down) possiamo formare stati di isospin 1 oppure 0. Fra questi abbiamo i pioni (tripletto di isospin) e il mesone  (singoletto di isospin) I pioni e il mesone  sono pseudoscalari. La parità del sistema quark-antiquark è dunque Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Questo implica che il momento angolare orbitale è nullo. Inoltre, poichè sia i pioni che la  hanno spin nullo, gli spin del quark e antiquark si combinano in un singoletto di spin.

Consideriamo adesso anche il quark quark s (strange) Consideriamo adesso anche il quark quark s (strange). Possiede un numero quantico detto stranezza. Possiamo combinare i flavor up, down e strange in una simmetria più ampia di quella di isospin SU(2)  Simmetria SU(3) Si possono formare 9 stati (un ottetto e un singoletto di SU(3))

Mesoni vettoriali In modo analogo possiamo costruire 9 mesoni vettoriali quando la coppia qqbar si trova in uno stato di spin pari a uno. Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

One boson exchange potential (OBEP) Generalizzazione: interazione mediata dallo scambio di vari mesoni anche vettoriali e scalari oltre che pseudoscalari. Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Riassunto: le parti più importanti della forza nucleare Forza centrale Corto range r w Range intermedio s Lungo range p Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Scambio di due pioni correlati in uno stato di momento angolare totale zero Forza tensoriale: r p Forza spin-orbita: w s

La forza nucleare alla luce della QCD Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

La “forza forte” fondamentale è fra quark e non fra nucleoni! Se i nucleoni non si sovrappongono, cosa succede fra di essi? Si ha solo un’interazione residua! Ci sono altre forze residue in natura, ad esempio la forza di Van der Waals fra due atomi neutri Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Scambio di due fotoni: interazione dipolo-dipolo

Analogamente, i quark colorati in un nucleone si combinano in uno stato senza colore. In prima approssimazione un nucleone appare neutro dal punto di vista dell’interazione forte così come un atomo appare neutro dal punto di vista dell’interazione elettromagnetica. L’analogia perfetta della forza di Van der Waals corrisponde allo scambio di due gluoni Tuttavia questa idea non può essere vera perchè creerebbe una forza di range infinito (i gluoni sono senza massa), mentre la forza nucleare ha range finito. Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Esiste qualcos’altro che può funzionare nel caso di due nucleoni che non si sovrappongono?

Lo stesso ma in termini più professionali Ma se affermiamo che stiamo usando la QCD, allora dobbiamo calcolare questo vertice in termini di scambi di quark e gluoni. Buona fortuna! Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Quando due nucleoni si sovrappongono, abbiamo un problema a sei quark con interazioni non perturbative fra i quark (scambi gluonici non perturbativi). Un problema formidabile! Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Attualmente sono in corso tentativi di calcolare questa interazione con la formulazione della QCD su reticolo.

Letture Forze nucleari: 1. Teoria elementare del nucleo – H. Bethe e P. Morrison 2. Nuclei e particelle – E. Segrè 3. Introduzione alla fisica nucleare - Alberico 4. The meson theory of nuclear forces - Machleidt (adv. nucl. phys. 19 (1989) 189 Meccanica quantistica, teoria dello scattering: 1. Quantum mechanics - Sakurai 2. Quantum physics - Gasiorowicz Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

Vogliamo adesso ruotare simultaneamente un sistema di due nucleoni Come abbiamo visto, due nucleoni possono essere in uno dei tre stati di isospin T=1 oppure in singoletto di isospin T = 0. Possiamo ruotare lo stato di isospin di ciascun nucleone tramite l’operatore ruota |t2,t2z> ruota |t1,t1z> L’esponenziale può essere sviluppato in modo da ottenere Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Dove T è l’isospin totale

e il valor medio rispetto agli stati ruotati Possiamo definire l’invarianza dalla carica nel modo seguente. Consideriamo il valor medio del potenziale nucleare rispetto al dato stato di isopin e il valor medio rispetto agli stati ruotati L’invarianza dalla carica significa che il valore di aspettazione non cambia se effettuiamo una rotazione. Quindi Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Questo implica che VN commuta con l’operatore rotazione e quindi in definitiva che

scattering Rutherford Scattering p-p. E’ presente sia l’interazione coulombiana che forte. Espressione teorica di ds/d per lo scattering p-p scattering Rutherford Scattering Mott termine classico Rutherford termine di interferenza correzione per due particelle identiche Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Termini di interferenza fra parte coulombiana e nucleare T= energia cinetica nel lab  = angolo di scattering nel c.m.s.  = (e2/4p)b-1 (b = v/c) d0=spostamento di fase L = 0 potenziale nucleare

Mesoni pseudoscalari I mesoni sono stati legati formati da un quark e un antiquark. Consideriamo i flavor di quark più leggeri u (up), d (down), s(strange) aventi carica elettrica Gli anti-quark hanno carica opposta Come il protone e il neutrone, i quark up e down formano un doppietto di isospin 1/2 Gli antiquark anti-up e anti-down formano un altro doppietto di isospin Definition of nuclear physics Areas of study and the applications carica elettrica Il quark s ha isospin zero, ma possiede un numero quantico detto stranezza

Interpretazione degli spostamenti di fase A grandi distanze l’influenza del campo è così debole che la funzione d’onda mantiene la sua forma originale salvo che per la comparsa dello spostamento di fase In particolare la funzione d’onda per L = 0 sarà data da e Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Poichè dl + np producono lo stesso valore, la fase è determinata nell’intervallo -p/2,+p/2 o 0-p

s(barn) s~2.4 barn a bassissima energia T (MeV) Nell’approssimazione più semplice consideriamo un range r0 nullo. Allora raggio del deutone = 4.3 fm Essendo (E = energia nel CMS) Ricaviamo s(barn) Definition of nuclear physics Areas of study and the applications s~2.4 barn a bassissima energia Poichè l’energia cinetica del neutrone nel sistema del lab è T = 2E, otteniamo infine la sezione d’urto in funzione di T T (MeV)