Nuclei e Radioattività Lino Miramonti Per il corso di Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare a.a. 2003-2004 Lino Miramonti Università degli Studi di Milano Facoltà di scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Un nucleo atomico è caratterizzato da: numero atomico (Z) che indica il numero di protoni numero di massa (A) che rappresenta il numero totale di nucleoni presenti nel nucleo atomico.   Se indichiamo con N il numero di neutroni, possiamo scrivere: A=N+Z.

Tale andamento è ben descritto dalla così detta curva di stabilità Per nuclei leggeri la configurazione nucleare risulta stabile quando Z = N. Al crescere di Z il numero di neutroni necessari a garantire la stabilità aumenta. Tale andamento è ben descritto dalla così detta curva di stabilità ISOBARI Nuclidi con eguale numero di massa A ISOTOPI Nuclidi con eguale numero atomico Z ISOTONI Nuclidi con eguale numero di neutroni N

Termine di Accoppiamento formula di Weizsäcker L’energia di legame per nucleone (esclusi i nuclei più leggeri) è circa 7-8 MeV La formula di Weizsäcker (formula semi-empirica di massa) permette di calcolare l’energia di legame: av 15.67 MeV Termine di Volume as 17.23 MeV Termine di Superficie ac 0.714 MeV Termine Coulombiano aa 93.15 MeV Termine di Asimmetria δ Termine di Accoppiamento

Energia di legame per nucleone

Emissione radioattiva di un nucleo instabile Possiamo classificare i diversi modi di emissione radioattiva di un nucleo instabile nel seguente modo:   Interazione nucleare forte Radioattività α Radioattività da protoni o neutroni differenziati Fissione spontanea Interazione nucleare debole Radioattività β Cattura elettronica (EC) Interazione elettromagnetica Isomeria nucleare

TABELLA DEGLI ISOTOPI Isotopi Stabili

Fissione Emissione Alfa Beta più Beta meno Stabili: 279 Con il termine nuclide si indicano tutti gli isotopi conosciuti di elementi chimici Stabili: 279 Instabili: ~ 5000 Fissione Emissione Alfa Beta più Beta meno

IL DECADIMENTO RADIOATTIVO costante radioattiva Consideriamo un nucleo instabile in un dato istante; questo si trasformerà in un nucleo stabile (dopo una o più trasformazioni) attraverso un dato processo radioattivo. E’ impossibile prevedere quando un dato nucleo si trasformerà; possiamo solamente definire una certa probabilità di trasformazione in un’unità di tempo data. Questa probabilità è la stessa per tutti i nuclei di un dato nuclide e si mantiene costante nel tempo. Nucleo padre costante radioattiva λ [s-1] ( = probabilità nell’unità di tempo) Nucleo figlio ESEMPIO: Un nucleo di: 60Co probabilità di 1/240 milioni di disintegrarsi in un secondo 238U probabilità di 1/(2·1017) 219Rn probabilità di circa 1/6 Questa probabilità di disintegrazione radioattiva spontanea per unità di tempo è detta costante radioattiva, si esprime in secondi-1 e si indica con λ. Se indichiamo con N il numero di nuclei instabili, λN rappresenterà il numero di nuclei che decadono nell’unità di tempo.

lN Attività ESEMPIO: un grammo di 60Co contiene 1022 nuclei ognuno con una probabilità di 1/240 milioni di disintegrarsi per secondo, il che significa che ogni secondo 4.18 1013 nuclei si disintegreranno La quantità λN, esprime la velocità di disintegrazione di una quantità determinata di una data sostanza radioattiva (-dN/dt) ed è chiamata attività della sostanza.

LA LEGGE DEL DECADIMENTO RADIOATTIVO Nell’intervallo compreso tra t e t+dt, il numero di nuclei che decadono (–dN) è proporzionale al numero di nuclei N presenti al tempo t: ed introducendo la constante radioattiva λ abbiamo: Periodo di dimezzamento τ½ di una sostanza radioattiva è il tempo necessario affinché questa si riduca della metà. da cui: ed integrando: Sia N0 il numero di nuclei presenti al tempo t=0, allora: Otterremo pertanto: e quindi: Moltiplicando per λ e ricordando che la quantità λN rappresenta l’attività della sostanza, che indicheremo con A, avremo: ½ dove con A0 abbiamo indicato l’attività al tempo t = 0.

Sorgenti usate in laboratorio: Unità di misura della radioattività L’unità di misura della radioattività fu proposta all’inizio del secolo scorso da Marie Curie come l‘attività di 1 g di radio. Nel 1950 la definizione di tale unità è stata modificata in modo da corrispondere esattamente a 37 miliardi di disintegrazioni al secondo; tale grandezza è chiamata curie (Ci) e corrisponde approssimativamente a circa 1 g di 226Ra. Attualmente l’unità che esprime la quantità di radioattività è misurata in becquerels (Bq) e corrisponde ad una disintegrazione al secondo. Sorgenti usate in laboratorio: ~ 1- 10 kBq Curie (Ci): attività di 1 g di 226Ra Becquerels (Bq): una disintegrazione al secondo Nella roccia (terreno) il contenuto di Uranio è dell’ordine del ppm (10-6 g/g) Quindi in 1 kg di roccia si hanno qualche decina di Bq! ESEMPIO: Un grammo di 60Co (τ = 5.27 anni) avrà un’attività di 4.185 1013 Bq Un grammo di 238U (τ = 4.47 109 anni) avrà un’attività di 12500 Bq

Il rapporto di diramazione Un radionuclide può disintegrarsi attraverso differenti vie. Così ad esempio un nucleo di 40K può decadere catturando un elettrone dall’orbita atomica (cattura elettronica) trasformandosi in questo modo in un nucleo di 40Ar, oppure decadere emettendo un elettrone (decadimento β-) dando così origine ad un nucleo di 40Ca. Ad ognuno di questi due processi corrisponde una costante di disintegrazione parziale λpar La probabilità totale λtot. = Σ. λparziale Definiamo ora il rapporto di diramazione (in inglese Branching Ratio (B.R.)) come il rapporto tra probabilità di decadimento in un dato canale e la probabilità di decadimento totale:

Decadimento alfa Il primo decadimento radioattivo (da qui il nome alfa) fu scoperto da Rutherford nel 1899. Le particelle α sono nuclei di elio, cioè nuclei particolarmente stabili formati da due protoni e due neutroni (Z=2 ed A=4). Sono soprattutto i nuclei pesanti (A>200) e deficienti in neutroni ad essere interessati da questo processo nucleare. Esempio:

Cinematica del decadimento alfa Imponendo le leggi della conservazione dell’energia e della quantità di moto (per semplicità consideriamo il nucleo padre a riposo) Riscriviamo la precedente nel seguente modo: Definiamo ora il Q valore come l’energia rilasciata nel decadimento e riscriviamo la precedente nel seguente modo: Sostituiamo le masse nucleari m con le masse atomiche M (potendo trascurare le energie di legame degli elettroni) Se esprimiamo M in unità di masse atomiche (amu) ed Q in MeV possiamo scrivere:

L’energia rilasciata nel decadimento si ripartisce tra energia cinetica del nucleo figlio TY ed energia cinetica della particella α Tα. Applicando il principio di conservazione della quantità di moto ed indicando con vY ed vα le velocità del nucleo figlio e della particella: elevando al quadrato e moltiplicando per ½ otteniamo: e quindi: da cui: essendo: Le energie cinetiche delle particelle α sono tipicamente dell’ordine del 98% del Q valore, mentre il restante 2% lo si ritrova sotto forma di energia cinetica del nucleo figlio (energia di rinculo). e quindi

L’energia di repulsione è detta barriera di potenziale e vale: Descrizione di come una particella α possa “sfuggire” al nucleo atomico dando così origine ad un nuovo elemento. 226Ra Prendiamo come esempio il nucleo di 226Ra il quale si trasforma (τ = 1600 anni) in 222Rn emettendo una particella α di energia cinetica Eα = 4.784 MeV che corrisponde alla transizione tra i due stati fondamentali. Immaginiamo ora di prendere il nucleo di 222Rn che come sappiamo avrà una carica positiva pari a 86 cariche elementari (indicheremo questa con QRn), e la particella α che porta con sé 2 cariche elementari (che indicheremo con Qα). Se cerchiamo di avvicinarle, queste si respingeranno per la repulsione elettrostatica, fino a quando entreranno in contatto, e cioè quando R = rα + rRn = 7.76 fm, permettendo in questo modo alle forze nucleari di entrare in azione.  (Eα = 4.784 MeV) 222Rn Z = 86 Z = 2 Rn  rRn= 6.7 fm Rn  R = rα + rRn = 7.76 fm L’energia di repulsione è detta barriera di potenziale e vale:

Rappresentazione della barriera di potenziale nel caso del decadimento α Con R0 si è indicato il raggio del nucleo emettitore. La particella α per poter sfuggire dal nucleo deve possedere un’energia superiore alla barriera di potenziale, che nel nostro caso vale circa 32 MeV.

Data una particella di energia cinetica Le leggi della meccanica ondulatoria permettono di spiegare il fenomeno: Data una particella di energia cinetica Louis de Broglie le ha associato una lunghezza d’onda λ: L’ampiezza Ψ dell’onda associata ad una particella è proporzionale alla probabilità di trovare questa particella in un punto qualunque dello spazio. Born stabilì la relazione di proporzionalità tra la probabilità di trovare una particella in un dato punto dello spazio e il quadrato dell’ampiezza della funzione d’onda Ψ2. In questo modo le onde introdotte da de Broglie sono divenute delle onde di probabilità. La teoria ondulatoria permette di spiegare il passaggio di una particella α attraverso la barriera di potenziale. Questo fenomeno è conosciuto col nome di effetto tunnel (Gamow 1928). Quest’onda non ha alcun significato fisico; fu Schrödinger che diede un grosso contributo alla meccanica ondulatoria riformulando l’onda di de Broglie in termini di equazioni:

Se si suppose la particella α preesistente all’interno del nucleo, sappiamo che per poter sfuggire, essa deve possedere un’energia E superiore a Eb. Quindi classicamente la particella α non può in alcun modo “scappare” dal nucleo atomico. Tuttavia, essa possiede una certa velocità e quindi è possibile associarle un’onda di lunghezza d’onda. Non potendo sfuggire, la particella α colpirà le pareti del pozzo di potenziale nel quale essa è confinata, con una frequenza proporzionale alla sua velocità ed inversamente proporzionale al diametro del pozzo. Per evitare una degradazione del sistema, bisogna supporre un regime di onde stazionarie: il diametro del pozzo d=2R0 vale un multiplo della lunghezza d’onda λ e cioè: (Nell’esempio che abbiamo considerato, il 226Ra, R0 vale circa 6.7 fm). Essendo ed dalla condizione di stazionarietà abbiamo quindi: Il valore dell’energia è minimo per n=1, λ è quindi massima e vale λ=2R0.

Per una particella α legata al decadimento la formulazione di λ diviene: e quindi il valore di λ risulta più grande. Questo significa che l’onda si estende al di là del diametro del pozzo e quindi la probabilità che la particella si trovi al di fuori del pozzo è non nulla. Rappresentazione dell’onda associata alla particella α nella buca di potenziale di un nucleo atomico Bisogna sottolineare che λ può aumentare solo a condizione che la particella si trovi su un livello energetico superiore allo zero; infatti in questo caso Eα si sommerebbe ad E diminuendo il valore di λ. In questo caso la particella α non potrà mai sfuggire dal pozzo di potenziale, e il nucleo risulterà stabile.

Essa può essere scritta nel seguente modo: La costante di disintegrazione λ è data dal prodotto della frequenza f con cui la particella α colpisce le pareti del pozzo e la probabilità di penetrazione P attraverso la stessa: Per i nuclei pesanti la frequenza risulta più o meno costante ed è dell’ordine di 1021 Hz. Essa può essere scritta nel seguente modo: Per quanto riguarda la probabilità di penetrazione P ci limitiamo alla seguente: La quantità R è circa la stessa per tutti i nuclei pesanti. La costante di disintegrazione λ dipende soprattutto dall’energia della particella Eα. Una variazione di un fattore 2.5 nell’energia della particella α comporta una variazione di ben 27 ordini di grandezza sulla probabilità di passaggio attraverso la barriera di potenziale e quindi sulla costante di disintegrazione λ. Ci si potrebbe chiedere perché solo le particelle α, che ricordiamo sono un nucleo di elio 4He, riescono ad uscire dal nucleo, e non altri aggregati nucleari come ad esempio un nucleo di 16O che come il nucleo di elio è doppiamente magico (N = Z = 8). Per questo nucleo la barriera coulombiana sarebbe tale che la probabilità è dell’ordine di 10-200! Solo il nucleo di 4He possiede proprietà tali da permettergli di fuggire dal nucleo atomico: una grande stabilità dovuta ai suoi due numeri magici e una carica elettrica sufficientemente debole per passare, attraverso effetto tunnel, la barriera di potenziale.

struttura fine Esistenza di una struttura fine dovuta al fatto che il nucleo figlio, anziché essere generato direttamente nel suo stato fondamentale, viene prodotto in uno dei sui possibili stati eccitati. Il nucleo figlio passerà poi dallo stato eccitato allo stato fondamentale emettendo uno o più raggi γ Un nucleo può decadere α anche quando non si trova nel suo stato fondamentale.

Decadimento beta Col termine decadimento β intendiamo l’emissione spontanea da parte di un nucleo di un elettrone (decadimento β-) un positrone (decadimento β+) Oppure la cattura di un elettrone atomico (Cattura Elettronica o E.C.) Si tratta di un processo di interazione debole ed è preponderante tra i nuclei instabili. Se riscriviamo le precedenti in termini di nucleo atomico abbiamo: La trasformazione non comporta alcuna variazione del numero di massa A, e per questo motivo le trasformazioni sono dette trasformazioni isobariche.

La disintegrazione beta: A differenza del decadimento α, che essendo un decadimento a due corpi emette la particella α sempre con la medesima energia (energia monocromatica), l’elettrone nel decadimento β- condivide la propria energia con il neutrino e quindi ne risulta uno spettro continuo con energia massima (a questo valore viene dato il nome di end-point). decadimento β-: avviene per quei nuclei in cui vi è un eccesso di neutroni decadimento β+: avviene per quei nuclei in cui vi è un eccesso di protoni β+ β- Spettro del decadimento β, nel caso di emissione di positroni ed elettroni

Dalla formula di Weizsäcker Con NUCLEI con A dispari MeV/c 2 2 NUCLEI con A pari MeV/c Beta instabile Beta instabile Beta instabile S tabile S tabile S tabile dispari-dispari pari-pari b + b - b - b - b + b - b - b + Z-2 Z-1 Z Z+1 Z+2 Z-2 Z-1 Z Z+1 Z+2

Cinematica del decadimento β-: masse nucleari Masse atomiche Essendo: Se esprimiamo, M in unità di masse atomiche ed Q in MeV possiamo riscrivere la precedente equazione nel seguente modo: Condizione necessaria e sufficiente affinché un decadimento β- possa avere luogo é che la massa atomica del nucleo padre sia superiore a quella del nucleo figlio:

Cinematica del decadimento β+: masse nucleari Masse atomiche Essendo: Se esprimiamo, M in unità di masse atomiche ed Q in MeV possiamo riscrivere la precedente equazione nel seguente modo: Condizione necessaria e sufficiente affinché un decadimento β+ possa avere luogo é che la differenza delle due masse atomiche dei nuclei padre e figlio sia superiore a due volte la massa dell’elettrone: .

Schema del decadimento β- del 60Co. Attualmente non esistono più radionuclidi emettitori β+, ma possono essere prodotti artificialmente mediante reazioni nucleari. Unica eccezione è quella del 40K, il quale avendo un periodo di dimezzamento (τ = 1.28 109 anni) confrontabile con l’età della terra (≈ 4.6 109 anni) è “sopravvissuto” fino ai giorni nostri.

La cattura elettronica: Se un nucleo presenta un eccesso di protoni ed ha un’energia di poco inferiore a 1022 keV, può catturare un elettrone della shell atomica. (generalmente dall’orbita K) I neutrini emessi durante il processo di cattura elettronica hanno tutti la stessa energia (neutrini monoenergetici). Schema di decadimento per cattura elettronica del 57Co.

L’emissione gamma Un nucleo formatosi in seguito ad un decadimento radioattivo può ritrovarsi nel suo stato fondamentale oppure trovarsi in uno dei suoi stati eccitati. Questo infatti dava ragione dell’esistenza di una struttura fine del decadimento α e β. Come avviene per l’atomo, anche il nucleo si porterà nella configurazione più stabile emettendo radiazione elettromagnetica corrispondente al salto energetico dei livelli interessati. A questa radiazione elettromagnetica viene dato il nome di emissione gamma (o raggi γ). La transizione dagli stati eccitati allo stato fondamentale può avvenire in una sola transizione dando in questo modo origine ad un fotone γ di energia Eγ pari al salto energetico tra il livello eccitato e lo stato fondamentale, o attraverso più transizioni intermedie, dando in questo modo origine a diversi fotoni γ in cascata. Il numero di fotoni emessi non rispecchia il numero di nuclei decaduti: non possiamo parlare di decadimento gamma

si parla in questo caso di isomeria nucleare. Per l’emissione gamma, sia la massa atomica A che il numero atomico Z rimangono invariati; si parla in questo caso di isomeria nucleare. Anche l’emissione dei fotoni γ obbedisce alla legge del decadimento esponenziale, ma a differenza dei decadimenti α e β, i tempi in gioco sono dell’ordine di 10-15 secondi. Esistono pero casi in cui il tempo di dimezzamento risulta essere superiore al millesimo di secondo, in questo caso si parla di stato metastabile (lo stato metastabile è detto anche stato isomerico) Esempio di stato metastabile: protoattinio metastabile 234mPa (τ = 1.17 minuti) nella catena naturale dell’238U. CONVERSIONE INTERNA (I.C:) (processo in competizione con l’emissione γ ) Un nucleo può diseccitarsi ritrovando il suo stato fondamentale trasferendo direttamente la propria energia in eccedenza direttamente agli elettroni atomici. Emissione di un elettrone energia di legame dell’elettrone orbitale energia di eccitazione

L’emissione di nucleoni Per nuclei che si trovano lontano dalla valle di stabilità. In seguito ad un decadimento beta meno Emissione di neutroni differiti In seguito ad un decadimento beta più Emissione di protoni differiti

L’origine della radiazione Radiazione cosmica: Raggi cosmici primari Raggi cosmici secondari Radioattività naturale: Radionuclidi isolati Famiglie radioattive naturali Radioattività artificiale.

La radiazione cosmica Scoperta all’inizio del XX secolo. V.F. Hess nel 1912 con una camera a ionizzazione montata su un aerostato mostrò che la radiazione aumentava con l’altitudine invece di diminuire. Tale radiazione era esterna alla terra; un flusso di particelle raggiunge le regioni più esterne dell’atmosfera e interagisce con essa. A questa radiazione venne dato il nome di radiazione cosmica (o raggi cosmici), distinguendo tra raggi cosmici primari e raggi cosmici secondari; questi ultimi vengono creati dalla l’interazione dei raggi cosmici primari con l’atmosfera.

raggi cosmici secondari raggi cosmici primari protoni (~ 90%) nuclei di elio (~ 10%) nuclei pesanti (tracce) inoltre elettroni relativistici raggi X e gamma neutrini (solari, da SN) raggi cosmici secondari mesoni π e k muoni elettroni e positroni neutroni e protoni secondari radiazione elettromagnetica neutrini atmosferici

La radioattività naturale Radionuclidi isolati Di origine terrestre (sono radioisotopi con tempo di dimezzamento confrontabile con l’età dell’Universo) Generati dalle interazioni dei raggi cosmici con l’atmosfera (es: 3H, 14C ed 7Be)

Famiglie radioattive naturali Tre radionuclidi con tempo di dimezzamento confrontabile con quello della terra decrescono originando dei nuclei instabili che decadono a loro volta, creando, in questo modo, delle catene radioattive. Famiglia dell’238U (abbondanza isotopica = 99.28 %) (τ = 4.49  109 anni) Famiglia del 232Th (abbondanza isotopica = 100 %) (τ = 1.045  1010 anni) Famiglia dell’235U (abbondanza isotopica = 0.72 %) (τ = 7.1  108 anni) Caratterizziamo l’evoluzione temporale dell’attività degli elementi di una famiglia radioattiva Il sistema di equazioni differenziali, dette equazioni di Bateman, che regola la sua evoluzione é il seguente: dove Ni(t) é il numero di nuclei dell’i-esimo elemento al tempo t, e λi é la costante di disintegrazione associata.

Nell’ipotesi che N0i = 0 per i = 2,3, .... N le soluzioni sono: L’elemento i-esimo assente all’istante t = 0 si forma per decadimento degli elementi che lo precedono nella catena fino a raggiungere l’attività del padre per poi superarla, ed una volta raggiunta la condizione di regime t >> θ1, varia nel tempo con la vita media di quest’ultimo. L’i-esimo elemento, raggiunge l’equilibrio del padre, e si comporta come se avesse la stessa attività é quindi possibile capire come esistano radionuclidi naturali che hanno una vita media molto più piccola dell’età dell’Universo. Evoluzione temporale dell’attività

Uranio 238

La radioattività artificiale Radionuclidi prodotti dall’attività umana, in seguito agli esperimenti nucleari negli anni cinquanta e sessanta, e per gli incidenti avvenuti alle centrali nucleari essenzialmente quelli di Three Mile Island e di Tchernobyl. Principali radionuclidi di origine artificiale

Bibliografia H. Henge, Introduction to nuclear physics, Addison-Wesley, London, 1970. R.D. Evans, The atomic nucleus, McGraw-Hill, New York, 1967. B. Povh et al., Particelle e Nuclei, Bollati-Boringhieri editore 1998 L. Miramonti, Radioattività e Interazione della radiazione con la materia. Edizioni CUSL Milano 2001.