Lezione 17 Risultati della equazione di Dirac Equazione di Dirac in presenza di campi e.m Elementi di teoria dei campi: prima e seconda quantizzazione Quantizzazione del campo bosonico e fermionico Formulazione lagrangiana: le lagrangiane dei campi fondamentali

Risultati dell’ equazione di Dirac L’equazione si rivelò di grande successo per diversi motivi: 1) Predice in modo del tutto naturale lo spin dell’ elettrone senza bisogno di introdurlo artificialmente 2) Predice l'esistenza delle particelle a energia negativa, interpretabili come antiparticelle a energia positiva, scoperte poi sperimentalmente 2) Predice il valore del momento magnetico dell’ elettrone poi misurato sperimentalmente (rapporto giromagnetico) 3) Predice la struttura fine dello spettro energetico dell’ atomo di idrogeno 4) L’accoppiamento con il campo e.m. permette di predire le sezioni d’urto relativistiche di Klein-Nishina della diffusione Compton fotone-elettrone ( e   e), di Møller della diffusione elettrone-elettrone o positrone-positrone ( e- e-  e- e- o e+ e+  e+e+ ), la diffusione coulombiana di elettroni nel campo dei nuclei e degli elettroni e l’emissione di fotoni da parte di elettroni nel campo e.m. coulombiano della materia.

Interazione con il campo e.m. L’equazione di Dirac fin qui descritta si applica a particelle fermioniche libere. Essa deve quindi essere modificata in presenza di campi e.m. esterni per includere l’interazione fermione-campo e.m. L’accoppiamento minimale tra la particella e il campo e.m. viene realizzata sostituendo nella equazione al quadrimpulso p : o anche, equivalentemente ( p = (E; p )  i   = i (/ t; - ) ): Con tale sostituzione l’equazione di Dirac per particella libera: si trasforma nell’equazione di Dirac in presenza di un campo e.m.:

La seconda quantizzazione La prima quantizzazione (meccanica quantistica non relativistica) permette di descrivere il comportamento di una particella libera o in interazione con un potenziale, ma non è in grado di risolvere il problema della interazione tra essa ed altre particelle e in particolare la diffusione nel corso della quale una particella può scomparire dando luogo ad altre particelle. Al contrario, sappiamo dalla relazione energia-massa di Einstein, che una particella può decadere in altre due di massa minore oppure che due particelle possono combinarsi a darne una di massa maggiore o infine che due particelle possono annichilarsi producendo fotoni. Si presenta dunque la necessità di dare una nuova descrizione, nella quale la funzione d'onda non descrive la particella ma un campo (fermionico, bosonico) che si realizza attraverso le particelle, che diventano quindi modi (quanti) del campo stesso. Le equazioni fin qui studiate (di Klein-Gordon, di Dirac) verranno reinterpretate come equazioni di un campo bosonico o di un campo fermionico.

SISTEMA DI PUNTI CLASSICO MECCANICA CLASSICA SISTEMA DI PUNTI CLASSICO CAMPO CLASSICO Distribuzione discreta Distribuzione continua Numero finito di gradi di libertà N  Numero infinito di gradi di libertà Variabili canonicamente coniugate Campi canonicamente coniugati Lagrangiana: Densità lagrangiana: Azione: Azione: Dal principio di minima azione si ricavano le equazioni del moto: Eq. Eulero-Lagrange

Prima quantizzazione=quantizzazione di un sistema classico SISTEMA DI PUNTI CLASSICO SISTEMA DI PUNTI QUANTISTICO Distribuzione discreta Distribuzione discreta Numero finito di gradi di libertà Numero finito di gradi di libertà Variabili canonicamente coniugate Operatori canonicamente coniugati Condizioni di quantizzazione Particella localizzata nello spazio con impulso definito Equazioni del moto descrivono la posizione e l' impulso della particella in ogni istante Particella è descritta da una funzione d’onda, il cui modulo quadro fornisce la probabilità di trovare la particella in un certo punto dello spazio-tempo Numero di particelle = fissato

MECCANICA QUANTISTICA PRIMA QUANTIZZAZIONE SECONDA QUANTIZZAZIONE Distribuzione discreta Distribuzione continua Numero finito di gradi di libertà Numero infinito di gradi di libertà Operatori canonicamente coniugati Campi (operatori) canonicamente coniugati Condizioni di prima quantizzazione Condizioni di seconda quantizzazione (1) Funzione d’onda che descrive la particella, il cui modulo quadro fornisce la probabilità di trovare la particella in un certo punto dello spazio-tempo Campo (fermionico, bosonico, e.m.) è un operatore che agisce tramite operatori che creano e annichilano particelle Particella = modo di realizzazione, quanto del campo Numero di particelle = fissato Numero di particelle = variabile

Campo bosonico Le equazioni che abbiamo studiato, di Klein-Gordon e Dirac, saranno interpretate come equazioni non di una particella ma di un campo bosonico o fermionico. Prendiamo l’equazione del campo di Klein-Gordon (valida per un campo bosonico): ) Φ m ( 2 = + Una generica soluzione dell’equazione può essere sviluppata in serie di Fourier su una base di onde piane (N.B.  è un operatore) : † Si può dimostrare che le regole di commutazione (1) dei campi viste prima si traducono per gli operatori a e a†,che agiscono nello spazio degli impulsi, nelle regole seguenti (non lo dimostriamo): † † † a†(k) è l’operatore di creazione (Ricordate l’oscillatore armonico quantistico)

In meccanica quantistica relativistica, il campo non è più come il campo classico, cioè uno strumento per descrivere l’interazione tra due particelle (pensate ad es. al campo elettrico, che viene creato da una carica elettrica e permea tutto lo spazio dando cosi origine alla forza elettrica repulsiva o attrattiva con un’altra carica). Il campo in meccanica quantistica relativistica è un operatore che agisce sul sistema creando o annichilando particelle fermioniche o bosoniche (a seconda del campo descritto). Questo formalismo permette non solo di descrivere la comparsa e la scomparsa di particelle (come succede in una diffusione o in un decadimento), ma anche di trattare sistemi a molte particelle, scomponendoli in stati di particella singola con un certo numero di occupazione.

Lo stato di vuoto è definito come quello stato con 0 particelle in ogni livello k e cioè: | 0 > = | 0, 0, 0 , 0, ... > Lo stato a una particella nel livello k-esimo è ottenuto applicando allo stato di vuoto l’operatore di creazione a† (k) che crea una particella nel livello k-esimo: | 0, 0, 1 , 0, ... > = a† (k) | 0, 0, 0 , 0, ... >  k-esimo livello Lo stato a due o più particelle nel livello k-esimo è ottenuto applicando più volte allo stato di vuoto l’operatore di creazione a† (k): | 0, 0, 3 , 0, ... >  a†(k) a† (k) a† (k) | 0, 0, 0 , 0, ... > = = (a†(k))3 | 0, 0, 0 , 0, ... >

In generale lo stato | n1, n2,. , nk, In generale lo stato | n1, n2, ... , nk, ... > contiene n1 particelle nel livello 1, n2 nel livello 2 etc. per un totale di N =  ni particelle ed è ottenuto nel modo seguente: | n1, n2, ... , nk, ... > = (a†(1)) n1 (a†(2)) n2 ... (a†(nk)) nk | 0, 0, 0 , 0, ... > Analogamente l’operatore a(k) distrugge una particella nel livello k-esimo: | n1, n2-1, ... , nk, ... > = a(2) | n1, n2, ... , nk, ... >

Campo fermionico Considerazioni analoghe a quelle fatte per il campo bosonico scalare dell’equazione di Klein-Gordon possono essere fatte per il campo fermionico dell’equazione di Dirac. Nel caso fermionico, nel quale abbiamo due stati di particella a energia positiva e due di particella a energia negativa (o di antiparticella a energia positiva), i campi dovranno contenere due tipi di operatori differenti: † † dove: †

Riassumendo: † †

Le regole di anticommutazione tra gli operatori di creazione e distruzione sono le seguenti: † Due fermioni NON possono trovarsi esattamente nello stesso stato. Il numero di occupazione del livello dello stato k-esimo potrà essere o 0 o 1: nk = 0, 1, mentre il numero di occupazione per il campo bosonico poteva essere qualunque: nk = 0, 1, 2, ...

Campo elettromagnetico Infine per il campo e.m. la scomposizione del campo A ci fornisce: Le regole di anticommutazione tra gli operatori di creazione e distruzione sono le seguenti:

Formulazione lagrangiana Abbiamo detto che imponendo alla densità lagrangiana di un campo: il principio di minima azione: si perviene alle equazioni di Eulero-Lagrange, che altro non sono che le equazioni del campo stesso:

  LAGRANGIANA DEL CAMPO DI KLEIN-GORDON Possiamo dimostrare che la lagrangiana del campo bosonico di K-G può essere cosi espressa: Del fatto che la (1) sia la lagrangiana del campo di K.-G. diamo una dimostrazione a posteriori, mostrando che le equazioni di Eulero-Lagrange sono proprio l'equazione di K.-G. per particella libera: Applichiamo ad essa le eq. di Eulero-Lagrange:   L’equazione di Eulero-Lagrange del campo di K.-G. diventa allora: EQ. DI KLEIN-GORDON

 LAGRANGIANA DEL CAMPO E.M. NEL VUOTO La lagrangiana del campo e.m. nel vuoto può essere cosi espressa: Applichiamo infatti ad essa le eq. di Eulero-Lagrange:  L’equazione di Eulero-Lagrange del campo e.m. libero diventa allora: EQ. DI MAXWELL NEL VUOTO

EQ. DI MAXWELL IN PRESENZA DI SORGENTI LAGRANGIANA DEL CAMPO E.M. IN PRESENZA DI SORGENTI La lagrangiana del campo e.m. in presenza di sorgenti, descritte dalla quadricorrente j può essere cosi espressa: e le equazioni di Eulero-Lagrange diventano: EQ. DI MAXWELL IN PRESENZA DI SORGENTI

EQ. DI DIRAC PER PARTICELLA LIBERA LAGRANGIANA DEL CAMPO DI DIRAC LIBERO La lagrangiana del campo di Dirac può essere cosi espressa: Del fatto che la (1) sia la lagrangiana del campo di Dirac si può dare una dimostrazione a posteriori, mostrando che le equazioni di Eulero-Lagrange che si ottengono a partire dalla lagrangiana (1) sono proprio l'equazione di Dirac per il campo y di particella libera (noi non lo dimostriamo) e per il campo y: EQ. DI DIRAC PER PARTICELLA LIBERA

EQ. DI DIRAC IN INTERAZIONE CON UN CAMPO E.M. LAGRANGIANA DEL CAMPO DI DIRAC IN INTERAZIONE COL CAMPO E.M. La lagrangiana del campo di Dirac in interazione con il campo e.m. può essere cosi espressa: Applichiamo infatti ad essa le eq. di Eulero-Lagrange si può dimostrare (non lo facciamo) che si ottiene l' equazione: EQ. DI DIRAC IN INTERAZIONE CON UN CAMPO E.M.

LAGRANGIANA DI Q.E.D. Per ottenere la lagrangiana completa della quanto-elettrodinamica (QED) dobbiamo aggiungervi la lagrangiana del campo e.m.: Nel termine è contenuta l’interazione tra la quadricorrente del campo fermionico: e il campo e.m. Am. Il vertice dell'interazione tra fermioni e fotoni sarà quindi dato dall'interazione di due campi fermionici e un campo e.m. cioè da due fermioni (o un fermione e un anti-fermione) e un fotone.  e- e+ vertice