Strumentazione per bioimmagini Metodi di ricostruzione da proiezioni

Alfredo Ruggeri - Università di Padova 3/27/2017 Ricostruzione 3D Una funzione 3D f(x,y,z) viene ricostruita a partire da un numero P di proiezioni 2D p(x’,y’|,) Complessita’ teorica: ricostruire C=MxNxZ voxels occorrono P=C equazioni (es. risoluzione 200x200x200 voxel = 8 milioni di equazioni!!). Per ogni piano di scansione: Strumentazione Biomedica 2

Coordinate cilindriche fascio parallelo e assenza di riflessioni (X-ray)  riduzione della complessità stima di Z densita’ bidimensionali: riduzione a Z sistemi indipendenti di MxN equazioni piani paralleli non interferiscono p(x’,y’) e’ determinato solo dai voxel attraversati dal raggio incidente il sistema e’ separabile coordinate cilindriche r,,z z d(x,y,z) p(x’,y’) y’ x’ piano di proiezione fascio parallelo di illuminazione y θ r x

Tomografia assiale (TA) TA realizza “in hardware” il sistema di coordinate cilindriche proiezioni radiali bidimensionali: si puo’ usare la Radon Transform linea di proiezione f(x,y|z) p θ,z(x’) fascio piano parallelo di illuminazione

Risoluzione del problema inverso Alfredo Ruggeri - Università di Padova 3/27/2017 Risoluzione del problema inverso Risolvere numericamente le equazioni algebriche direttamente: Computazionalmente oneroso Computazionalmente instabile al crescere delle equazioni Metodi alternativi: Ricostruzione iterativa Trasformata di Fourier Retroproiezione Retroproiezione filtrata Strumentazione Biomedica 2

Ricostruzione iterativa Alfredo Ruggeri - Università di Padova 3/27/2017 Ricostruzione iterativa Data una stima f*(x,y) di f(x,y) Si calcolano le proiezioni p*q(x’) Si calcola l’errore pq(x’)-p*q(x’) Si aggiorna f*(x,y) Data: proiezione a q Stima della proiezione a q da f*(x,y) Aggiornamento della stima f*(x,y) Strumentazione Biomedica 2 6

Ricostruzione iterativa: schema a blocchi Alfredo Ruggeri - Università di Padova 3/27/2017 Ricostruzione iterativa: schema a blocchi inizializzazione: f *(x,y)=0 dati: p θ(x’) f*(x,y) xcos(q)+ysin(q)=x’ Calcola p*θ(x’) dalla stima f*(x,y) sottrai l’errore a tutti i pixel sulla linea di scansione e(x’) nuova direzione di proiezione θ=θk Strumentazione Biomedica 2

Ricostruzione iterativa:esempio Alfredo Ruggeri - Università di Padova 3/27/2017 Ricostruzione iterativa:esempio f(x,y) f1=5 f2=7 f3=6 f4=2 Strumentazione Biomedica 2 8

Alfredo Ruggeri - Università di Padova 3/27/2017 Retroproiezione x’ Da ogni proiezione sappiamo solo che dei punti che sommano alla misura della proiezione sono da qualche parte lungo la linea Le misure di ogni proiezione sono riproiettate indietro sulla linea da cui sono state ottenute, assegnando il valore misurato y’ Strumentazione Biomedica 2 9

Ricostruzione a partire dalle retroproiezioni Alfredo Ruggeri - Università di Padova 3/27/2017 Retroproiezione Retroproiezione a q Ricostruzione a partire dalle retroproiezioni Strumentazione Biomedica 2 10

Retroproiezione: risposta impulsiva Alfredo Ruggeri - Università di Padova 3/27/2017 Retroproiezione: risposta impulsiva Dato un impulso unitario nell’origine Risposta impulsiva Strumentazione Biomedica 2 11

Retropriezione filtrata

Calcolo del filtro

Ricostruzione

Radon Transform: Retro-proiezione filtrata Alfredo Ruggeri - Università di Padova 3/27/2017 Radon Transform: Retro-proiezione filtrata Proiezione di densita’ bidimensionali  trasformata di Radon dalla trasformata Radon ricostruiamo la FFT polare della densita’ d(x,y) il reticolo polare non e’ uniforme  trasformiamo in reticolo ortogonale (Jacobiano |w|)  retroproiezione filtrata x’ abs(P(w)|θ) p(x’)|θ x’ RT FT(1D) θ w FT-1 |w| w Strumentazione Biomedica 2

Ricostruzione da proiezioni in sintesi Il problema generale della ricostruzione da proiezioni e’ il problema inverso della proiezione di una distribuzione 3D su piani 2D. In generale, il problema e’ molto oneroso dal punto di vista computazionale Se il sistema di proiezione (problema diretto) segue una geometria cilindrica, il problema inverso 2D->3D diventa un piu’ semplice problema (1D->2D) x numero di piani sull’asse z. Il problema 1D->2D puo’ essere risolto attraverso metodi diretti (es. ART). i metodi diretti hanno problemi di convergenza. Il problema 1D->2D e’ piu’ agevolmente risolto utilizzando la trasformata inversa di Radon (non disponibile nel problema 2D->3D), risolvibile con una IFFT (teorema della sezione centrale). Per ottenere un campionamento cartesiano uniforme dello spettro attraverso la RT occorre utilizzare un filtro di retro-proiezione. La geometria a ventaglio permette un notevole risparmio nella costruzione della TAC in quanto puo’ essere usata una sorgente compatta di radiazione piuttosto che un array lineare. La geometria a ventaglio richiede un filtro di retro-proiezione piu’ complesso.