Lezione 4 Cenni di relatività speciale: trasformazioni di Lorentz, invarianti di Lorentz, variabili di Mandelstam, relazioni fondamentali: massa, impulso, energia Esercizi Sistema di riferimento del c.m. e laboratorio

Relatività speciale (cenni) Perchè è necessaria la relatività speciale per descrivere le particelle elementari? Perchè le particelle sono soggette a reazioni in cui vengono create o distrutte, pertanto la loro energia di massa fa parte del bilancio energetico globale Perchè in genere le particelle quando vengono accelerate dagli acceleratori hanno velocità elevate (v ~ c). In tale situazione la meccanica classica non è più applicabile.

Einstein (1905): 1) le leggi fondamentali della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento di Lorentz, cioè in moto relativo traslatorio uniforme; 2) la velocità della luce c è indipendente dal sistema di riferimento. Pertanto non solo le coordinate spaziali si modificano passando da un S.R. allaltro, ma anche quelle temporali: t t poichè c = c: un lampo di luce emesso allo stesso istante t 0 =t 0 =0 dallorigine di S.R. e S.R. (OO a t 0 =t 0 =0), raggiungerà un punto P per i due osservatori a tempi diversi: c 2 t 2 = r 2 = x 2 + y 2 + z 2 per S.R. c 2 t 2 = r 2 = x' 2 + y 2 + z 2 per S.R. La velocità della luce è la massima esistente in natura (pari a circa Km/s) Nessuna interazione è istantanea Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz

Se il sistema di riferimento S.R. si muove parallelamente allasse z di S.R. con velocità v= c, le coordinate rispetto a S.R. di un punto dello spazio-tempo sono legate a quelle rispetto a S.R. dalle trasformazioni di Lorentz: Se differenziamo dx, dy e dz e dt e ne facciamo i rapporti, che ci forniscono la velocità v 0 del punto P nel sistema S.R.: Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz si ottengono le trasformate per le velocità, che nel caso particolare v 0 =c, forniscono c=c. N.B. Nel caso particolare v<<c si ha ~0 ~1 e si ritrovano le trasformate di Galileo (in particolare luguaglianza tra i tempi nei due sistemi di riferimento: t=t)

Le coordinate spazio-temporali di un punto possono essere considerate come le quattro componenti di un quadri-vettore: Il vettore x è chiamato vettore controvariante Il tensore metrico g cosi definito: consente di passare dal vettore controvariante al vettore covariante x : x = ( ct, -x, -y, -z) x = ( ct, x, y, z ) x 0 = ct x 1 = x x 2 = y x 3 = z 1 se = 0 se dove: g g = = x = g x QUADRIVETTORI Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz

Le coordinate spazio-temporali del punto in un nuovo sistema che si muove con velocità bc rispetto al precedente sono legate a quelle nel vecchio sistema dalle trasformazioni di Lorentz, che possono essere cosi riscritte, adoperando una notazione matriciale: x = x QUADRIVETTORI (continua) Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz

QUADRIVETTORI (continua) Per definizione, un insieme A di quattro quantità che, nel passaggio tra due S.R. di Lorentz, si trasformi come x viene chiamato quadri-vettore. Anche lenergia e limpulso formano un quadrivettore: Se il sistema di riferimento S.R. è quello in cui la particella è a riposo, avremo: p = ( E/c, p x, p y, p z ) p = p p x = 0 p y = 0 p z = 0 E = m (m=massa a riposo) In un sistema S.R. in moto con velocità – lungo z rispetto ad esso, la particella avrà il seguente quadrimpulso: p x = 0 p y = 0 p z = m E = m Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz Ponendo c = 1, il quadrimpulso diventa : p = ( E, p x, p y, p z )

Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz QUADRIVETTORI (continua) Anche le derivate temporale e spaziali possono formare un quadrivettore covariante: = ( 1/c t, ) (c=1) = ( t, ) e il corrispondente controvariante sarà il vettore: = ( t, - )

Lo scalare di Lorentz è una quantità che rimane invariata per trasformazioni di Lorentz. Esso è ottenibile dal prodotto scalare tra due quadri-vettori: A = ( A 0, A x, A y, A z ) B = ( B 0, B x, B y, B z ) A · B = A B = A B = g A B = = A 0 B 0 - A x B x - A y B y - A z B z = = A 0 B 0 - A B INVARIANTI DI LORENTZ Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz

ESEMPI DI INVARIANTI DI LORENTZ s 2 =x x = g x x = (ct) 2 – r 2 = 0 Quadrato del quadrivettore spazio-tempo di un evento situato in x Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz x=ct x=-ct PASSATO FUTURO O x ct Il cono luce delimitato dalle rette x=± ct rappresenta la zona di spazio-tempo nella quale un osservatore posto in O (t=0, x=0) può andare nel futuro o dalla quale può essere provenuto dal passato.

Consideriamo due eventi nello spazio tempo x 1 e x 2 di cui facciamo il quadrato: s 12 2 = c 2 (t 1 – t 2 ) 2 – ( r 1 – r 2 ) 2 Se ( r 1 – r 2 ) 2 = c 2 (t 1 – t 2 ) 2 ciò significa che i due punti possono essere collegati da un segnale che si propaga alla velocità della luce, cioè tra di essi vi può essere una relazione di causa-effetto. Se i due punti distano in modo tale che: ( r 1 – r 2 ) 2 > c 2 (t 1 – t 2 ) 2 ciò significa che i due punti non potranno mai essere collegati da un segnale, perchè questo dovrebbe propagarsi a velocità superiore a quella della luce, cioè tra di essi non vi potrà mai essere una relazione di causa-effetto. Se i due punti distano in modo tale che: ( r 1 – r 2 ) 2 < c 2 (t 1 – t 2 ) 2 ciò significa che i due punti possono essere collegati da un segnale che si propaga a velocità inferiore a quella della luce, cioè tra di essi vi potrà essere una relazione di causa-effetto. Essendo s 12 uno scalare e quindi un invariante, il segno di tale quantità sarà lo stesso in tutti i sistemi di riferimento e pertanto, se due eventi sono in relazione di causa-effetto in un sistema essi lo saranno anche in tutti gli altri.

Pertanto in qualunque sistema avremo: Quadrato del quadri-impulso: p 2 = E 2 – p 2 Quadrato delloperatore quadri-gradiente: = ( t, ) = ( t, - ) = = 2 / t DALAMBERTIANO ESEMPI DI INVARIANTI DI LORENTZ (continua) Essendo questa quantità uninvariante di Lorentz, possiamo calcolarla nel sistema di riferimento in cui la particella è in quiete, nel quale valgono le seguenti relazioni: p = 0 E = m p 2 = E 2 – p 2 = m 2 Relatività speciale -Trasformazioni di Lorentz

Relatività speciale - Cinematica CONSERVAZIONE DEL QUADRIMPULSO TOTALE In un sistema di due (o più) particelle interagenti, le particelle prodotte nello stato finale devono avere un quadrimpulso totale uguale a quello iniziale n = 0 conservazione dellenergia totale = 1,2,3 conservazione delle tre componenti dellimpulso

Relatività speciale - Cinematica SISTEMA DI RIFERIMENTO DEL LABORATORIO È il sistema nel quale la particella bersaglio (2 ad es.) è a riposo e la particella proiettile è in movimento (1 ad es.): Supponiamo di avere solo due particelle uscenti (3 e 4). I loro quadrimpulsi: dovranno soddisfare alle relazioni:

Relatività speciale - Cinematica (continua) SISTEMA DI RIFERIMENTO DEL CENTRO DI MASSA È il sistema nel quale le particelle iniziali (e quindi anche finali) hanno impulso totale nullo. Pertanto le due particelle iniziali hanno tri-impulsi uguali in modulo e direzione e opposti in verso: Le loro energie saranno invece diverse: Le due particelle uscenti 3 e 4 dovranno avere quadrimpulsi ed energie: che soddisfano alla seguente relazione:

Relatività speciale - Cinematica (continua) INVARIANTI CINEMATICI Per ovviare al problema dovuto al fatto che in ogni sistema di riferimento i quadrimpulsi e le relazioni cinematiche tra essi sono differenti, si possono introdurre delle quantità invarianti, che hanno lo stesso valore in ogni sistema. Prendiamo la reazione p1p1 p4p4 p3p3 p2p2

Relatività speciale - Cinematica (continua) INVARIANTI CINEMATICI (continua) - VARIABILI DI MANDELSTAM Le seguenti quantità sono invarianti cinematici (uguali in ogni S.R.): s = ( p 1 + p 2 ) 2 = ( p 3 + p 4 ) 2 t = ( p 1 - p 3 ) 2 = ( p 2 - p 4 ) 2 VARIABILI DI MANDELSTAM u = ( p 1 - p 4 ) 2 = ( p 2 - p 3 ) 2 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 s p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 t p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 u

Relatività speciale - Cinematica (continua) INVARIANTI CINEMATICI (continua) - VARIABILI DI MANDELSTAM Nel sistema del CM avremo: s = ( p 1 * + p 2 *) 2 = ENERGIA TOTALE NEL C.M. = (E 1 * + E 2 *) 2 - ( p* - p*) 2 = (E 1 * + E 2 *) 2 s = ( p 3 * + p 4 *) 2 = (E 3 * + E 4 *) 2 Solo due di essi sono linearmente indipendenti in quanto essi sono legati dalla relazione: s + t + u = (p 1 + p 2 ) 2 + (p 1 - p 3 ) 2 + (p 1 + p 4 ) 2 = = p p p 1 p 2 + p p p 1 p 3 + p p p 1 p 4 = = (p p p p 4 2 ) + 2 ( p 1 ( p 1 + p 2 ) - p 1 ( p 3 + p 4 )) = ma: p 1 + p 2 = p 3 + p 4 s + t + u = m 1 2 +m 2 2 +m 3 2 +m 4 2

ATTENZIONE DEVI AGGIUNGERE UNA TRASPARENZA LEZIONE 4_NEW 1 settimana

Come conseguenza delle trasformate di Lorentz si ha il fatto che gli intervalli di tempo cambiano da un sistema di riferimento allaltro. Questo è particolarmente evidente nel decadimento di una particella in volo. Se la sua vita media quando essa è a riposo, quando si muove di velocità v decadrà rispetto allosservatore del laboratorio con una vita media : = Poichè > 1, ciò significa che nel sistema in cui la particella si muove, essa verrà vista decadere dopo un tempo maggiore rispetto alla sua vita media (cioè al tempo di decadimento nel sistema in cui è a riposo). Consideriamo ad esempio il muone che ha = 2.2 s. Se esso possiede unenergia di 50 GeV, la sua vita media misurata in laboratorio sarà: = = E/ (mc 2 ) = ×50 GeV/(0.106 GeV) = = 500 = 1100 s =1.1 ms Relatività speciale - La dilatazione dei tempi

Due piccoli accorgimenti per fare dei calcoli: 1) ħc = hc/(2 ) = J s × 3 × 10 8 m s -1 = ~ 3. × J m Come abbiamo visto prima: 1 eV = × J => 1 J = 1 eV / (1.602 × ) = × eV Dunque: ħc = 3. × J m = 3 × × × eV m = = 1.9 × eV m = 1.9 × × eV × fm = = 1.9 × 10 2 MeV fm ~ 200 MeV fm N.B. 1fm = m 2) = e 2 / ħc = 1/137 (costante di struttura fine adimensionale) => e 2 = ħc a = 200 MeV fm 1/137 = 1.44 MeV fm

Esempio: Calcolare limpulso di un pione avente unenergia cinetica di 200 MeV T = E – m => E = T + m = 200 MeV MeV = 235 MeV Calcolare lenergia cinetica di un protone avente un impulso di 5 MeV/c E = [p 2 + m 2 ] ½ = [ 5 MeV 2 + ( MeV) 2 ] ½ = = [ 25. MeV × 10 4 MeV 2 ] ½ ~ 9.39 × 10 2 MeV T = E – m = 9.39 × 10 2 MeV MeV = = MeV = 1.33 × MeV N.B. Poichè (pc)<< mc 2 possiamo anche applicare la formula classica: T = p 2 / 2m = (5 MeV) 2 / (2 × MeV) = = 25. MeV 2 /(1.877 × 10 3 MeV) = 1.33 × MeV

Calcolare limpulso di un kaone avente energia cinetica 1GeV m = MeV/c 2 E = T + m = 1 GeV GeV = GeV E = [p 2 + m 2 ] 1/2 p 2 = E 2 - m 2 = (1.493 GeV) 2 – ( GeV) 2 = = GeV GeV 2 = GeV 2 p = (1.985 GeV 2 ) = 1.41 GeV/c