Lezione 18 Lagrangiane dei campi fondamentali Matrice S (cenni) Diagrammi di Feynman (cenni)

Matrice S (cenni) Prendiamo l’interazione seguente: 1 + 2  3 + 4 in cui le particelle 1 e 2 spariscono creando le particelle 3 e 4. La matrice S descrive la probabilità che tale interazione avvenga, connettendo lo stato iniziale di due particelle libere 1 e 2 allo stato finale di due particelle libere 3 e 4: < F | S | I > = < (t=) | S |  (t=-) >= < 1 2 | S | 3 4 > Il diagramma di Feynman è un modo grafico di rappresentare un determinato processo e presenta al tempo stesso diversi vantaggi: 1) la visualizzazione grafica dell’interazione; 2) l’associazione rigorosa ad ogni elemento del grafico di una quantità matematica che consente di calcolare direttamente l’ampiezza di probabilità (gambe esterne = particelle iniziali e finali; vertici = costanti di accoppiamento; gambe interne = propagatori = particelle scambiate nell’interazione)

Regole per costruire un grafico di Feynman ELEMENTI FONDAMENTALI Spazio-tempo: ogni punto del foglio rappresenta un “evento”, cioè un puntodello spazio-tempo (tempo in ascissa e spazio in ordinata) tempo spazio xP tP P=(xP, tP)  Linee: uniscono tra loro punti dello spazio-tempo, rappresentano particelle reali o virtuali, possono essere bosoni o fermioni, esterne o interne Vertici: sono i punti dello spazio-tempo in cui avviene l’interazione; in essi deve esserci conservazione di energia, impulso e carica elettrica e numero fermionico N.B. Poichè l'interazione minimale campo fermionico - campo e.m. è descritta dal termine visto prima , ciò significa che in un vertice potranno interagire due campi fermionici e un campo e.m. cioè due fermioni (o fermione-antifermione) e un fotone rispettando le suddette leggi di conservazione.

Regole per costruire un grafico di Feynman (continua) Linee esterne: rappresentano le particelle reali entranti e uscenti nella reazione, cioè le particelle rivelabili; se sono entranti, si propagano libere fino a un punto in cui avviene l’interazione (vertice); se sono uscenti, si propagano a partire dal vertice in cui sono prodotte. e-  e-  e+ vertice e+ Alla linea esterna è associato un operatore di creazione o distruzione di una particella (fermionica o bosonica) con un certo quadrimpulso.

Regole per costruire un grafico di Feynman (continua) Linee interne: rappresentano le particelle virtuali (cioè non rivelabili) che mediano l’interazione; uniscono il vertice nel quale interagiscono le particelle iniziali e il vertice nel quale vengono prodotte le particelle finali.  e- e- e+ e+ Alla linea interna è associato un’espressione matematica detta propagatore, che è caratteristica del tipo di particella scambiata (propagatore fermionico o bosonico).

Regole per costruire un grafico di Feynman (continua) Elettrone e positrone: sono rappresentati da linee orientate che rappresentano il verso di propagazione nel tempo. Se la freccia è orientata come la freccia del tempo, allora la linea rappresenta un elettrone, altrimenti rappresenta un positrone. Una freccia elettronica non può mai scomparire in un vertice: sarebbe come se scomparisse un’ unità di numero fermionico (ricorda che un elettrone non può scomparire). Pertanto in qualunque vertice deve esserci una continuità della freccia della linea fermionica. e- e+

Regole per costruire un grafico di Feynman (continua) Fotone: il fotone è rappresentato con una linea ondulata. Può essere una particella reale iniziale o finale oppure una particella virtuale mediatrice delle forze e.m. Nel grafico vediamo un fotone che parte dal punto x1 al tempo t1 e arriva nel punto x2 al tempo t2, cioè si propaga nello spazio- tempo dal punto (x1, t1) al punto (x2, t2). 

Regole per costruire un grafico di Feynman (continua) Bosoni W± e Z0 : sono i mediatori delle interazioni deboli. Anch’essi, come il fotone sono rappresentati da linee ondulate. Attenzione: mentre lo Z0 si comporta esattamente come un fotone pesante, cioè lascia inalterata la carica elettrica della particella che lo emette, al contrario il W+ o il W- si portano via un’unità di carica elettrica (positiva o negativa). nm (ne) nm (ne) e- e- ne e- Z0 Z0 W+

Regole per costruire un grafico di Feynman (continua) Prendiamo ad esempio un elettrone che emette un fotone per interagire con un’altra particella. Esso rimarrà sempre un elettrone. Pertanto nello spazio-tempo avremo una freccia che si propaga da sinistra verso destra. e e’  t Prendiamo invece un’ annichilazione e+ e- dalla quale viene prodotto un fotone. In tal caso avremo una freccia diretta verso i tempi crescenti (e-) e una diretta verso i tempi decrescenti (e+), in modo che nel vertice di emissione del fotone vi sarà continuità della freccia fermionica. e-  e+

Regole per costruire un grafico di Feynman (continua) Prendiamo invece un’interazione tra un fotone e un elettrone, come avviene ad esempio nella diffusione Compton nella quale un fotone incide su un elettrone e ne viene assorbito. Anche in tal caso abbiamo continuità della linea fermionica nel vertice di interazione. e- e- 

Regole per costruire un grafico di Feynman (continua) Vertice: il vertice rappresenta il punto dello spazio-tempo nel quale ha luogo l’interazione. In esso convergono tre linee, di cui due rappresentano particelle reali e la terza rappresenta la particella virtuale che serve a mediare l’interazione. Al vertice è associata una costante di accoppiamento che quantifica l’intensità dell’interazione. Ad esempio, nel caso dell’interazione e.m. questa costante è  = 1/137, la costante di struttura fine. e e’  

Regole per costruire un grafico di Feynman (continua) Con alcune semplici regolette è pertanto possibile calcolare l’ampiezza di probabilità di un processo, tracciando i diagrammi di Feynman attraverso cui si può realizzare tale processo e associando ai vari elementi del diagramma la loro espressione matematica. Vediamo qualche esempio di reazione.

Grafici di Feynman DIFFUSIONE COMPTON  e   e Un elettrone reale emette un fotone reale in P, trasformandosi in elettrone virtuale e quindi ridiventa reale assorbendo un fotone reale in Q. Questo se:  e- Q(x2,t2) t P(x1,t1) t2 > t1 e- ’ Altrimenti, un fotone reale emette un elettrone reale e un antielettrone virtuale in Q, e quest’ ultimo interagisce con un elettrone reale in P emettendo un fotone reale. Questo se: t1 > t2  e- Q(x2,t2) t P(x1,t1) e- ’

Grafici di Feynman (continua) DIFFUSIONE COMPTON (continua)  e   e In realtà la sezione d’urto della diffusione Compton sarà ottenuta integrando su tutto lo spazio-tempo, cioè eseguendo la trasformata di Fourier nello spazio degli impulsi e questo ci permetterà di usare il Formalismo degli operatori di creazione e distruzione.  e’  ’ k k+p p’ k k’ p’ p- k’ p e’ e k’ p  e-

Grafici di Feynman (continua) DIFFUSIONE MØLLER ELETTRONE-ELETTRONE e- e- e- e- o e+ e+ e+ e+ e- e- Un elettrone reale di impulso p emette un fotone virtuale, trasformandosi in un elettrone reale di impulso p’. Il fotone virtuale viene assorbito da un elettrone reale di impulso k che acquista l’impulso k’. p p’  k- k’ k’ k e- e- ANNICHILAZIONE e+ e- e+ e- e- e- p  p’ Un elettrone e un positrone reali si annichilano producendo un fotone virtuale, che si rimaterializza in un elettrone e in un positrone reali. k’ k e+ e+

Ricordiamo che avevamo così sviluppato i campi  e : † † † Pertanto il termine di interazione può essere così riscritto:

Ciascuno dei quattro termini della somma corrisponde ad una precisa situazione fisica:

i quattro grafici di prima diventeranno: In particolare avendo definito di indicare nello spazio degli impulsi l'emissione di un positrone a energia positiva come l'assorbimento di un elettrone a energia negativa, cioè: e- e+ =   e+ = e-   i quattro grafici di prima diventeranno:

SCATTERING MOLLER e- e- (o e+ e+ ) I processi del primo ordine (così detti perchè vi è solo un vertice di interazione) esaminati prima non possono mai verificarsi se le tre particelle coinvolte sono tutte e tre reali, in quanto non sono soddisfatte le leggi di conservazione di energia e impulso. Essi possono verificarsi solo se si combinano tra di loro o se il fotone emesso è virtuale in quanto viene poi riassorbito da un campo esterno (come ad esempio un nucleo). Un processo del secondo ordine (cioè con due vertici di interazione) è lo "scattering" (diffusione) Møller e-e- e-e- (si può avere anche lo scattering Møller e+e+ e+e+). Per l'indistinguibilità dei due fermioni, se pi e pi' sono i quadri-impulsi delle particelle nello stato iniziale e pf e pf' quelli dello stato finale, i due diagrammi che contribuiscono alla sezione d'urto di tale scattering sono i seguenti:

Limitiamoci al primo dei due diagrammi Limitiamoci al primo dei due diagrammi. Lo stato iniziale e lo stato finale sono composti da due fermioni, pertanto essi potranno essere espressi come: | I > = b† (pi) b† (pi') | 0 > | F > = b† (pf) b† (pf') | 0 > I vertici di interazione saranno due, uno localizzato nel punto x1 dello spazio tempo e l'altro nel punto x2, e l'interazione è descritta dai seguenti due termini della lagrangiana: N.B. In un prodotto di operatori si intende che tutti gli operatori di distruzione devono essere applicati a destra e quelli di costruzione devono essere applicati a sinistra. Il prodotto di operatori ordinati nel modo suddetto è detto "prodotto normale" ed è indicato così:

L'elemento di matrice sarà dato da: Nel prodotto di più campi fermionici, quando dobbiamo invertire due campi tra loro, poichè essi anticommutano, dobbiamo introdurre un segno negativo. Ade esempio nel prodotto di quattro campi fermionici (che è il nostro caso): L'elemento di matrice sarà dato da: †

Pertanto l'elemento di matrice si ridurrà a: Le relazioni di anticommutazione degli operatori b e d permettono di eliminare tutti i termini degli integrali che non abbiano p1= pf' , p2= pi' , p3= pf, p4= pi perchè deve essere: † N.B. Il simbolo Am An sta ad indicare il propagatore del fotone, un oggetto matematico che descrive la propagazione di un fotone virtuale da un vertice all' altro. Esso è dato da (non lo dimostriamo): x1 x2 Pertanto l'elemento di matrice si ridurrà a:

Conservazione quadrimpulso totale Propagatore del fotone Questa espressione deve essere integrata su tutto lo spazio-tempo: Quadricorrente e.m. Quadricorrente e.m. Conservazione quadrimpulso totale Propagatore del fotone

In sintesi, nel grafico abbiamo sostituito al vertice superiore la quantità: al vertice inferiore la quantità: al propagatore del fotone la quantità: e abbiamo associato a ciascun vertice la costante di accoppiamento e.